O teste de McNemar. A tabela 2x2. Depois

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1 Prof. Lorí Viali, Dr. O teste de McNemar O teste de McNemar para a significância de mudanças é particularmente aplicável aos experimentos do tipo "antes e depois" em que cada sujeito é utilizado como seu próprio controle e a medida é efetuada em escala nominal ou ordinal. A tabela x Para testar a significância de qualquer mudança observável, através deste método, é necessário construir uma tabela de freqüências x. Veja exemplo a seguir: Antes + - Depois - A C + B D

2 Note-se que aqueles casos que mostram mudanças entre a primeira e a segunda resposta aparecem nas células A e D. Um sujeito é contado na célula A se ele muda de + para - e é contado na D se ele muda de - para +. Se nenhuma mudança é ocorre ele é contado nas células B (resposta + antes e depois) e C (resposta - antes e depois). Hipóteses A Como A + D representa o número total de elementos que acusaram alguma modificação, a expectativa, sob a hipótese de nulidade, é de que / (A + D) acuse modificações em um sentido e / (A + D) no outro sentido. χ Variável Teste k ( ) O -E i i E Simplificando vem: i i χ A+ D ( A- ) A + D ( A -D ) A + D A+ D ( D - ) A + D Correção de Continuidade A correção torna-se necessária porque uma distribuição contínua, no caso, o quiquadrado está sendo usada para aproximar uma distribuição discreta. Quando todas as freqüências esperadas são pequenas, esta aproximação pode não ser boa. Correção de Continuidade A correção de continuidade (de Yates) é uma tentativa de remover esta fonte de erro. A expressão acima incluindo a correção de Yates fica: χ ( A -D - ) A + D

3 Uma pesquisa realizada entre donos de automóveis sobre a necessidade do uso do cinto de segurança foi realizada antes e depois de um filme sobre acidentes, onde era enfocado os benefícios do uso do cinto. Dos 80 motoristas entrevistados 0 eram a favor do uso do cinto antes e continuaram após, 0 eram contra antes e ficaram a favor após, eram contra antes e continuaram contra após e eram a favor e ficaram contra após. Teste, ao nível de %, a significância das mudanças. Hipóteses H 0 : A proporção de mudanças de A para B é igual a de B para A, isto é, P A P B / H : P A > P B Os dados A estatística teste Antes + Depois χ ( -0 - ) + 0,7-0

4 Significância do Resultado Como pode ser visto o resultado encontrado é significativo a % ou menos, portanto as mudanças são significativas. Objetivos A prova de Wilcoxon de duas amostras emparelhadas é a equivalente não paramétrica ao teste t para duas amostras dependentes. As hipóteses são as mesmas, embora às vezes elas possam ser colocadas em termos da mediana e não da média. Hipóteses H 0 : A diferença entre as médias (ou medianas) populacionais é zero. H : A diferença entre as médias (ou mediadas) não é zero. Objetivos Metodologia A suposição básica por trás deste teste é que as distribuições populacionais são simétricas (médias e medianas idênticas). Inicialmente calcular d i diferença dentro do par i. A seguir atribuir postos a cada d i, independentemente de sinal. Ao menor d i, atribuir o posto ; ao próximo, etc. A cada posto atribuir o sinal da diferença, isto é, identificar quais postos decorrem de diferenças negativas e quais de diferenças positivas.

5 Metodologia Metodologia Se as duas classificações são equivalentes, isto é se Ho é verdadeira, é de se esperar que algumas das maiores diferenças sejam positivas e outras negativas. Desta forma, se forem somados os postos com sinal mais e os postos com sinal menos, deve-se esperar somas aproximadamente iguais. Se houver diferença entre estas duas somas é sinal de que as duas classificações (ou tratamentos) não se equivalem e devese então rejeitar a hipótese nula. Empates Se as duas amostras foram extraídas da mesma população, então se espera que as distribuições acumuladas das amostras estejam próximas. Se as distribuições estão distantes isto sugere que as amostras provenham de populações distintas e um desvio grande pode levar a rejeição da hipótese de nulidade. Eventualmente os escores de dois pares serão iguais. Neste caso eles devem ser excluídos da análise e o valor de n deve ser reduzido na mesma quantidade de valores em que a diferença for nula. Pode ocorrer, ainda, um outro tipo de empate. Duas ou mais diferenças podem ter o mesmo valor absoluto. Neste caso, atribuí-se o mesmo posto aos empates. Este posto é a média dos postos que teriam sido atribuídos se as diferenças fossem diferentes. Por exemplo, se três pares acusam as diferenças: -, - e +, a cada par será atribuído o posto, que é a média entre, e. O próximo valor, pela ordem, receberia o valor, porque já teriam sido utilizados os postos, e.

6 Pequenas Amostras (n < ) Se T a menor soma dos postos de mesmo sinal (negativos ou positivos) então T será significativo se não superar o valor dado na tabela, sob determinado nível de significância. Grandes Amostras (n ) Neste caso T (menor soma) é aproximadamente normal com os seguintes parâmetros: µ T n ( n + ) σ T n( n + )( n + ) Um grupo de motoristas foi submetido a um teste para verificar o efeito do álcool na percepção de obstáculos. O número de cones derrubados antes e depois da ingestão de uma dose de destilado foi anotado. M A 0 D M A 0 D Teste a hipótese de que o álcool não tem influência sobre a percepção dos motoristas.

7 Resultados - SPSS Antes Depois Negative Ranks Positive Ranks Ties Total N 0 Mean Rank,00 9,7 Sum of Ranks 0,00,00 Z Asymp. Sign ( tailed) Exact Sig. (-tailed) Exact Sig. (-tailed) Point Probability a Based on negative ranks. b Wilcoxon Signed Ranks Test Antes Depois -, (a) 0,0 0,00 0,00 0,00 O teste qui-quadrado O teste χ² de k amostras independentes pode ser utilizado para verificar a dependência ou independência entre as variáveis sendo consideradas. O teste é uma extensão direta do quiquadrado para duas amostras independentes. Em geral, o teste é o mesmo, tanto para duas, como para k amostras independentes. Hipóteses e Cálculo H 0 : As variáveis são independentes H : As variáveis são dependentes A variável teste é: k l O -E χ i j υ E ( ) 7

8 Expressão alternativa A variável teste é: χ υ k E ( ) O -E i E O k i l j l j - n Onde: r número de linhas da tabela; L número de colunas da tabela; O freqüência observada na interseção da linha i com a coluna j. E número de casos esperados na interseção da linha i com a coluna j. Onde: χ υ n é a estatística teste; k i l O tamanho da amostra; j E n p são as freqüências esperadas de cada célula da tabela. p é a probabilidade de ocorrer uma observação na célula. Se as variáveis são supostamente independentes (H 0 é Verdadeira), então p p i. p.j, onde p i. é a probabilidade marginal correspondente à linha i e p.j é a probabilidade marginal correspondente a coluna j. Como não se conhecem as probabilidades marginais, elas devem ser estimadas através das correspondentes freqüências relativas. Então: E n p n p i.. p. j n. f n i.. f n. j f i. n f. j f i. l f j e f. j k i f 8

9 Objetivos O teste de Kruskal-Wallis é utilizado para decidir se k amostras independentes podem ter sido extraídas de populações diferentes. Os valores amostrais diferem entre si e deve-se decidir se essas diferenças amostrais significam diferenças efetivas entre as populações, ou se representam apenas variações casuais. O teste supõe que a variável em estudo tenha distribuição contínua e exige mensuração no mínimo ao nível ordinal. Metodologia Cada um dos n valores é substituído por um posto. Isto é, os escores de todas as k amostras combinadas são dispostos em uma única série de postos. Ao menor escore é atribuído o posto, ao seguinte o posto e assim por diante até o maior posto que é n número total de observações. Feito isso, determina-se a soma dos postos em cada amostra (coluna). A prova então testa se estas somas são tão diferentes entre si, de modo que não seja provável que tenham sido todas retiradas de uma mesma população. 9

10 A estatística teste Se as k amostras forem de uma mesma população (H 0 é V) então a estatística de Kruskal-Wallis tem distribuição conhecida (Tabela O) se as amostras forem pequenas (n < ) ou Qui-Quadrado com gl k -, desde que os tamanhos das k amostras não sejam muito pequenos ( ou mais elementos). A estatística stica amostral O grau de liberdade é: ν k -, e H onde k número de amostras k R - ( n + ) n ( n + ) j n j T - n - n j Onde: k número de amostras; n j número de elementos na amostra j ; R j soma dos postos na amostra (coluna) j ; n n j número total de elementos em todas as amostras combinadas; T t t, onde t é o número de empates. Verificar a influência do Fator Idade sobre a variável tempo, em dias, para conseguir um emprego, considerando as seguintes amostras: Acima de 0 anos Entre e Abaixo de 8 0

11 Tem-se n (total de informações). Então o maior posto será. Postos () ΣR 0 Postos () ΣR 90 Postos () 7 ΣR A variável vel teste será: H n( n + ) k R -( n + ) n j 0 90 ( + ( + ) ,0 -,0 j j + ) - (+ ) O grau de liberdade é: ν k - - O χ tabelado é: Conclusão A % de significância é possível afirmar que o fator idade tem influência sobre o tempo para encontrar trabalho.

12 Resultados SPSS Kruskal-Wallis Test Controle 0 Total n 7 8 Mean Rank,7 0,8,9 Chi-Square df Assyp. Sig. Tempo 7,89 0,00 Objetivos Quando os dados de k amostras estão em correspondência, isto é, o número de casos é o mesmo para cada uma delas, pode-se utilizar a análise de variância por postos de Friedman A dupla análise de variância ou χ de Friedman é uma alternativa não paramétrica para testar diferenças entre duas ou mais amostras dependentes. Cálculo A estatística teste é dada por: k χ υ R i -n( k + ) Onde: nk ( k + ) i k número de tratamentos; n tamanho da amostra; ΣR i soma dos postos de cada tratamento; v k grau de liberdade.

13 Onde: k número de tratamentos; n tamanho da amostra; ΣR i soma dos postos de cada tratamento; v k grau de liberdade. Oito gerentes foram convidados de uma empresa de Internet para avaliar o novo sítio da instituição onde trabalham. Eles foram convidados a dar uma nota de 0 a para cada uma de quatro características de interesse do local. Teste se as características diferem significativamente a %. Gerentes 7 8 C 0 C C C 0 0 Friedman Test C C C C Mean Rank,,9,88,9 n Chi-Square df Asymp. Sig. 8,8 0,0

14 Conclusão Como a significância do resultado é 0,0%, acima da significância do teste, não é possível rejeitar a hipótese de que existe diferença entre as diversas características.