CURTOSE. Teremos, portanto, no tocante às situações de Curtose de um conjunto, as seguintes possibilidades:

Transcrição

1 CURTOSE O que sigifica aalisar um cojuto quato à Curtose? Sigifica apeas verificar o grau de achatameto da curva. Ou seja, saber se a Curva de Freqüêcia que represeta o cojuto é mais afilada ou mais achatada em relação a uma Curva Padrão, chamada de Curva Normal! Teremos, portato, o tocate às situações de Curtose de um cojuto, as seguites possibilidades: Curva Leptocúrtica Curva Mesocúrtica Curva Platicúrtica Logo, como vemos acima, uma curva (um cojuto) poderá ser, quato à sua Curtose: - Mesocúrtica: ou de curtose média! Será essa a ossa Curva Normal. Meso lembra meio! Esta curva está o meio termo: em muito achatada, em muito afilada; - Platicúrtica: é a curva mais achatada. Seu deseho lembra o de um prato emborcado, estão vedo? Etão prato lembra plati e plati lembra platicúrtica ; - Leptocúrtica: é a curva mais afilada! Em aulas ateriores, vimos que existe uma relação estreita etre o valor das Medidas de Tedêcia Cetral (Média, Moda e Mediaa) e o comportameto da Assimetria de um cojuto! Estamos lembrados disso? Todavia, quado se trata de Curtose, ão há como extrairmos uma coclusão sobre qual será a situação da distribuição se mesocúrtica, platicúrtica ou leptocúrtica apeas cohecedo os valores da Média, Moda e Mediaa. Outra observação relevate, e que já foi bastate explorada em questões teóricas de provas ateriores, é que ão existe uma relação etre as situações de Assimetria e as situações de Curtose de um Págia 1 de 1

2 mesmo cojuto. Ou seja, Assimetria e Curtose são medidas idepedetes e que ão se iflueciam mutuamete! Aprederemos duas distitas maeiras de calcular o Ídice de Curtose de um cojuto! # Ídice Percetílico de Curtose: Ecotraremos este ídice usado a seguite fórmula: Ode: - Q3 é o terceiro quartil; - Q1 é o primeiro quartil; - D9 é o oo decil e - D1 é o primeiro decil. ( Q3 Q1 ) ( D ) D Ou seja, trabalharemos aqui com duas Medidas Separatrizes o Quartil e o Decil! Coforme vimos o Poto, uma das primeiras Medidas de Dispersão que estudamos foi a chamada Amplitude Semi-Iterquartílica - k. Estamos lembrados dela? É dada por: k = 9 1 ( ) Q 3 Q 1 Daí, uma outra forma de apresetar o Ídice Percetílico de Curtose é o seguite: k ( ) D 9 D 1 Ode: - K é a Amplitude Semi-iterquartílica; - D1 é o primeiro Decil e - D9 é o oo Decil. Aí vem a perguta: ão se toraria muito demorada a resolução de uma questão assim, que exigisse o cálculo de Q1, Q3, D1 e D9? Sim! De fato, ão é uma questão das mais rápidas...! Mas já foi cobrada em prova e bem recetemete. Vejamos! Questão extraída do AFRF-0.1: Págia de 1

3 Em um esaio para o estudo da distribuição de um atributo fiaceiro (X), foram examiados 0 ites de atureza cotábil do balaço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüêcia abaixo. A colua Classes represeta itervalos de valores de X em reais e a colua P represeta a freqüêcia relativa acumulada. Não existem observações coicidetes com os extremos das classes. Classes P(%) Etede-se por curtose de uma distribuição seu grau de achatameto em geral medido em relação à distribuição ormal. Uma medida de curtose é dada pelo quociete k = Q / (P90-P), ode Q é a metade da distâcia iterquartílica e P90 e P represetam os percetis de 90% e %, respectivamete. Assiale a opção que dá o valor da curtose k para a distribuição de X. a) 0,63 b) 0, c) 0,0 d) 0, e) 0,000 Sol.: No euciado, o elaborador tetou complicar um pouco a compreesão da fórmula do ídice percetílico de Curtose. Além disso, usou Percetis em lugar de Decis. Todavia, sabemos perfeitamete que Décimo Percetil (P) é o mesmo que Primeiro Decil (D1), e que Noagésimo Percetil (P90) é a mesma coisa que Noo Decil (D9). Daí, tudo esclarecido. Usaremos, de fato, para ecotrar esta resposta, o Ídice Percetílico de Curtose, exatamete da forma como o cohecemos: ( Q3 Q1 ) ( D ) D Aproveitaremos que todo esse trabalho de ecotrar os Quartis (Q1 e Q3) e os Decis (D1 e D9) já foram feitos para este mesmo euciado, e reproduziremos aqui a resolução desta questão. Obviamete que todos perceberam que havia um trabalho prelimiar a ser realizado, que era exatamete o de chegarmos à colua da freqüêcia absoluta simples fi. Como já foi falado exaustivamete sobre este procedimeto de usar o Camiho das Pedras para chegar às freqüêcias desejadas, 9 1 Págia 3 de 1

4 expomos a seguir o resultado destas operações e, fialmete, a colua da fi. Classes Fac Fi fi % 5% % % 1 1 0% 5% % % 1 85% 15% 95% % 0% 5% Cálculo do Primeiro Quartil Q1: 1º Passo) Ecotraremos e calcularemos (/): Xi 90! ! ! !---!--- fi =0 Daí, achamos que =0, portato, (/)= º Passo) Costruímos a fac: 90! ! ! !---! =0 3º Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de (/), fazedo a perguta de praxe, adaptada ao primeiro quartil: 90! ! ! !---!--- = é maior ou igual a? NÃO! é maior ou igual a? NÃO! é maior ou igual a? SIM! Págia de 1

5 Como a resposta foi afirmativa a terceira fac, procuramos a classe correspodete (1!--- 1) e dizemos que esta será ossa Classe do Primeiro Quartil. º Passo) Aplicamos a fórmula do Primeiro Quartil, tomado como referêcia a Classe do Q1. Teremos: fac Q l 1 = if + fi ANT h Q 1 = 1 + E: Q1=118,0 Cálculo do Terceiro Quartil: Q3 Sol.: 1º Passo) Ecotraremos e calcularemos (3/): Xi 90! ! ! !---!--- fi =0 Daí, achamos que =0 e, portato, (3/)=1 º Passo) Costruímos a fac: 90! ! ! !---! =0 3º Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de (3/), fazedo a perguta de praxe, adaptada ao terceiro quartil: 90! ! ! !---! =0 é maior ou igual a 1? NÃO! é maior ou igual a 1? NÃO! é maior ou igual a 1? NÃO! 10 é maior ou igual a 1? NÃO! é maior ou igual a 1? SIM! Págia 5 de 1

6 Como a resposta SIM surgiu a fac da quita classe (1!--- ), diremos que esta será ossa Classe do Terceiro Quartil. º Passo) Aplicaremos a fórmula do Q3, usado os dados da Classe do Q3, que acabamos de idetificar. 3 fac ANT Q l = if + h Q 3 = 1 + fi E: Q3=156,6 Cálculo do Primeiro Decil: D1 Sol.: 1º Passo) Ecotraremos e calcularemos (/): Xi 90! ! ! !---!--- fi =0 Daí, achamos que =0 e, portato, (/)= º Passo) Costruímos a fac: 90! ! ! !---! =0 3º Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de (/), fazedo a perguta de praxe, adaptada ao primeiro decil: 90! ! ! !---! =0 é maior ou igual a? NÃO! é maior ou igual a? SIM! Págia 6 de 1

7 Achamos, portato, que a classe correspodete (90!--- 1) será ossa Classe do Primeiro Decil! º Passo) Aplicamos a fórmula do Primeiro Decil: fac ANT D l 1 = if + h D 1 = 90 + fi E: D1=0,0 Fialmete, ecotraremos o Noo Decil D9: Sol.: 1º Passo) Ecotraremos e calcularemos (9/): Xi 90! ! ! !---!--- fi =0 Daí, achamos que =0 e, portato, (9/)=1 º Passo) Costruímos a fac: 90! ! ! !---! =0 3º Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de (9/), fazedo a perguta de praxe, adaptada ao oo decil: 90! ! ! !---! =0 é maior ou igual a 1? NÃO! é maior ou igual a 1? NÃO! é maior ou igual a 1? NÃO! 10 é maior ou igual a 1? NÃO! é maior ou igual a 1? NÃO! é maior ou igual a 1? SIM! Achamos, portato, que a classe correspodete () será ossa Classe do Noo Decil. Págia 7 de 1

8 º Passo) Aplicamos a fórmula do Noo Decil: 9 fac ANT D l 1 9 = if + h D 9 = + fi E: D9=1 Agora sim! Chegou o mometo de reuirmos os valores ecotrados, para compormos a fórmula da Curtose! Teremos, portato: ( Q3 Q1 ) ( D ) D 9 1 ( 156,6 118) ( 1 0) 0, Resposta!.1. Iterpretação do Resultado do Ídice Percetílico de Curtose: A questão acima foi resolvida pela mera aplicação da fórmula do ídice percetílico. Todavia, questões haverá que solicitarão ão apeas o resultado do ídice, mas questioarão a situação de curtose em que se ecotra aquele cojuto. Ou seja, desejarão saber se a distribuição será Mesocúrtica, Leptocúrtica, ou Platicúrtica. Daí, teremos que saber iterpretar o resultado do ídice de Curtose. No caso deste Ídice Percetílico, a leitura que faremos do resultado é a seguite: Se C<0,63 A distribuição é LEPTOCÚRTICA; Se C=0,63 A distribuição é MESOCÚRTICA; Se C>0,63 A distribuição é PLATICÚRTICA. Para a questão que resolvemos acima, por exemplo, tedo ecotrado C=0,, cocluiríamos que se tratava de uma distribuição Leptocúrtica, caso isso estivesse sedo questioado pela questão. 3. Ídice Mometo de Curtose: Será dado pela seguite fórmula: Ode: m S Págia 8 de 1

9 - m é o Mometo de a Ordem Cetrado a Média Aritmética; e - S é o Desvio-Padrão do cojuto, elevado à quarta potêcia. Como só aparece úmero esta fórmula, lembraremos dela como sedo a fórmula do. Esta os parece tão trabalhosa quato a primeira (a do ídice percetílico). Pois, a verdade, teríamos que ecotrar isoladamete o valor do umerador (que já é uma questão em si) e depois o valor do deomiador. As fórmulas seriam as seguites: O umerador (m ): Quarto Mometo Cetrado a Média: ( PM X ) m = O deomiador (S ): Quarta potêcia Desvio-Padrão: S ( ) = S =. fi. Como vimos acima, a quarta potêcia do Desvio-Padrão é a mesmíssima coisa que o quadrado da Variâcia. Etão, ossa fórmula completa do ídice mometo de Curtose seria a seguite: Questão de prova que veha a exigir o cálculo deste ídice Mometo de Curtose deverá, aturalmete, forecer uma tabela já bastate completa, de modo que, apeas pelas coluas forecidas a distribuição, já tivéssemos codições chegar ao resultado. Caso a prova os dê a questão apeas uma tabela com a colua das classes e a colua da freqüêcia absoluta simples, teríamos que fazer um trabalho bastate demorado para chegarmos à resposta. Vejamos um exemplo ilustrativo dos passos que precisaríamos seguir. A tabela abaixo represeta os dados forecidos pelo euciado: Classes fi fi. fi. fi Págia 9 de 1

10 Daí, como primeiro passo, teríamos que ecotrar o valor da Média do cojuto. Provavelmete, seria mais rápido determiarmos o X se utilizarmos o método da Variável Trasformada. Etão, costruiríamos a colua dos Potos Médios PM: Classes fi PM Em seguida, a Colua de Trasformação da Variável: Classes fi PM (PM-1ºPM)=Yi h Daí, faríamos a colua do (Yi.fi): Classes fi PM (PM-1ºPM)=Yi Yi.fi h E aplicaríamos a fórmula da Média da Variável Trasformada: Yi. fi Y = E, com este resultado, percorreríamos o Camiho de Volta da trasformação, fazedo: (Y x h ) e {(Y x h)+ 1ºPM} = X Neste poto, costruiríamos a colua (PM- X ): Classes fi PM (PM-1ºPM)=Yi Yi.fi PM- X h E a colua (PM- X ) : Classes fi PM (PM-1ºPM)=Yi Yi.fi PM- X (PM- X ) h E a colua [(PM- X ).fi]: Classes fi PM (PM-1ºPM)=Yi Yi.fi PM- X (PM- X (PM- X ).fi h ) Págia de 1

11 E a colua (PM- X ) : (Desaparecerão aqui a colua de trasformação e a colua do (Yi.fi) apeas por uma questão de espaço). Xi fi PM PM- X (PM- X ) (PM- X ).fi (PM- X ) E, fialmete, a colua [(PM- X ).fi]: Xi fi PM PM- X (PM- X ) (PM- X ).fi (PM- X ) (PM- X ).fi Daí, vamos desigar omes aos somatórios das coluas que os iteressam, só para exergarmos melhor como será ossa coclusão: Xi fi PM PM- X (PM- X ) (PM- X ).fi (PM- X ) (PM- X ).fi E F Para cocluir a questão, aplicaríamos a fórmula do : E ecotraríamos que:. fi. fi F Resposta da Questão! E Aprederemos a seguir a forma de iterpretar o resultado do ídice Mometo de Assimetria e, a seqüêcia, faremos uma questão extraída da prova do AFRF-0., para termos uma oção mais precisa de como este assuto tem sido cobrado Iterpretação do Resultado do Ídice Mometo de Curtose: Novamete aqui precisaremos cohecer como aalisar o resultado do ídice de Curtose, a fim de podermos defiir ossa distribuição como Mesocúrtica, Leptocúrtica, ou Platicúrtica. Págia 11 de 1

12 Iterpretaremos o Ídice Mometo de Curtose da seguite maeira: Se C > 3 A distribuição é LEPTOCÚRTICA; Se 3 A distribuição é MESOCÚRTICA; Se C < 3 A distribuição é PLATICÚRTICA. É, portato, de suma importâcia que tehamos bem memorizados estes valores de referêcia, a partir dos quais poderemos dizer em qual das situações de Curtose se ecotra determiado cojuto. Passemos agora a uma questão de prova, bastate recete. Questão Extraída do AFRF-0-: EXERCÍCIO RESOLVIDO DE CURTOSE O atributo do tipo cotíuo X, observado como um iteiro, uma amostra de tamaho 0 obtida de uma população de 00 idivíduos, produziu a tabela de freqüêcias seguite: Classes 9,5 39,5 39,5 9,5 9,5 59,5 59,5 69,5 69,5 79,5 79,5 89,5 89,5 99,5 Freqüêcia (fi) Para a distribuição de freqüêcias do atributo X, sabe-se que: ( Xi X ). fi. 0 e ( Xi X ) =. fi = Nessas expressões os Xi represetam os potos médios das classes e X a média amostral. Assiale a opção correta. Cosidere para sua resposta a fórmula da curtose com base os mometos cetrados e supoha que o valor de curtose ecotrado é populacioal. a) A distribuição do atributo X é leptocúrtica. b) A distribuição do atributo X é platicúrtica. c) A distribuição do atributo X é idefiida do poto de vista da itesidade da curtose. d) A iformação dada se presta apeas ao cálculo do coeficiete de assimetria com base os mometos cetrados de X. e) A distribuição de X é ormal. Págia 1 de 1

13 Sol.: A questão foi bastate clara, ao defiir que o ídice de curtose a ser empregado será o ídice Mometo. Daí, teremos que relembrar a fórmula: m S Agora, reparemos os dados forecidos pelo euciado. Observemos que o que ele chamou de Xi é o osso Poto Médio, que chamamos de PM. Daí, ão resta dúvida: já os foram forecidos o umerador do m e o umerador do S. Ora, o úmero de elemetos do cojuto será obtido somado a colua da fi. E chegaremos ao valor de =0. Daí, cocluímos: já dispomos de todos os elemetos da fórmula. Resta-os traspô-los. Assim, teremos: = C =. fi. fi. fi. fi C 0,.0 0 E agora passamos à iterpretação do resultado. Se utilizamos o ídice Mometo de Curtose, e ecotramos que C=, (portato, um valor meor que 3) cocluímos que a distribuição é platicúrtica! Logo: Opção b Resposta da Questão! Sobre a Curtose, é isso! A ESAF vem explorado esse assuto, ora exigido o cálculo por um ídice (percetílico), ora por outro (mometo)! Vamos ver qual será o próximo! Fialmete, saiu o edital! Acredito que a sesação de todos vocês deve ser a mesma que vejo em meus aluos aqui em Fortaleza: muita apreesão devido as mudaças do programa,e o setimeto de ter que refazer a programação de estudos até o dia da prova, em decorrêcia, sobretudo da matéria de Direito Admiistrativo, que voltou a ser cobrado. O Vicete, iclusive, já havia catado essa ovidade aqui o Site. Aliás, peso que o tocate a essa disciplia há dois livros que seriam muitíssimo bem idicados. Ambos da Ed. Impetus: o de autoria do Vicete Paulo e Marcelo Alexadrio, com teoria e exercícios, e um editado mais recetemete, com provas resolvidas e primorosamete cometadas pelo colega e Prof. Gustavo Págia 13 de 1

14 Barchet. Teho estes dois livros, e os idico aos meus aluos costatemete. Outra coisa: as matérias Matemática Fiaceira e Estatística reduziram-se agora para apeas dez questões (ates eram quize)! A lógica os diz que serão cico questões para cada uma. Já ouvi algus cometários de aluos, dizedo que estas matérias agora perderam a importâcia. Pesameto dos mais ifelizes...! Não é queredo puxar a sardiha pra miha lata, mas ão existe, este cocurso, matéria sem importâcia. Vá dizer isso pra qualquer pessoa que teha ficado de fora das vagas por uma ou por duas questões...! (Como foi o meu caso, em 01!). Além do que, cotiua havedo o chamado poto de corte. Ou seja, das dez, quatro terão que ser acertadas! E quato mais potos você fizer, melhor! Aumeta a cotagem geral! A prova será, como já é de cohecimeto de todos, em 9 de ovembro. São quase dois meses até lá. Tempo suficiete para se fazer as revisões ecessárias, itesificar a resolução dos exercícios. (E aida apreder o que resta ser apredido!) No osso caso, aqui, da Estatística, meu plao é ecerrar o programa, com mais uma aula a de Números Ídices e, a seqüêcia, passar a resolver as questões dos cico últimos cocursos: 1996, 1998, 01, 0/a e 0/b. É certo que muitas destas questões, muitas mesmo, já foram resolvidas em ossas aulas, mas ão tem problema, resolvemos ovamete e fixamos melhor o que foi apredido. E, além disso, pretedo colocar ovos simulados, com questões bem próximas da liha da ESAF. Espero que isso seja mais que suficiete pra os deixar aptos a acertar as cico questões da ossa prova! Fico por aqui! Um grade abraço a todos e até a próxima. Págia 1 de 1