Estatística e Probabilidade. Aula 8 Cap 05. Distribuição normal de probabilidade

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1 Estatística e Probabilidade Aula 8 Cap 05 Distribuição normal de probabilidade

2 Estatística e Probabilidade Na aula anterior vimos... Distribuições Binomiais Distribuição Geométrica Distribuição de Poisson Fim do Cap. 4

3 Estatística e Probabilidade Neste aula... Início do Cap. 5 Distribuições normais de probabilidade Distribuição normal padrão

4 Estatística e Probabilidade Distribuições Normais Infinitos valores possíveis

5 Distribuição normal A distribuição normal é a distribuição contínua de probabilidades mais importante em estatística. Pode ser usadas para modelar muitos conjuntos de medidas na natureza, na industria e no comércio, na saúde, etc. A distribuição normal é uma distribuição contínua de uma variável aleatória x e seu gráfico é chamado de curva normal. Propriedades de uma distribuição normal Suas média, mediana e moda são iguais. Tem forma de sino e é simétrica em torno da média. A área total sob a curva normal é 1. 1 x

6 Propriedades de uma distribuição normal Ponto de inflexão Ponto de inflexão x À medida que a curva se afasta da média, aproxima-se cada vez mais do eixo x, mas nunca o toca. Os pontos em que a curvatura muda são chamados pontos de inflexão. O gráfico curva-se para baixo entre os pontos de inflexão e, para cima, à esquerda e à direita deles.

7 Propriedades de uma distribuição normal Se x for uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade pode-se fazer o gráfico de uma curva normal usando a seguinte equação: f ( x μ ) 1 2 2σ ( x) = e σ 2π 2 com parâmetros μ e σ, em que - <μ<, e σ>0. Como e e π são constantes, a curva normal depende de μ (média) e σ (desvio padrão)

8 Médias e desvios padrão Uma distribuição normal pode ter qualquer média e qualquer desvio padrão positivo. Os parâmetros μ e σ determinam o formato da curva Curvas com médias diferentes e o mesmo desvio padrão

9 Médias e desvios padrão Curvas com médias diferentes e desvios padrão diferentes

10 Estatística e Probabilidade Médias e desvios padrão Exemplo: Massas de homens e mulheres adultos mulheres homens 63.6 massa (Kg) Qual das curvas normais tem média maior? 2- Qual das curvas normais tem desvio padrão maior?

11 Interpretando gráficos das distribuições normais Cerca de 68% da área está a um desvio padrão da média. 68% Cerca de 95% da área está a dois desvios padrão. Cerca de 99,7% da área está a três desvios padrão da média.

12 Exemplo: Segundo o manual de instruções, o tempo de montagem de certo produto é normalmente distribuído, com uma média de 4,2 horas e um desvio padrão de 0,3 hora. Determine o intervalo no qual caem 95% dos tempos de montagem. 4,2 horas 0,3 hora 3,3 3,6 3,9 4,2 4,5 4,8 5,1 95% dos dados caem a até dois desvios padrão da média. 4,2 2 (0,3) = 3,6 e 4,2 + 2 (0,3) = 4,8. 95% dos tempos de montagem estarão entre 3,6 e 4,8 horas. x

13 Estatística e Probabilidade

14 Distribuição Normal Padrão A distribuição normal com μ=0 e σ=1 é chamada de distribuição normal padrão. Área = z Escala horizontal: corresponde aos escores z

15 O escore Z O escore padrão, ou escore z, representa o número de desvios padrão que separa uma variável aleatória x da média. Para transformar um valor x em um escore z usamos a seguinte fórmula: valor - média desvio padrão

16 O escore Z Exemplo: As pontuações em um concurso público estão normalmente distribuídas, com média de 152 e desvio padrão de 7. Determine o escore z para um candidato com pontuação de: (a) 161 (b) 148 (c) 152 valor - média desvio padrão

17 Entendendo o escore Z Se cada valor de dados de uma variável aleatória x normalmente distribuida for transformado em um escore z, o resultado será uma curva normal padrão. Podemos utilizar a curva normal padrão e o escore z para obter áreas (e portanto probabilidades) sob qualquer curva normal. Propriedades de uma distribuição normal A área acumulada está próxima de 0 para escores próximos de -3,29 A área acumulada cresce à medida que z cresce A área acumulada para z = 0 é de 0,50 A área acumulada para z = 3,39 é ~1 A área total sob a curva é z

18 Áreas acumuladas: A tabela normal padrão Determine a área acumulada para um escore z de 1,25. Use a tabela padrão. Percorra a coluna z, à esquerda, até z = 1,2; Depois siga na transversal até a coluna de número 0,05. O valor da célula, 0,1056, corresponde à área acumulada. Área acumulada

19 Áreas acumuladas e probabilidade A área acumulada corresponde a probabilidade. 0, z Então, a probabilidade de que z esteja no máximo até 1,25 é de 0,1056. P 1,25) 0,1056

20 Exercício: Determine P(z < 1,45). Para determinar a probabilidade de z ser inferior a um valor dado, encontre a área acumulada na tabela de acordo com o correspondente escore z. P(z < 1,45) = 0,0735 Área acumulada = Probabilidade z

21 Exercício: Determine P(z > 1,36). Para determinar a probabilidade de z ser superior a um valor dado, subtraia de 1 a área acumulada que você encontrar na tabela. 0, z A área acumulada (área à esquerda) é de 0,0869. Logo, a área à direita é: 1 0,0869 = P(z > 1,36) =

22 Como determinar probabilidades entre dois valores. Para determinar a probabilidade de z estar entre dois valores dados, determine as áreas acumuladas para cada valor e, depois, subtraia a menor da maior. Determine P( 1,25 < z < 1,17). 0, z 1. P(z < 1,17) = 0, P(z < 1,25) = 0, P( 1,25 < z < 1,17) = 0,8790 0,1056 = 0,7734

23 Resumo Para determinar a probabilidade de z ser inferior a dado valor, encontre a área acumulada correspondente z Para determinar a probabilidade de z ser superior a dado valor, subtraia de 1 a área acumulada que você encontrou na tabela z Para determinar a probabilidade de z estar entre dois valores dados, determine as áreas acumuladas para cada valor e, depois, subtraia a menor da maior z

24 Estatística e Probabilidade Próxima aula: Ainda cap.5 Determinando probabilidades