Matemática. Resolução das atividades complementares. M10 Progressões. 1 (UFBA) A soma dos 3 o e 4 o termos da seqüência abaixo é:

Transcrição

1 Resolução das atividades complemetares Matemática M0 Progressões p. 46 (UFBA) A soma dos o e 4 o termos da seqüêcia abaio é: a 8 * a 8 ( )? a, IN a) 6 c) 0 e) 6 b) 8 d) 8 a 8 * a 8 ( )? a, IN a 8 ()? a a 8 ()? a a 4 8 () 4 a a a (UERN) A seqüêcia de úmeros positivos (, 0,,...) é uma progressão aritmética, cujo décimo termo é: a) 94 c) 0 e) 0 b) 9 d) 04 (, 0,,...) PA de úmeros positivos ( 0) (ão covém) PA: (,,,...) a ; r 0 a 0 a 9r 9? 0 [ a 0 9

2 (UFJF-MG) Em 004, foi realizada, em Ateas, a 8 o Olimpíada da era modera, eveto esportivo que acotece de quatro em quatro aos. Com base essas iformações, pode-se afirmar que a edição da Olimpíada de 948 e o ao de 0 a Olimpíada da era modera, supodo que ão haja iterrupção, são, respectivamete: a) 4 a e 00 c) a e 086 e) 7 a e 09 b) a e 04 d) 4 a e 09 Do euciado, temos: a e r 4 Logo: a 8 a 7 r 004 a 7? 4 a 896 Daí, vem: ( )? a 0 a 49 r a ? 4 a (UFG) Um reservatório de água tem a forma de um cubo de arestas 0 m. Por causa de um vazameto, a cada hora perde-se % do volume total do reservatório. a) Se o reservatório estiver completamete cheio o iício do vazameto, em quato tempo ele estará vazio? 0 h b) Se o vazameto permaecer por horas, quatos litros de água restarão o reservatório? , a) O volume total é igual a: v a v 0 v 000 m A cada hora perde-se %: V 0,0? m Portato, temos a PA: h 90 h 900 r 0 h 80 a 90 h 0 Assim: a a ( ) r 0 90 ( ) (0) horas b) a a r a 90? (0) a 400 m Em litros, temos litros Resposta: a) 0 h b) ,

3 (UFPel-RS) A Matemática está presete em cada mometo do osso cotidiao, desde a criação do mudo. Como eemplo, podemos citar a origem da vida por meio de divisão celular, a divisão do tempo em milêios, séculos, aos etc. A aplicabilidade dessa ciêcia, o dia-a-dia, é comprovada até mesmo pelas pessoas que ão tiveram muita escolaridade e que, cotudo, são capazes de admiistrar esse cohecimeto muito bem. Numa área reservada para o platio de eucaliptos, o espaçameto das mudas dispostas em fileiras deve ser de, m, e a platação deverá iiciar a uma distâcia de m das etremidades do terreo. Baseado-se o teto, em seus cohecimetos e cosiderado que as fileiras teham o mesmo úmero de mudas tato a horizotal quato a vertical, determie: a) a quatidade máima que pode ser platada um terreo retagular, cujas medidas são e e cuja área é igual a 899 m ; 44 mudas b) a meor área e o meor perímetro do terreo para que haja o platio de 89 mudas de eucalipto. 68 m e 64 m a) A área do retâgulo é dada pelo produto da base pela altura. Logo: 6 ( )( ) ( ão serve) Os lados do terreo medem: 6 9 m 6 m Sedo, o úmero de platas e fazedo os cálculos para os lados, temos: a a ( ) r ( )?, a a ( ) r 9 ( )?,, Como as fileiras têm o mesmo úmero de mudas tato a horizotal quato a vertical, o úmero de platas cosiderado por fileira é, o que resulta um total de 44 mudas. b) A meor área possível é a de um terreo quadrado de lado,, etão 89, sedo o úmero de mudas. Logo: 89 7 ou 7 (ão serve) Portato, devemos ter 7 mudas em cada fileira. Daí, vem: a (7 )?, a 4 meor área do terreo, 4 68 m meor perímetro do terreo 4? 4 64 m Resposta: a) 44 mudas b) 68 m e 64 m

4 6 (UFPB) Uma escada foi feita com 0 blocos cúbicos iguais, que foram colocados us sobre os outros, formado pilhas, de modo que a primeira pilha tiha apeas bloco, a seguda, blocos, a terceira, blocos, e assim sucessivamete, até a última pilha, coforme a figura ao lado. A quatidade de degraus dessa escada é: a) 0 c) 0 e) 0 b) 40 d) 0 A progressão aritmética que represeta os blocos é: PA (,,, 4,...,,...) a a ( ) r a ( )? a (a a ) ( ) S ( ão serve) O úmero de degraus é 0. 7 (UFMT) Em uma clíica ortodôtica são atedidos 0 clietes diários de seguda a seta-feira. Para redimesioar a estrutura física, a clíica passará a ateder da seguite maeira: dois clietes o primeiro dia do mês, quatro o segudo, seis o terceiro, oito o quarto e assim sucessivamete. Cosiderado que essa clíica atede 0 dias por mês, o úmero de clietes atedidos, em um mês, será reduzido em: a) % c) 40% e) 70% b) 0% d) % No primeiro caso, temos: 0? clietes No redimesioameto, temos: No 0 o dia, o úmero de clietes será: a 0 a 9r a 0 9? a 0 40 clietes Logo: ( a a 0) ( 40)? 0 S0 S0 S0 40 clietes A redução é de: , 0 0%

5 8 (UFBA) As medidas dos lados de um triâgulo ABC formam uma PA de razão igual a. ^ Determie a altura do triâgulo ABC, relativa ao lado AB, sabedo que AC, AB, BC e cos(abc). B D h A Cosiderado, e as medidas dos lados AC, AB e BC, respectivamete, do triâgulo ABC e usado a lei dos cosseos esse triâgulo, tem-se: ( ) ( ) ( )( )? 0 C Sedo a medida do lado AC do triâgulo ABC, o valor a ser cosiderado é. Portato, aplicado o teorema de Pitágoras os triâgulos DAC e BDC e cosiderado a medida de DC igual a h, tem-se o sistema: h h ( 4 ) Subtraido as duas equações, tem-se: (4 ) 69. Substituido-se o valor de a equação h, obtém-se h Logo, h u.c. 9 (MACK-SP) A caia d água reserva de um edifício, que tem capacidade para 000 litros, cotém, em determiado dia, litros. Cotrata-se uma empresa para forecer 400 litros de água esse dia, 600 litros o dia seguite, 800 litros o próimo, e assim por diate, aumetado em 00 litros o forecimeto de cada dia. O úmero de dias ecessários para que a caia atija a sua capacidade total é: a) c) 4 e) 0 b) d) Sedo V o volume em litros que falta para a caia atigir a capacidade total ates de se cotratar a empresa, do euciado temos: V [ V 400 Seja a quatidade de dias ecessários para que a caia atija a sua capacidade total. Devemos ter: a 400 (I) Aida, a 400 ( )? 00 [ a (II) De (I) e (II), vem: ( )? (ão covém) [

6 0 (Uifor-CE) As distâcias que seis trabalhadores percorrem diariamete para ir de suas casas à fábrica ode trabalham são umericamete iguais aos termos de uma PA. Se a casa mais próima da fábrica fica a km dela e a mais distate, a 8, km, a soma das distâcias que os seis percorrem diariamete para ir de suas casas até a fábrica, em quilômetros, é igual a: a) 0 c) e) 0 b), d) 8, Do euciado, temos a seguite PA A soma dos termos dessa PA é igual a: de seis termos: ( a a ) 8,)6 ; ; ; ; ; 8, S S ( 6 Daí, vem: a a ( ) r 8, (6 )? r S 8, km 6 7, r r, Em questões como a, a resposta é dada pela soma dos úmeros que idetificam as alterativas corretas. (UFPR) Uma empresa de autopeças vem sofredo sucessivas quedas em suas vedas a partir de julho de 00. Naquele mês, ela vedeu peças e, desde etão, a cada mês tem vedido 000 peças a meos. Para reverter essa tedêcia, o departameto de marketig da empresa resolveu laçar uma campaha cuja meta é aumetar o volume de vedas à razão de 0% a.m. os próimos seis meses, a partir de jaeiro de 004. A respeito das vedas dessa empresa, é correto afirmar: (0) Neste mês de dezembro, se for cofirmada a tedêcia de queda, serão vedidas peças. (0) O total de peças vedidas os últimos meses, até ovembro de 00, iclusive, é de peças. (04) Se a meta da campaha for atigida, os úmeros de peças vedidas mês a mês, a partir do seu laçameto, formarão uma PA de razão 0. (08) Se a meta da campaha for atigida, o úmero de peças a serem vedidas o mês de março de 004 será superior a (6) Se a campaha ão for laçada e as vedas cotiuarem a mesma tedêcia de queda, daqui a 4 meses a empresa ão estará mais vededo peça alguma. 8 9 Resposta: 0. (Verdadeira) Pelos dados, temos a PA (00000, 98000, 96000,...), com a julho de 00 (00 000) e a 8 dezembro de 00. Logo, a a ( )? r a 8 a (8 )? 000 a peças 0. (Falsa) a 6 ovembro de 00 a 6 a (6 )? r a ? 000 a peças a 7 ovembro de 00 a (7 )? 000 a peças ( a a 8 000) S )? ( ? S S peças 04. (Falsa) A proposição é falsa, pois a PG será de razão,. 08. (Verdadeira) a a? q, em que a 66000, q, e. Logo, a 66000? (,) a 66000?, a peças 6. (Falsa) a 4 a (4 )? r a ? (000) a

7 (UFSC) Assiale a(s) proposição(ões) correta(s): (0) Se f() a e a fução iversa (08) de f é g(), etão a. (0) Se (a ) e (b ) são duas progressões (6) aritméticas, etão (a b ) é uma PA para todo real. para todo úmero iteiro. 4 7 (04) A equação ão tem solução real. 0. (Verdadeira) a y a y a y a y a f () a f ( ) g() a a 0. (Verdadeira) Sejam: a a, a, a, a 4,... a, a r, a r, a r,... b b, b, b, b 4,... b, b r, b r, b r,... a b a b a b r r a b r r, a b r r,... a b (a b ) (a b r) (a b r) (a b r), (Verdadeira) ( ) ( ) 0 0 Verificação: 0 0 [ S A seqüêcia é uma PA de o termo (a b ) e razão r r r p. 4 (Uifor-CE) O úmero de termos da progressão,,,..., é: a) c) 7 e) 9 b) 6 d) (Falsa) 4 4 4? 4 4? ? 4 64? ? ? (4 096 ) para todo real. 4 ( 64 ) 6 6. (Falsa) ão se defie para. a a ; q ; a a? q?? 9

8 4 Os úmeros, e log (0) são, essa ordem, os três primeiros termos de uma progressão geométrica. Calcule: a) o o termo b) o o termo a) log (0), ode. 0 [ log (0) b) a ; a ; a [ q a? a? 4 (Uitau-SP) Calcule o valor de, de modo que a seqüêcia (, 4, ) seja uma progressão geométrica (UFOP-MG) Numa progressão geométrica, a e a 9. Determie, sabedo que a a ; a 9 q 9 a a? q 6 6? 9 8 ( ) 8 7 (UFRGS) Para pagar uma dívida de reais o seu cartão de crédito, uma pessoa, após um mês, passará a fazer pagametos mesais de 0% sobre o saldo devedor. Ates de cada pagameto, será laçado juro de 0% sobre o saldo devedor. Efetuados pagametos, a dívida, em reais, será: a) zero c) (0,88) e) (,) b) d) (0,9) Sedo o saldo devedor, a cada mês serão acrescidos a esse saldo 0% de juros e, em seguida, descotados 0% a título de pagameto, gerado um ovo saldo devedor de?,? 0,8 0,88. Como a cada mês o procedimeto se repete, cada ovo saldo devedor correspoderá ao aterior multiplicado por 0,88, gerado uma seqüêcia do tipo ; 0,88; (0,88) ; (0,88) ;..., que é uma PG de o termo e razão 0,88, a qual cada ovo saldo devedor é dado por (0,88), sedo o o de termos da seqüêcia. Após pagametos, estaremos o o termo da seqüêcia, ou seja, A (0,88) (0,88).

9 8 (UEM-PR) Os úmeros, y e z formam uma PA crescete cuja soma é igual a 48. Somado-se 8 uidades a z, a ova seqüêcia passa a formar uma PG. Calcule o valor de z. 4 Cosiderado as duas afirmações: a) (, y, z) é uma PA crescete de soma 48; logo: z S ( )? 48 z z z y y y 6 b) (, y, z 8) é uma PG, daí: y? ( z 8) 6? ( 8) Como a PA é crescete, 8: (8, 6, 4) [ z 4 9 (Fuvest-SP) Três úmeros positivos, cuja soma é 0, estão em PA. Somado-se, respectivamete, 4, 4 e 9 ao o, o e o termos dessa PA, obtemos três úmeros em PG. Etão, um dos termos da PA é: a) 9 c) e) b) c) Seja ( r,, r) a PA. Se a soma dos termos é igual a 0, temos: r r Somado-se 4, 4 e 9, essa ordem, aos termos da PA, temos a PG (0 r 4, 0 4, 0 r 9), ou aida (4 r, 6, r). Na PG, teremos: 6 (4 r)? ( r) 6 4 4r r r r r r (ão covém) r r [ r e a PA procurada é (8, 0, ). 0 (UENF-RJ) Numa reserva florestal foram computados 64 coelhos. Uma determiada ifecção alastra-se de modo que, ao fial do primeiro dia, há cico coelhos ifectados e, a cada cico dias, o úmero total de coelhos ifectados triplica. a) Determie a quatidade de coelhos ifectados ao fial do o dia. 40 coelhos b) Calcule o úmero míimo de dias ecessários para que toda a população de coelhos esteja ifectada. a) a o de coelhos ifectados a -ésima etapa b dia em que ocorre a a? e b ( )? Sedo b, temos: ( )? Portato: a? a 40 coelhos dias b) Sedo a 64, temos: 64? Portato: b 7 (7 )? b 7 dias

10 (UFPB) Socorro, apaioada por Matemática, propôs para seu filho, João: Você gahará uma viagem de presete, o fial do ao, se suas otas, em todas as disciplias, forem maiores ou iguais à quatidade de termos comus as progressões geométricas (,, 4,..., 4 096) e (, 4, 6,..., 4 096). De acordo com a proposta, João gahará a viagem se ão tiver ota iferior a: a) 6 c) 8 e) 0 b) 7 d) 9 PG (,, 4, 8, 6,..., 4 096) PG (, 4, 6,..., 4 096) Os termos iguais são os termos da PG (, 4, 6,..., 4 096). Logo: a a? q 4 096? 4 4 ( ) (UFSC) Assiale a(s) proposição(ões) correta(s): (0) O 0 o termo da PA (, 0,,...) com, 0 é 86. (0) A soma dos primeiros úmeros aturais ímpares é. (04) O termo ecotra-se a 04 a_ posição a PG,,, (Verdadeira) 0 ( 0) (ão serve) ou 4 A progressão aritmética é (4, 6, 6,...). Logo: a 0 a 9r a 0 4 9? (Falsa) Os úmeros ímpares são (,,, 7,...). a a ( )r a ( )? a (a a ) Logo: S ( ) S 04. (Verdadeira) a a q a? a? (08) Sabedo que a sucessão (, y, 0) é uma PA crescete e a sucessão (, y, 8) é uma PG crescete, etão y. (6) O valor de a igualdade..., 9 a qual o o membro é a soma dos termos de uma PG ifiita, é A ota deverá ser maior ou igual a (Verdadeira) (, y, 0) é uma PA [ 0 y y y y 0 y 0 (I) (, y, 8) é uma PG y 8 [ y 8 y y 8 Fazedo (I) (II), teremos: y y 0 y 6y 80 8 y 6y y y y 6 Se y 6, etão? 6 0 Se y 0, etão? Como a PA e a PG são crescetes, teremos e y 6, coseq üetemete,? y? (Falsa) (II)

11 Em questões como a, as alterativas verdadeiras devem ser marcadas a colua I, e as falsas, a II. (UFSE) Verifique a veracidade das afirmações que seguem: V F 0 0 Os termos da seqüêcia (a, a, a,..., a, a, a,...), em que a a e a a a, ; IN e., são chamados úmeros de Fiboacci. Assim sedo, o 8 o úmero de Fiboacci é. A seqüêcia (,,?,,...) é uma PA de razão 4. A soma de todos os úmeros pares compreedidos etre 7 e 7 é Podem ser iseridos cico meios geométricos reais etre os úmeros e Se a seqüêcia (40, a, b,,...) é uma PG, etão a soma de seus dez primeiros termos é igual a 00. (Verdadeira) a a a a a 4 a a a 4 4 a a 4 a a a 6 a a 4 a a 7 a 6 a a 7 7 a 8 a 7 a 6 a 8. (Verdadeira),?,?, 4?,... A razão é: r?? ( ) 4. (Falsa) A seqüêcia é (8, 60, 6,..., 6) a a ( ) r 6 8 ( )? 80 (a a ) S (8 6)? 80 S S (Falsa) a 7 a q 6 96? q 6 q 6 raiz real 44. (Verdadeira) (40, a, b,,...) é uma PG; portato, a a? q, ou seja, 40? q q q q ? 04 40? S (UFSC) Se a, b, c são termos cosecutivos de uma PA de razão e (a ), b, (c ) são termos cosecutivos de uma PG, qual o valor de a b c? 6 (a, b, c): PA com r (a, b, c ): PG b a (I) b c (III) c a 0 (II) a b Substitui do as epressões (I) e (II) a epressão (III): a a a b ; c a 0 7 [ 7 a Logo, a b c 7 7 a b c 6

12 (UFPA) A soma da série ifiita... é: 6 a) c) e) 4 7 b) d) a ; a q a S S q (UFPel-RS) O lado de um quadrado mede, uidades de comprimeto. Uido-se os potos médios dos lados opostos, obtêm-se quatro ovos quadrados. Se procedermos assim sucessivamete, obteremos ovos quadrados cada vez meores, coforme a figura, que mostra parte de uma seqüêcia ifiita. Determie a soma dos perímetros de todos os quadrados coloridos dessa seqüêcia. 8, 4 8, a 4 ; a 4 ; a 4,, q 4 a 4, S S 8, q