Neste capítulo, pretendemos ajustar retas ou polinômios a um conjunto de pontos experimentais.

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1 03 Capítulo 3 Regressão liear e poliomial Neste capítulo, pretedemos ajustar retas ou poliômios a um cojuto de potos experimetais. Regressão liear A tabela a seguir relacioa a desidade (g/cm 3 ) do sódio em fução da temperatura ( o C): Temperatura ( o C) Desidade(g/cm 3 ) 00 0, , , , , , , ,757 Quado represetamos estes dados em gráfico, dão a impressão de ficar uma reta que poderia ser traçada com uma régua "a olho". Porém, o caso de os potos estarem mais dispersos, o ajustameto a olho é bastate subjetivo e iexato. (Além disso, ajustameto a olho requer que todos os potos estejam primeiramete colocados um gráfico. No caso de, por exemplo, 00 observações, isto seria bastate tedioso.) Nosso objetivo é ajustar uma reta y = a + bx aos potos do diagrama de dispersão, utilizado técicas matemáticas. O famoso método dos quadrados míimos de Gauss respode à perguta "o que é um bom ajustameto" com as seguites equações para calcular os valores dos fatores a e b: b = i= ( x x)( y y) i i= a = y bx i ( x x) i () As médias de x e y são defiidas por i i () i= i= x = x ; y = y

2 04 a = coeficiete liear da reta, b= coeficiete agular da reta Apliquemos estas fórmulas ao osso exemplo: C: =(A-MÉDIA(A$:A$8))*(B-MÉDIA(B$:B$8)) D: =(A-MÉDIA(A$:A$8))^, copiar as fórmulas até liha 8 E: =SOMA(C:C8)/SOMA(D:D8) (=b) E: =MÉDIA(B:B8)-E*MÉDIA(A:A8) (=a) Na colua G ficam os valores de y da reta de regressão G: =E$+E$*A Para fazer o gráfico, deve-se levar em cota que temos de represetar duas séries de dados. Veja também o capítulo 5, p. 63 (Se tiver istalado o programa tc que mecioei o último capítulo, poderia aqui, em WORD, calcular a desidade de sódio para uma temperatura dada: T=600 d=0,9536-,474e-04*t = 0,808 o que correspode bem ao o valor da tabela.) É hora de mecioar que o Excel, a partir do Excel 97, tem embutido uma ferrameta que faz tudo o que acabamos de ver, é só eleger Layout>Liha de Tedêcia com as suas opções, p. ex. a equação da liha e o valor de R.

3 05 Mas, este assistete somete aparecerá depois que você selecioar um gráfico, em osso caso Dispersão Somete com Marcadores. As propriedades da liha, como cor, estilo etc. podem ser variadas, é só fazer clique sobre a liha e selecioar Formatar Liha de Tedêcia. Mas, aqui ão termiam as maravilhas estadísticas do Excel. Existe a fução estadística PROJ.LIN com a sitaxe PROJ.LIN(val_cohecidos_y; valcohecidos_x; costate; estatística) Para aplicá-la, é ecessário preecher as duas primeiras lihas a seguite jaela. A jaela mostra já os fatores a e b da equação da reta de regressão. Se colocarmos o último campo (=VERDADEIRO), veremos a seguite tabela. (É preciso colocar ossos dados em outras células, por exemplo D:E8, pois temos selecioado o itervalo A:B5 para os resultados estadísticos. A fórmula =PROJ.LIN(E:E8;D:D8;;) é uma fórmula matricial e deve ser iserida pressioado Ctrl+Shift+Eter.)

4 06 Os valores em A e B são, outra vez, a e b. A e B cotêm os valores do erro padrão dos coeficietes b e a. (a e b são fuções dos valores experimetais y i. Devido à propagação dos erros, as icertezas os y i iflueciarão também os valores de a e b. Supohamos que as icertezas os valores de x sejam depreciáveis.) Na célula A3 temos o valor de R, o coeficiete de determiação. Este valor deve ficar bem perto de para que o ajustameto possa ser cosiderado como sedo bom. R é o coeficiete de correlação. Se R for igual a, existirá uma correlação perfeita a mostra ão haverá difereça etre os valores de y estimados e os valores reais. Em B3 temos o valor do erro padrão para a estimativa de y, ou o erro padrão dos resíduos. Este parâmetro calculase com σ (3) y = ( yi a bxi ) i= Em osso caso resulta y σ y E σ = = 4, 6 = 0,0003 O parâmetro σ b = (σ b) 0,5 em A calculamos com σ b = σ y xi xi i= i= (4) A fórmula para Excel é =8*0,000004/((8*SOMA(D:D8)-SOMA(A:A8)^)) e dá σ b = 3,34E-6. O valor para σ a a célula B é determiado com σ y xi i= σ a = D (5) ode D sigifica o deomiador de (4). Resultado: σ a = 0,0058 Observe que temos também σ a σb xi i= = (6) Em A4 aparece a estadística F, ou o valor de F observado. Com um Teste F podemos determiar, se a relação observada etre as variáveis depedetes e idepedetes ocorre por acaso. Em B4 estão os graus de liberdade (úmero dos valores experimetais umero de fatores, ou seja 8 = 6). A5 cotém

5 07 a soma dos quadrados da regressão e B5 a soma residual dos quadrados. ' Para s reg temos sreg = ( yi y) e para s res temos sres = ( yi yi ) i= i= Ῡ sigifica a média dos valores experimetais, y' é um valor de y calculado, ou seja y' = a + bx. Comparado estas fórmulas com σ y, vemos que σ y = (s res /(-)). No exemplo aterior, o coeficiete de determiação, R, é 0,990, o que idica uma forte relação etre variáveis idepedetes e as desidades. O coeficiete de determiação é defiido como R = - s res /s reg, o que dá -,46E-5/0,04747 = 0,9990. Etão, quato maior R, melhor o ajuste da regressão aos dados observados. Exemplo: Um estudate varia a temperatura de um gás quase ideal, matedo o volume costate. Para cada valor de temperatura, ele mediu a pressão em mm Hg. O estudate obteve os seguites valores Pressão em mmhg Temperatura em o C Devido à equação dos gases ideais, PV = RT, espere-se uma relação liear etre os valores da tabela. Para cofirmar esta suposição, fazemos um aálise de regressão.

6 08 As etradas para a figura foram: H5: =5*SOMA(C5:C9)-(SOMA(A5:A9))^ (=D, deomiador de (4) ) I5: =F7^*SOMA(C5:C9)/H5 (= σ a, σ a = desvio padrão de a, poto de itercepção da reta com o eixo y, ou erro padrão da itercepção) O bloco A:C cotém os dados a desehar. Na colua C ficam os valores y calculados com a equação de regressão. C: =F$5+E$5*A O gráfico fazemos com Iserir>Dispersão>Somete com Marcadores. Trata-se, este exemplo, de um caso de extrapolação bastate duvidosa. O zero absoluto ecotra-se o itervalo a ± = ( 63 ± 8) o C, de fato, ecotra-se a 73,5ºC. Os cico valores de temperatura (valores de y) deveriam ser marcados com barras de icerteza de acho *6,7 = 3,4; 6,7 é o desvio padrão de y em F7. (Desvio padrão = stadard deviatio). O Excel com Liha de Tedêcia ão faz extrapolação σ a Regressão parabólica A tabela mostra os resultados experimetais correspodetes à velocidade do som em ar seca em fução da temperatura. Temperatura em o C velocidade em m/s

7 09 Se busca a equação de uma parábola que se ajuste em forma optimal (o setido dos míimos quadrados) aos potos experimetais. A equação deve ser da forma y = a + bx + cx ode os 3 parâmetros a,b,c devem ser determiados. Por meio de Liha de Tedêcia obtemos o seguite gráfico É óbvio que também houvéssemos podido utilizar um ajuste liear, mas, ão é fácil predizer a curva que se escode detrás dos dados. No seguite exemplo, capacidade térmica especifica (em kj/(kg K) de água em fução da temperatura em graus Celsius, vamos buscar um ajuste cúbico da forma y = a + bx + cx + dx 3 Temperatura o C C em kj/(kg K) 0 4,77 5 4,0 0 4,9 5 4, ,89 5 4, , , , , , , , , , , ,964

8 0 85 4, , , ,60 A Liha de Tedêcia produz o seguite resultado (sem os títulos os eixos): Se queremos determiar os coeficietes do poliômio com mais precisão, podemos fazer um cálculo direitamete a partir das equações ormais. Trabalhado diretamete com as equações ormais Na teoria da regressão por míimos quadrados, vemos que se obtém os parâmetros a, b, c a equação y = a + bx + cx ou y = a + a x + a 3 x resolvedo o seguite sistema com respeito às icógitas a, a, a = a a x a x y 3 3 a x + a x + a x = xy = a x a x a x x y () A solução deste sistema, deomiado equações ormais, é fácil, pois podemos escrever () em forma matricial M A = B com a solução A = M - B. M - é a matriz iversa da matriz M. A é o vetor das icógitas e B o vetor dos lados à direita, ou seja,

9 A a = a a3 e y Sy B = xy : = Sxy x y Sx y () M é uma matriz quadrada de ordem m = 3, dada por Sx Sx 3 M = Sx Sx Sx 3 4 Sx Sx Sx (3) Determiamos a iversa da matriz, outra vez, pela fução MATRIZ.INVERSO com a Matriz: A5:D7, veja a seguite plailha que vale para o ídice de refração de uma solução de açúcar em água. x = cocetração, y = ídice de refração. Veja, também, capítulo 0, p. 47. M ecotra-se o bloco A5:C7, a iversa M - fica em G5:I7. O vetor solução está em K5:K7. Ele foi calculado como produto matricial pela fução MATRIZ.MULT: =MATRIZ.MULT(G5:I7;D5:D7), Ctrl+Shift+Eter A5: =CONT.NÚM(A:A); A6: =A3; A7: =C3 B5: =A3; B6: =C3; B7: =D3 C5: =C3; C6: =D3; C7: =E3 D5: =B3; D6: =F3; D7: =G3 Fialmete, calculamos para um valor de x dado o valor do poliômio da regressão: y =,333 +,47E-3x + 6,95E-6x

10 No capítulo 9, pag., desevolvemos para o método de Horer uma subrotia. Esta vez, utilizamos uma fução, para calcular os valores do poliômio: Facilmete podemos iserir a plailha os dados da "velocidade do som em ar seca em fução da temperatura" de acima (elimiado as lihas 0 e a plailha da Regressão poliomial), para obter a mesma fução que determiamos acima. Não será muito difícil escrever o código VBA para realizar os passos exercidos a última plailha. Calculamos, assim, as somas: O seguite código cria as matrizes M e B

11 3 No programa completo dimesioamos, primeiro, cada matriz como matriz diâmica (que é uma matriz que se ajusta à quatidade dos dados selecioados e que, evetualmete, podemos recortar ou ampliar). A plailha correspodete tem o seguite aspecto Os dados são os do exemplo da capacidade térmica específica, veja acima. A fução da regressão poliomial a chamamos de "RegressPoli" e ela deve ser usada com Ctrl+Shift+Eter, pois é uma fórmula matricial. Na plailha temos previsto um poliômio até = 5, o que é muito raro. Mas, o programa aceita poliômios de qualquer grau. Aqui vem, fialmete, a fução "RegressPoli":

12 4 Regressão com logaritmos A plailha mostra a correte em µa de uma fotocélula em fução da distâcia d etre lâmpada e célula. O primeiro diagrama parece exibir uma tedêcia hiperbólica etre I e d. O gráfico dos logaritmos mostra uma relação liear com a equação log y = log a + b log x =,036,99 x. (O diagrama à direita foi feito com Liha de Tedêcia liear.) A retrasformação dos logaritmos para as uidades origiais, os dá a equação de uma fução de potêcia: y = a x b = 0,86µA x -,9 0,9µA x -, pois a = 0,036 =0,87.