Computação Científica - Departamento de Informática Folha Prática 1

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1 1. Costrua os algoritmos para resolver os problemas que se seguem e determie as respetivas ordes de complexidade. a) Elaborar um algoritmo para determiar o maior elemeto em cada liha de uma matriz A de dimesão m x. b) Elaborar um algoritmo para calcular o valor de, com uma dada precisão, utilizado a série π = 4 ( ) c) Elaborar um algoritmo para calcular e x usado a expressão seguite (desevolver até ao termo com valor absoluto iferior ou igual a d): e x = 1 + x + x2 2! + x3 x !! +... Teste para o valor de e -100 = (com d = ). Use a expressão 1/e x e teste para o mesmo valor. d) Elaborar um algoritmo para calcular o vetor X ( x 1) resultate do produto de uma matriz A ( x m) por um vetor Y (m x 1). e) Elaborar um algoritmo para calcular o traço de uma matriz A, defiido como a soma dos elemetos da sua diagoal pricipal: traço(a) = a ii. i=1 f) Elaborar um algoritmo para calcular o produto extero etre os vetores X e Y de tamahos e m, respetivamete, que resulta matriz M = XY T de dimesão ( x m), tal que m ij = x i y i = { i=1,2,..., j=1,2,...,m ou M = [x 1 y 1... x 1 y m m] x y 1... x y g) Elaborar um algoritmo para calcular a orma matricial de soa máxima de colua, que é dada pela expressão A 1 = max 1 j i=1 a ij Autor: Carlos Barrico 1

2 h) Elaborar um algoritmo para calcular a orma de Frobeius, que é defiida pela seguite expressão: A F = i=1 j=1 a ij 2 i) Elaborar um algoritmo para calcular o produto de uma matriz A de dimesão ( x p) por outra matriz B de dimesão (p x m), que resulta a matriz C = AB ( x m), tal que p c ij = a ik b kj { i=1,2,..., k=1 j=1,2,...,m j) Elaborar um algoritmo que traduza o método das divisões sucessivas para a coversão de qualquer úmero iteiro da base 10 para a base 2. k) Elaborar um algoritmo que traduza o algoritmo de Horer para coversão de úmeros iteiros da base 2 para a base decimal. l) Elaborar um algoritmo que traduza o algoritmo de Horer para coversão de úmeros fracioários da base 2 para a base decimal. m) Elaborar os algoritmos associados às operações relacioais e aritméticas do sistema biário. 2. Implemete em MATLAB os algoritmos relativos aos problemas apresetados em Coverta para a base biária, usado o método das divisões sucessivas, os seguites úmeros iteiros: a) 13 b) 35 c) 192 d) 255 e) 347 f) 513 g) Coverta para a base biária, usado os processos das divisões sucessivas (quado ecessário) e das multiplicações sucessivas, os seguites úmeros reais em poto fixo: a) 0.5 b) 1.25 c) d) e) f) 4.25 g) Represete o formato de poto flutuate ormalizado da base biária os seguites úmeros reais: a) 0.1 b) 0.5 c) d) 1.25 e) 3.8 f) g) h) 4.25 i) 75.8 Autor: Carlos Barrico 2

3 6. Seja um hipotético computador com 4 dígitos, base decimal e expoete e {-5,, 6}, F(10, 4, -5, 6):.d 1 d 2 d 3 d 4 x 10 e. a) Determie o maior e meor úmeros positivos que este hipotético computador pode represetar. b) Para que úmeros ocorre overflow e uderflow? 7. Seja um hipotético computador com 4 dígitos, base decimal e expoete e {-5,, 6}, F(10, 4, -5, 6):.d 1 d 2 d 3 d 4 x 10 e. Determie o resultado das seguites operações (começar por represetar os valores o formato de poto flutuate ormalizado): a) d) 1.25 x b) e) / 1.25 c) Cosidere um hipotético computador com 4 dígitos, base biária e expoete e {-5,, 6}, F(2, 4, -5, 6): d 1 d 2 d 3 d 4 x 2 e. Determie todos os valores possíveis este hipotético computador. 9. Represete o úmero 12 em otação ormalizada de 2 dígitos, base biária e itervalo dos expoetes defiido em { -4,, 5 }, F(2, 2, -4, 5). 10. Represetar o úmero 25 em otação ormalizada de 2 dígitos, base decimal e itervalo dos expoetes defiido em { -2,, 3 }, F(10, 2, -2, 3). 11. Coverta os seguites úmeros em biário para decimal, usado o algoritmo de Horer: a) b) c) Coverter os seguites úmeros biários fracioários, usado o algoritmo de Horer modificado, para a base decimal a) b) c) d) ( ) = ( ) 13. Efetua as seguites operações etre úmeros biários: a) e) b) f) x c) g) d) h) / 110 i) / 1101 j) / k) / Autor: Carlos Barrico 3

4 14. Represete os seguites úmeros reais o formato de poto flutuate (ormalizado): a) e) 4.25 b) f) 75.8 c) g) d) h) Cosiderado o sistema de úmeros de poto flutuate F(10, 2, -2, 3), determie: a) o meor úmero positivo possível; b) o maior úmero positivo possível; c) As regiões de uderflow e de overflow; d) o maior úmero que pode ser somado ou subtraído de 1.0, que matém o resultado ialterado (precisão da máquia); e) o úmero de elemetos do sistema F. 16. Cosiderado o sistema de úmeros de poto flutuate F(2, 3, -1, 2), determie: a) o meor úmero positivo possível e respetivas regiões de uderflow; b) o maior úmero positivo possível e respetivas regiões de overflow; c) O maior úmero que pode ser somado ou subtraído de 1.0 matedo o resultado ialterado (precisão da máquia); d) o úmero de elemetos do sistema F. 17. Quatos dígitos sigificativos existem em cada um dos seguites úmeros? a) b) c) O resultado de uma operação ão tem ecessariamete o mesmo úmero de dígitos sigificativos do que as parcelas. Comprove a afirmação, calculado x + y com x = x 10 4 e y = x Para x = x 10 2, y = x 10 0 e z = x 10 1, calcule usado aritmética de três dígitos sigificativos: a) x + y b) y/x c) x.z d) Quatos dígitos sigificativos apresetam os resultados? Autor: Carlos Barrico 4

5 20. Supodo que as operações abaixo são processadas uma máquia com 4 dígitos sigificativos e fazedo-se: X 1 = x 10 4 X 2 = x 10 0 determiar os resultados das seguites expressões: a) (X 2 + X 1 ) X 1 b) X 2 + (X 1 X 1 ) c) Compare e comete os resultados obtidos. 21. Cosidere um sistema de poto flutuate com b = 10 e = 3 e uma represetação por arredodameto simétrico, verifique que: a) ( ) ( ) b) (0.123 / 7.97) x 84.9 (0.123 x 84.9) / 7.97 c) 15.9 x ( ) (15.9 x 4.99) + (15.9 x 0.02) 22. Cosidere o sistema F(10, 3, -2, 3). Represete esse sistema, os seguites úmeros de modo que eles estejam ormalizados: a) 0.35 c) b) d) Calcule os erros absolutos (EA) e relativos (ER) das seguites aproximações: a) X = e fl(x) = c) X = e fl(x) = b) X = e fl(x) = d) X = e fl(x) = Arredode cada um dos seguites úmeros a cico dígitos sigificativos: a) b) c) Represete os seguites úmeros, por arredodameto simétrico e por defeito (corte), o sistema F(10, 4, -98, 99): a) c) b) d) Represete os seguites úmeros, por arredodameto simétrico e por defeito (corte), o sistema F(6, 4, -2, 3): a) d) b) e) c) Autor: Carlos Barrico 5

6 27. Dada a quatidade X = ( ) + 3 3, realize os seguites cálculos 20 a) Determie o valor exato de X com cico dígitos sigificativos b) Aproxime o valor de X usado 3 dígitos fazedo arredodameto por defeito (corte do úmero) c) Aproxime o valor de X usado 3 dígitos com arredodameto simétrico d) Calcule os erros absoluto, relativo e relativo percetual as aproximações obtidas as alíeas b) e c). 28. Seja m = (1/2)b 1- é a uidade de erro de arredodameto de um sistema de poto flutuate F(b, p, e mi, e max ). a) Qual é o valor em F de 1 + m? b) Qual o meor úmero positivo e, de F, tal que 1 + e > 1? 29. Calcular um limite superior para o erro de trucatura quado se usa 1 (x 2 /2) para aproximar cos(x) para x [0.0, 0.1]. 30. Cosidere o seguite itegral: x 2 dx a) Calcule aproximações para o itegral aterior, usado a regra b a 1 f( x)dx = h f(x i ) + R, com R = (h/2)(b a)f '( ), [a,b ]. i=0 Selecioe h = 1/ ( = 1, 2, 4, 8,, 1024). b) Cohecido o valor exato do itegral determie o erro em cada aproximação. c) Obteha um limite superior para o erro de trucatura em cada passo. d) Obteha estimativas para o erro devido a arredodametos (calculado a difereça etre os resultados dos cálculos efetuados em precisão simples e em precisão dupla). Comete sobre a domiâcia de cada erro quado cresce. 31. Escreva aproximações com seis dígitos sigificativos para os úmeros a) 1/11 b) (2) c) e Obteha os erros absolutos, erros relativos e percetagem de erros das aproximações a) (3) 1.73 b) c) π Autor: Carlos Barrico 6