Testes de Hipóteses para a Diferença Entre Duas Médias Populacionais

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1 Estatística II Atoio Roque Aula Testes de Hipóteses para a Difereça Etre Duas Médias Populacioais Vamos cosiderar o seguite problema: Um pesquisador está estudado o efeito da deficiêcia de vitamia E sobre o armazeameto de vitamia A em ratos. Ele quer saber se uma dieta deficiete em vitamia E altera a quatidade de vitamia A armazeada. A perguta que ele faz é: O valor médio de vitamia A armazeada em ratos com dieta deficiete em vitamia E é igual ao valor médio de vitamia A armazeada em ratos com dieta ormal? Para respoder a sua perguta, o pesquisador toma um grupo de 0 ratos e os divide aleatoriamete em dois grupos de 0. Durate um certo tempo, um dos grupos é alimetado com a dieta ormal e o outro grupo é alimetado com uma dieta deficiete em vitamia E. Depois disso, o pesquisador sacrifica os ratos dos dois grupos e mede a quatidade de vitamia A o fígado deles. O valor médio de vitamia A o fígado dos ratos alimetados com a dieta ormal foi de 3.37 ui (uidades iteracioais) e o valor médio de vitamia A armazeada o fígado dos ratos alimetados com a dieta deficiete em vitamia E foi de.570 ui, de maeira que a difereça etre as médias das duas amostras é de: 805 ui. O problema agora é decidir se essa difereça é grade o suficiete para que o pesquisador possa cocluir que eiste realmete uma difereça a quatidade de vitamia A armazeada etre as duas populações, ou se a difereça obtida é apeas uma variação amostral.

2 Estatística II Atoio Roque Aula Vamos supor que o pesquisador tem bos motivos para crer que as distribuições populacioais da vitamia A armazeada o fígado de ratos com dietas ormal e deficiete em vitamia E são ormais. Vamos supor também que o pesquisador cohece as variâcias populacioais e. Este é um caso muito difícil de acotecer a prática, mas vamos cosiderá-lo aqui apeas para ilustrar o método. Vamos supor que 600 ui. Para este caso, sabemos que a distribuição amostral da difereça etre as médias tem média igual a µ µ e desvio padrão igual a µ + + ( 600) 0 68, ui. A hipótese ula a ser testada este caso é: H 0 : µ µ µ µ 0; H : µ µ µ µ 0. Portato, o teste é bilateral. Para ecotrar o valor P, calculamos o valor z correspodete a 805 : z 68, 3,0. Isto implica que o valor P é 0,006 (veja a figura a seguir).

3 Estatística II Atoio Roque Aula Para um ível de sigificâcia de α 0,05, temos que P < α e deve-se rejeitar a hipótese ula. O pesquisador coclui etão que, com um ível de sigificâcia de 0,05 eiste uma difereça etre as quatidades de vitamia A armazeadas o fígado de ratos alimetados com dieta ormal e deficiete em vitamia E. O eemplo dado foi para um teste bilateral. Etretato, o pesquisador poderia ter feito um teste uilateral. Supoha que ele teha certeza que a dieta deficiete em vitamia E ão pode ocasioar um aumeto a quatidade de vitamia A armazeada. Neste caso, a sua perguta seria: µ é maior do que µ? Agora a hipótese ula é H 0 : µ µ e o valor P deve ser calculado apeas como a probabilidade de que seja maior que 805 ui se µ µ. Neste caso, o valor P é 0,003 e cotiua meor que 0,05. Novamete a hipótese ula é rejeitada e a coclusão do eperimeto favorece a hipótese alterativa com um ível de sigificâcia de 0,05: H : µ > µ. Vamos agora cosiderar o caso mais realista em que as variâcias populacioais e são descohecidas. 3

4 Estatística II Atoio Roque Aula Neste caso, sabemos que há duas possibilidades: e. Já vimos, as aulas sobre distribuições amostrais, como tratar os dois casos. Aqui, vamos cosiderar apeas o caso em que. Vamos supor que o caso do eemplo aterior é descohecida, mas o desvio padrão foi calculado para cada amostra, dado: s 66 ui e s 538 ui. Cohecedo-se s e s, pode-se estimar o valor descohecido de como: ( ) s + ( ) s 9(66) + 9(538) ui. Desta forma, o valor estimado para o desvio padrão da distribuição amostral da difereça etre as médias é, ui. Como o eemplo aterior, a hipótese ula é: H 0 : µ µ µ µ 0; H : µ µ µ µ 0. Agora porém, como as amostras são pequeas e as variâcias populacioais são descohecidas, devemos usar a distribuição t de Studet. Para ecotrar o valor P, calculamos o valor t correspodete a 805 : 4

5 Estatística II Atoio Roque Aula t ,. Cosultado a tabela para a distribuição t de Studet para gl 8, vemos que todos os valores são meores do que 3, (desde a colua para t.90 até a colua para t.995 ). Portato, sabemos que a área à esquerda de t 3, é maior que 0,995. Isto implica que a área à direita de t 3, é meor do que 0,005. Para um teste bilateral, o valor P será etão: P < 0,005 0,00 P < α 0,05. Portato, deve-se rejeitar a hipótese ula: há evidêcia suficiete para rejeitar a afirmação de que o valor médio de vitamia A armazeada em ratos com dieta deficiete em vitamia E é igual ao valor médio de vitamia A armazeada em ratos com dieta ormal. Para um teste uilateral, P < 0,005 < α. Logo, também rejeita-se a hipótese ula. Dados emparelhados Nos eemplos ateriores, o pesquisador tratou as duas amostras de 0 ratos como se elas fossem idepedetes, ou seja, com se ão houvesse qualquer relação etre a amostra de ratos alimetados com dieta ormal e a amostra de ratos alimetados com a dieta deficiete em vitamia E. Porém, em muitos casos em que se faz um teste de hipóteses sobre a difereça etre duas médias costuma-se trabalhar com amostras que possuem algum grau de relação etre si. 5

6 Estatística II Atoio Roque Aula Em tais casos, em que as amostras ão são idepedetes, costuma-se chamálas de amostras emparelhadas. Um eemplo disso ocorre quado se compara uma amostra de pesos de pessoas ates de se submeterem a uma dada dieta com a amostra de pesos das mesmas pessoas após se submeterem à dieta. Neste caso, o que se faz é comparar a difereça etre os pesos de uma mesma pessoa ates e depois da dieta. Um outro eemplo, aproveitado o caso dos 0 ratos apresetado acima, é dado a seguir. Vamos supor que ao ivés de escolher 0 ratos de forma aleatória e separá-los em duas amostras de 0 ratos cada, uma alimetada com a dieta ormal e a outra alimetada com dieta deficiete em vitamia E, o pesquisador prefira trabalhar com 0 pares de ratos, sedo que cada par é composto por ratos retirados da mesma ihada e com o mesmo peso. Desta forma, pode-se cosiderar que os ratos de um dado par possuem as mesmas codições ates do eperimeto, ou seja, eles ão são idepedetes. Desta forma, o pesquisador vai trabalhar com 0 pares de ratos as mesmas codições iiciais. A partir daí, as codições passam a ser diferetes. Um rato de cada par é escolhido para ser alimetado com a dieta ormal e o outro rato é alimetado com a dieta deficiete em vitamia E. Após um certo tempo, o pesquisador mede as quatidades de vitamia A armazeadas os fígados dos 0 pares de ratos. Como os dados estão emparelhados (eistem 0 pares de ratos), é coveiete trabalhar com a variável defiida como sedo a difereça etre as quatidades de vitamia A armazeadas para cada par de ratos:. A tabela abaio ilustra isso. 6

7 Estatística II Atoio Roque Aula Par (ui) (ui) (ui) (dieta ormal) (dieta deficiete) (difereça: ) Soma Note que a tabela acima diz respeito a 0 ratos, só que eles estão emparelhados em 0 pares. Um rato de cada par foi alimetado com a dieta ormal e o outro foi alimetado com a dieta deficiete. A variável de iteresse agora ão é a difereça etre as médias das amostras de ratos alimetados com cada tipo de dieta ( ), como os casos ateriores. A variável de iteresse para o caso dos dados emparelhados é a difereça etre os valores de vitamia A armazeados para cada par de ratos (). Podemos cosiderar que a tabela acima os dá uma amostra de 0 pares de ratos, com os valores de 0 difereças de quatidades de vitamia A armazeadas em ratos alimetados com dietas ormais e deficietes em vitamia E. 7

8 Estatística II Atoio Roque Aula O valor médio e o desvio padrão dessas 0 difereças são: ui; s 8050 s ui. Podemos cosiderar que todas as difereças possíveis formam uma população e que as 0 difereças obtidas costituem uma amostra de tamaho 0 desta população. Vamos assumir que a distribuição da população de é ormal. Como ão se cohece o desvio padrão da população de, vamos aproimar o valor de por s. Desta forma, o desvio padrão da distribuição amostral das difereças é s 59 67,4 ui. 0 A hipótese ula é a de que a média das difereças seja igual a zero: H 0 : µ 0; H : µ 0. Se o úmero de pares de ratos escolhido fosse maior ou igual a 30, faríamos o cálculo do valor P correspodete usado o valor z da distribuição ormal. Porém, como o úmero de pares de ratos é meor do que 30, teremos que fazer o cálculo de P usado a distribuição t de Studet. O valor de t para este caso é: t ,4 4,8. 8

9 Estatística II Atoio Roque Aula Para gl 0 9, todos os valores da tabela para a distribuição t de Studet são meores do que 4,8. Logo: P < 0,005 0,00 P < α 0,05. Portato, deve-se rejeitar a hipótese ula: as evidêcias levam o pesquisador a rejeitar a hipótese de que o valor médio de vitamia A armazeada em ratos com dieta deficiete em vitamia E é igual ao valor médio de vitamia A armazeada em ratos com dieta ormal. Eemplos. Um epidemiologista quer estudar os efeitos de duas vacias ati-rábicas para verificar qual é a mais efetiva. Ele dividiu um grupo de idivíduos que já foram vaciados ateriormete cotra a raiva em duas amostras. Os idivíduos da amostra receberam uma dose etra da vacia do tipo e os idivíduos da amostra receberam uma dose etra da vacia do tipo. As respostas dos ati-corpos foram medidas duas semaas depois, resultado os seguites dados (uidades arbitrárias): Amostra s 0 4,5,5 9,5,0 O epidemiologista pode cocluir que a vacia é mais eficaz que a vacia? Cosidere α 0,05. Assuma que as variâcias populacioais são iguais. 9

10 Estatística II Atoio Roque Aula Neste caso, como a perguta do epidemiologista é se a vacia é mais eficaz do que a vacia (se a resposta média dos idivíduos vaciados com a vacia, µ, é maior do que a resposta média dos idivíduos vaciados com a vacia, µ ), a hipótese ula e a hipótese alterativa devem ser: H 0 : µ µ 0; H : µ µ 0. > Estimado : ( ) s + ( ) s 9 6, , + 7 5,,3. O valor t para este caso é: t ( ) ( µ µ ) ( 4,5,5) 0,0 5, 3,, ,9. Olhado para a tabela da distribuição t de Studet para gl + 7, vemos que,9 está etre,7396 e,098 (veja abaio). 0

11 Estatística II Atoio Roque Aula Logo, 0,05 < P < 0,05. Como P < α, o epidemiologista deve rejeitar a hipótese ula e cocluir que as evidêcias eperimetais favorecem a hipótese de que a vacia é mais eficaz do que a vacia.. Um persoal traier garate que uma pessoa que faça giástica sob a sua supervisão por um mês perderá peso sem ecessitar fazer qualquer tipo de dieta especial. Para testar a afirmação do persoal traier, selecioa-se uma amostra de 7 pessoas e toma-se os seus pesos ates do iício do programa de giásticas. As 7 pessoas são etão submetidas ao treiameto oferecido pelo persoal traier durate mês, com a recomedação de ão alterar seus hábitos alimetares em seu modo de vida. Após o mês de treiameto, os pesos das 7 pessoas são ovamete medidos, resultado a tabela abaio. Idivíduo Peso ates (kg) Peso depois 93, (kg) Pode-se cocluir, baseado estes dados e com um ídice de sigificâcia α 0,05, que a afirmação do persoal traier é correta? Este é um caso para trabalharmos com dados emparelhados, pois podemos cosiderar que temos 7 pares de valores ão idepedetes: eles são as difereças dos pesos das mesmas pessoas, ates e depois do treiameto. Como a afirmação do persoal traier é a de que os pesos das pessoas dimiuem, as hipóteses ula e alterativa devem ser:

12 Estatística II Atoio Roque Aula H 0 : µ 0; H : µ < 0. Da tabela, temos: 0,9; s,0. O desvio padrão da distribuição amostral de é etão: s,0 7 0,75. O valor de t é etão: t 0,9 0 0,75,. Pela tabela da distribuição t de Studet para gl 7 6, vemos que este valor de t é meor do que todos os valores listados. Isto implica que P > 0,0. Como o valor P para este caso é maior do que α, ão se pode rejeitar a hipótese ula. Ou seja, as evidêcias ão apóiam fortemete a afirmação do persoal traier de que as pessoas perdem peso após se submeter ao seu programa de eercícios por um mês.