Sucessão ou Sequência. Sucessão ou seqüência é todo conjunto que consideramos os elementos dispostos em certa ordem. janeiro,fevereiro,...
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- Silvana Lima Barreiro
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1 Curso Metor Sucessão ou Sequêcia Defiição Sucessão ou seqüêcia é todo cojuto que cosideramos os elemetos dispostos em certa ordem. jaeiro,fevereiro,...,dezembro Exemplo : Exemplo : ( 0,,,3,... ) Sequêcia Numérica É um cojuto de úmeros reais dispostos uma certa ordem. Pode ser fiita ou ifiita.,5,8,,4 Sequêcia fiita. Exemplo : Exemplo : ( 4,8,0,... ) Sequêcia ifiita. Represetação de uma sucessão A represetação matemática de uma sucessão é: a,a,a,...,a,a, Os ídices represetam a posição de cada termo, primeiro, segudo, -ésimo (ídice ), etc.,5,9,4,0,7, calcular a a. Exemplo : Dada a seqüêcia Solução: Usado a própria defiição dada: 5 Determiação de uma sucessão a a As sucessões são dadas por uma lei chamada lei de formação, com a qual podemos calcular qualquer termo da sucessão. Exemplo : Escrever a sucessão em que a e {,,3 }: a a a a 4 A sequêcia é, portato: a 3 a ( a,a,a ) (,4,6 ) 3 Defiição Progressões Aritméticas Progressão aritmética (P.A.) é uma seqüêcia umérica em que cada termo, a partir do segudo, é igual ao aterior somado com um úmero fixo, chamado de razão. Exemplo : (,5,8,,... ) Sequêcias, Progressões Aritméticas e Progressões Geométricas
2 Curso Metor Observação : Note que cada termo é igual ao aterior somado de três uidades. Uma P.A. pode ser crescete (r > 0), decrescete (r < 0) ou costate (r 0). Exemplo : A P.A. ( 3, 4, 5, 6, 7) é crescete e a razão vale r. Exemplo 3: A P.A. ( 0,8,6,4,... ) é decrescete e a razão vale r. Exemplo 4: A P.A. ( 5,5,5,5,... ) é costate e r 0. Represetação de uma P.A. A represetação matemática de uma P.A. é: a,a,a,...,a,a, Como sabemos que cada termo é igual a soma do termo aterior com a razão teremos: a+ a + r, N * (.) E, como cosequêcia desta defiição: a a a a... a a r 3 + a a P.A. Exemplo : Calcular r e 5 3,9,5,,.... Solução: Usado a defiição (.) sabemos que: a a + r Da sequêcia extraímos os valores do segudo e do primeiro termo: r r 6 Pela mesma defiição: a5 a4 + r a a 7 Fórmula do Termo Geral de uma P.A. 5 Seja a um termo qualquer da progressão. Etão podemos escrever cada termo da progressão, a partir do segudo, em fução do primeiro termo da sequêcia: a a + r a3 a + r a3 a + r + r a3 a + r a a4 a3 + r a4 a + r + r a4 a + 3r a3 a a + r a a + ( ) r + r a a + ( ) r a Fica defiido, portato, o termo geral de uma P.A.: a a + r (.) Observação: Uma cosequêcia desta defiição é que qualquer termo pode ser escrito a partir de qualquer termo da progressão, desde que a razão seja cohecida. Veja os exemplos: Exemplo : Podemos escrever o décimo termo em fução do sétimo termo: Sequêcias, Progressões Aritméticas e Progressões Geométricas
3 Curso Metor a0 a7 + 3r Exemplo : Podemos escrever o vigésimo primeiro termo em fução do trigésimo termo: a a30 9r 4,7,.... Exemplo 3: Ecotrar o termo geral da P.A. Solução: Aplicado a expressão (.) do termo geral: a a + r Falta calcular a razão: Assim: r 7 4 r 3 a a 3 + Observações Sobre a Resolução de Problemas de P.A. Observação : É sempre coveiete colocar os termos em fução de a e de r, lembrado-se da fórmula do termo geral. a + a6 0 Exemplo : Numa P.A. temos:, escrever a P.A. a4 + a9 35 Solução: Escrevedo tudo em fução do primeiro termo e da razão temos: a + r + a + 5r 0 ` a + 3r + a + 8r 35 a + 6r 0 a + r 35 Resolvedo o sistema, teremos r 3 e a, logo a P.A. é: (,4,7,... ) a + 6r 0 a + r 35 Observação : Quado o problema trata de termos cosecutivos de uma P.A. é coveiete escrever em fução do termo do meio: x r,x,x + r Para 3 termos: Para 4 termos: ( x 3r,x r,x + r,x + 3r) Fórmula da Soma dos N Termos de uma P.A. Propriedade : Em uma P.A. fiita com uma quatidade ímpar de termos, a soma de dois termos equidistates dos extremos é igual ao dobro do termo cetral. Exemplo : Seja a P.A. (6, 0, 4, 8,, 6, 30). Notamos facilmete que: a + a a 7 4 a + a a 6 4 a3 + a5 a4 Fórmula da Soma Seja S a soma dos termos de uma P.A. etão: Sequêcias, Progressões Aritméticas e Progressões Geométricas 3
4 Curso Metor S a + a + a a Escrevedo a soma de todos os termos do último até o primeiro e somado as expressões: S a + a + a a + S a + a + a a S a + a + a + a + a3 + a a + a parcelas Lembrado da propriedade da soma dos extremos de uma P.A.: a + a a + a a + a... a + a 3 Reescrevedo a expressão da soma, aproveitado a cosequêcia aterior: S a + a Assim, a soma dos termos de uma P.A. é dada pela expressão: ( a + a ) S (.3) Exemplo : Achar a soma dos 30 primeiros termos da P.A. (,5,... ). Solução: Usado a equação (.3): ( a + a ) 30 S Falta calcular o trigésimo termo. Para isso, calculamos a razão: r 5 r 3 E usamos este resultado: a30 a + 9r a a30 89 Fialmete: ( + 89) 30 S30 S S Exercícios de Fixação ) Determie o valor de x, tal que os úmeros esta ordem uma P.A. x, x + e ( x 3) + formem ) As medidas dos lados de um triâgulo são expressas por x +, x e estão em P.A. esta ordem. Calcule o perímetro do triâgulo. x 5 3) Qual é o 5º termo da P.A. ( 4,0,... )? 4) Numa P.A. de razão 5, o primeiro termo é 4. Qual a posição do termo igual a 44? Sequêcias, Progressões Aritméticas e Progressões Geométricas 4
5 Curso Metor 5) Qual é o primeiro termo de uma P.A. cujo sétimo termo é 46, sedo o termo precedete 39? 6) Quatos úmeros iteiros existem, de 00 a 500, que ão são divisíveis por 8? 7) Quatos termos aritméticos devemos iterpolar etre e 66 para que a razão da iterpolação seja 8? 8) Numa P.A. o 8º termo é 6 e o 0º é igual a 0. Calcule o primeiro termo e a razão. 9) Numa P.A., a3 + a6 9e a4 + a7 35. Escreva a P.A. 0) Ache três úmeros em P.A. crescete, sabedo que a soma é 5 e o produto é 05. ) Determie cico úmeros em P.A. crescete, sabedo que a sua soma vale 5 e o produto dos termos extremos é 99. ) Ache a soma dos 40 primeiros termos da P.A. ( 8,,... ) 3) A soma dos seis termos cosecutivos de uma P.A. é, e o último termo é 7. Determiar os termos da P.A. 4) Resolva a equação x 77, sabedo que os termos do primeiro membro estão em P.A. 5) Quato vale a soma dos seis primeiros da seqüêcia defiida por N *? a, com Progressões Geométricas Defiição É uma seqüêcia de úmeros ão-ulos em que cada termo, a partir do segudo, é igual ao aterior multiplicado por um úmero fixo chamado de razão da progressão. Exemplo : A sequêcia ( 4,8,6,3,64 ), é uma P.G. de razão q. Exemplo : A sequêcia (6, 8,54, 6), é uma P.G. de razão q 3. Represetação da Progressão Geométrica (P.G.) A represetação matemática de uma P.G. é: a,a,a,...,a,a, Como sabemos que cada termo a partir do segudo é igual ao aterior multiplicado por uma razão q, podemos escrever: Sequêcias, Progressões Aritméticas e Progressões Geométricas 5
6 Curso Metor a a q, * E, como cosequêcia da defiição: a a3 a+... q a a a + N (.4) Exemplo : Escreva uma P.G. de cico termos em que a e q 3. Solução: Pela defiição (.4) podemos escrever: a+ a q Como sabemos que a podemos escrever os próximos termos: a a q a 3 a 6 a a q a 6 3 a 8 A P.G. é portato: a a q a 8 3 a a a q a 54 3 a ,6,8,54,6. Fórmula do Termo Geral de uma P.G. Seja a um termo qualquer da progressão. Podemos etão escrever cada termo, a partir do segudo, como o termo aterior multiplicado pela razão q: a a q a3 a q a3 a q q a3 a q a a q a a q q a a q a a a q a a q q a a q a3 a Defiimos etão o termo geral de uma P.G.: a a q (.5) Exemplo : Ecotrar o termo geral da P.G.: (,4,... ). Solução: A partir do euciado ecotramos o primeiro termo e a razão: a 4 q q Substituido o que ecotramos a expressão do termo geral: a a q a a Observações Sobre a Resolução de Problemas de P.G. Observação : Às vezes, é coveiete colocar os termos em fução de a e de q, lembrado-se da fórmula do termo geral. Exemplo : Numa P.G. o º termo é 8 e o 5º é 5. Escrever a P.G. Solução: Do euciado podemos escrever: Sequêcias, Progressões Aritméticas e Progressões Geométricas 6
7 Curso Metor a 8 a5 5 Escrevedo cada um dos termos em fução do primeiro termo: aq 8 4 aq 5 Resolvedo o sistema aterior teremos: q 4 e a Logo, a P.G. será: (,8,3,8,5,... ) Observação : Quado o problema trata de termos cosecutivos de uma P.G. é coveiete escrever em fução do termo do meio: x,x,xq q Exemplo : A soma de três úmeros em P.G. é 39 e o produto etre eles é 79. Calcular os úmeros. Solução: Usado os dados do euciado e escrevedo os termos em fução do termo cetral: x + x + xq 39 x q + x + xq 39 q x x xq 79 3 x 79 x 9 q Substituido o valor de x a primeira equação: 9 9 9q 39 q + + Fazedo o MMC, chegamos à equação do º grau abaixo: 9q 30q Que tem como soluções: q 3 0 ± 8 q 6 q 3 Os úmeros são 3, 9, 7. Iterpolação Geométrica Iterpolar meios geométricos é iserir termos etre dois termos dados, de modo a se obter uma P.G. Exemplo : Iterpolar três meios geométricos etre 3 e 48. Solução: O problema cosiste em formar uma P.G. em que: ( 3,_,_,_,48 ). Ou seja, a 3, 5 e a5 48. Da fórmula do termo geral (.5) temos: a a q 48 3q q 4 q 6 q Sequêcias, Progressões Aritméticas e Progressões Geométricas 7
8 Curso Metor Logo: Para q 3,6,,4,48. a P.G. fica Para q a P.G. fica (3, 6,, 4, 48). Fórmula da Soma dos N Termos de uma P.G. Fiita Seja a P.G. fiita: ( a, a,...,a ) de razão q e de soma dos termos igual a S. Queremos ecotrar a soma: S a + a a + a º Caso: q ; S a º Caso: q ; Escrevedo cada termo em fução do primeiro: S a aq... aq aq Multiplicado a equação por q: S q a q + a q a q + a q Subtraido a primeira equação da seguda ficamos com a expressão: S Sq a aq Que os dá a expressão procurada: a ( q ) S q (.6) Exemplo : Dada a P.G. (,3,9,7,... ) calcular a soma dos 6 primeiros termos. Solução: Da própria P.G. podemos extrair os seguites dados: a 3 q q 3 6 Usado a defiição (.6): S ( ) a q q 6 ( ) 3 S6 S Fórmula da Soma dos Termos de uma P.G. Ifiita Seja a defiição da soma dos termos de uma P.G. fiita: a ( q ) S q O que queremos é que seja muito grade (ifiito). Na expressão aterior, se q < teremos que q será muito próximo de zero. Assim, usado estas aproximações, a soma dos termos de uma P.G. ifiita pode ser calculada pela fórmula: Sequêcias, Progressões Aritméticas e Progressões Geométricas 8 a S (.7) q
9 Curso Metor Ode a razão q deve satisfazer: < q < Exemplo : Calcular a soma dos termos da P.G.,,, Solução: Do euciado podemos ver que: q e a 4 Aplicado a defiição (.7) temos: Exercícios de Fixação a S q 4 S S S ) Determie o valor de x de modo que os úmeros x +, x + 4 e x + 0 formem, esta ordem, uma P.G. 7) Sabe-se que uma P.G. a razão é 9, o primeiro termo é 9 e o último termo é 79. qual o úmero de termos dessa P.G.? 8) Numa P.G. crescete, com 5 termos, a5 80 e a3 90. Escreva essa P.G. 9) Três úmeros estão em P.G. crescete, de tal forma que sua soma é 30 e o produto é Calcule os três úmeros. 0) Qual será a soma dos 0 primeiros termos de uma P.G. em que a e q? ) Qual o valor da expressão x x x? x x x x ) Sabedo que os úmeros, log x e log y estão simultaeamete em P.A. e P.G., calcule x e y. 3) A seqüêcia ( a,b a,3b,... ) ( a,b,3a + b,... ) é uma progressão geométrica. Calcule a e b. é uma progressão aritmética, e a seqüêcia 4) Os úmeros x, x e log 0x são, esta ordem, os três primeiros termos de uma progressão geométrica. Calcule: a) o primeiro termo; b) o quito termo; Sequêcias, Progressões Aritméticas e Progressões Geométricas 9
10 Curso Metor a 4 5) Cosidere a seqüêcia defiida por, válida para todo N *. a+ 3 a a) Mostre que se trata de uma progressão geométrica de razão 3 e escreva uma expressão do termo geral. b) Calcule a, a 4 e a 6. Sequêcias, Progressões Aritméticas e Progressões Geométricas 0
11 Curso Metor ) x ) 4 3) 88 4) 9º 5) 4 6) 35 7) 7 8) a, r 9) ( 4,7,0,3,... ) 0) 3, 5 e 7 ) ( 9, 4,,6,) ) ) ( 3,,,3,5,7) 4) { 0 } 5) 63 6) 7) 5 0,30,90,70,80 8) 9) ( 0,30,90 ) 0) 0 ) x ( x + ) ) x y 00 3) a e b 3 4) a) 5 b) 5 Gabarito 5) a) a 4 3 b), 08, 97 Sequêcias, Progressões Aritméticas e Progressões Geométricas
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