2.1 Dê exemplo de uma seqüência fa n g ; não constante, para ilustrar cada situação abaixo: (a) limitada e estritamente crescente;

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1 2.1 Dê exemplo de uma seqüêcia fa g ; ão costate, para ilustrar cada situação abaixo: (a) limitada e estritamete crescete; (b) limitada e estritamete decrescete; (c) limitada e ão moótoa; (d) ão limitada e ão crescete; (e) ão limitada e ão moótoa. 2.2 Esboce o grá co da seqüêcia de termo geral a = e veri que quatos potos da + 1 forma (; a ) estão fora da faixa horizotal determiada pelas retas y = 4=5 e y = 6=5: 2.3 Dê exemplo de uma seqüêcia limitada e ão moótoa que possui uma subseqüêcia estritamete crescete. 2.4 Expresse pelo seu termo geral cada seqüêcia dada abaixo. (a) 1; 1=2; 1=3; 1=4; (c) 1; 0; 1; 0; 1; (e) 1; 9; 25; 49; 81; (b) 1=2; 1=4; 1=8; 1=16; (d) 0; 2; 0; 2; 0; 2; 0; (f) 1; 3=2; 2; 5=2; 3; (g) 2; 1; 3=2; 1; 4=3; 1; (h) 0; 3=2; 2=3; 5=4; 4=5; (i) 0; 3; 2; 5; 4; (j) 1; 10; 2; 10 2 ; 3; 10 3 ; 2.5 Classi que as seqüêcias do Exercício 2.4 quato a limitação e mootoia e selecioe de cada uma delas uma subseqüêcia moótoa. Qual daquelas seqüêcias possui um subseqüêcia costate? 2.6 Determie o sup e o if das seguites seqüêcias: ; ; ; 1 ; fl g ;! ; f( 2) g : 2.7 Para que uma seqüêcia possua uma subseqüêcia costate é ecessário e su ciete que algum termo da seqüêcia se repita uma i idade de vezes.

2 20 ANÁLISE NA RETA MARIVALDO P MATOS Nos Exercícios 2.8 a 2.13 use o Método de Idução Fiita para demostrar as seteças. 2.8 Se 1 < 2 < 3 < são úmeros aturais, mostre que j j, 8j 2 N: 2.9 Mostre que : : : (2 1) : : : (2) 1 ; 8 2 N Uma seqüêcia fb g é de ida por: b 1 = 1 e b = 1 2 b 1 ; 2: Mostre que b = ( 1)! : 2.11 Cosidere a seqüêcia de Fiboacci: a 1 = 1; a 2 = 1 e a = a 1 + a 2 ; para 2. Mostre que a = 1 h 2 p 1 + p Mostre que (1 + x) 1 + x + 1 p 5 i : ( 1) x2 ; x 0; 8 2 N Se a 1 ; a 2 ; a 3 ; : : : ; a são úmeros reais, demostre que as seguites relações são válidas: ja 1 + a 2 + a a j ja 1 j + ja 2 j + ja 3 j + + ja j ja 1 + a 2 + a a j ja 1 j ja 2 j ja 3 j ja j 2.14 Verdadeiro (V) ou Falso (F). Justi car as a rmações falsas com um cotra-exemplo. ( ) toda seqüêcia covergete é limitada; ( ) toda seqüêcia limitada é covergete; ( ) toda seqüêcia limitada é moótoa; ( ) toda seqüêcia moótoa é covergete; ( ) a soma de duas seqüêcias divergetes é divergete; ( ) toda seqüêcia divergete é ão moótoa; ( ) se uma seqüêcia covergete possui uma i idade de termos ulos, seu limite é zero; ( ) toda seqüêcia divergete é ão limitada; ( ) se uma seqüêcia possui uma subseqüêcia covergete, ela própria coverge; ( ) toda seqüêcia alterada é divergete; ( ) toda seqüêcia decrescete limitada é covergete e seu limite é zero;

3 SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS VERÃO lim y : ( ) se uma seqüêcia fa g diverge, etão fja jg também diverge; ( ) se ja +1 a j! 0; etão a seqüêcia fa g coverge; ( ) se a seqüêcia fja jg coverge etão fa g também coverge; ( ) se a seqüêcia fja jg coverge para zero, etão fa g também coverge para zero; ( ) se a b ; 8; fa g crescete e fb g covergete, etão fa g coverge; ( ) se fa g é covergete, etão f( 1) a g também coverge; ( ) a seqüêcia fa g de ida por a 1 = 1 e a +1 = a + 1 é covergete; ( ) a seqüêcia fa g de ida por a 1 = 1 e a +1 = 1 a é covergete; ( ) se a 6= 0; 8; e lim a +1!1 a = l < 1, etão lim a = 0;!1 ( ) a seqüêcia a = ( 1) cos 2 + possui uma subseqüêcia covergete; ( ) se a série P a é covergete, etão as séries P a 2 e P a 2 1 também covergem; ( ) se as séries P a 2 e P b 2 são covergetes, etão P a b também coverge; ( ) se a série P a 2 é covergete, etão P a = também coverge; ( ) se a série P a é covergete e a > 0; 8; etão P a 2 e P a = (1 + a ) covergem; ( ) se fx g e fy g são covergetes e x y ; a partir de um certo ídice, etão lim x 2.15 Em cada caso, e quado possível, costrua seqüêcias fa g ; fb g e fc g em R tais que a! 1; b! 1; c! 0 e que veri quem: (a) a + b! 1 (b) a + b! 1 (c) a + c! 1 (c) a c! 0 (d) a c! 1: 2.16 Usado a de ição de limite, prove que: (a) lim!1 2 1 = (d) lim! = 1 3 se 5 + (b) lim = 0 (c) lim!1!1 (e) lim!1 5 = 0 (f) lim 2 + 3! = = 2: 2.17 Calcule o limite de cada seqüêcia dada abaixo pelo seu termo geral.

4 22 ANÁLISE NA RETA MARIVALDO P MATOS (a) (e) (i) 3p p (m) p (b) se (f) (j) (c) l e (g) e (k) 1 (d) (h) (l) p! + e 2 5 p! e p () p 2 + (o) 2 e (p) p a; a > Em cada caso abaixo veri que se a seqüêcia dada pelo seu termo geral é covergete ou divergete. (a) p (d) (e) (g) 2 + ( 1) (j) 2 p (b) 1 p (h) (k) p (c) 2! (f) ( 1) ::: (2 1)!2 (i)!! ::: (2 1) (l) 2 l ( + 1) (m) se () () 8p p + 1 (o) 1 + ( 1) 2.19 Prove que lim!1 (3 + 4 ) 1= = 4. Geeralização: lim!1 (a + b ) 1= = max fa; bg : 2.20 Se jrj < 1, mostre que lim!1 r = 0: Se r > 1, mostre que lim!1 r = 1: E se r < 1? 2.21 Se 0 < a < 2, mostre que a < p 2a < 2. Usado este fato prove que a seqüêcia q p 2; 2 p r q 2; 2 2 p 2; ::: é moótoa limitada e portato covergete. Calcule seu limite Seja fb g é uma seqüêcia covergete, com b 6= 0; 8; e lim!1 b 6= 0: A partir da de ição de limite, mostre que a seqüêcia f1=b g é limitada Mostre que lim hse(!1 2 2 ) se( 3 2 ) se( 4 2 ) : : : se( i 2 ) = 0: 2.24 Cosidere a seqüêcia cujos termos são de idos pela recorrêcia: a 1 = 5 e a +1 = p a : Estes termos podem ser gerados em uma calculadora, itroduzido-se o úmero 5 e pressioado-se a tecla p x.

5 SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS VERÃO (a) descreva o comportameto de fa g quado aumeta; (b) se coveça que a = 5 1=2 e calcule lim!1 a : 2.25 Em uma calculadora uma seqüêcia é gerada itroduzido-se um úmero e pressioadose a tecla 1=x. Em que codições a seqüêcia tem limite? 2.26 Seja fx g uma seqüêcia com a seguite propriedade: existe um úmero atural p tal que x +p = x ; 8: Costrua uma sequêcia divergete com esta propriedade e mostre que a úica seqüêcia covergete com esta propriedade é a seqüêcia costate. (sug. x +kp = x ; 8k 2 N) 2.27 Recorde-se que um úmero real x é valor de aderêcia de uma seqüêcia (x ) quado alguma subseqüêcia de (x ) covergir para x: Determie uma seqüêcia cujo cojuto de valores de aderêcia é: (a) A = f1; 2; 3; 4g (b) A = N (c) A = [0; 1] : 2.28 Sejam a : 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; : : : e b : 1; 2; 1; 2; 3; 1; 2; 3; 4; 1; 2; 3; 4; 5; : : :. Determie: (a) Todas as subsequêcias de (a ) e (b ) covergetes; (b) Todos os valores de aderêcia de (a ) e (b ) : x < y : 2.29 Se lim x = a e lim y = b; com a < b; prove que existe um 0 2 N a partir do qual 2.30 Supoha que um úmero real a ão é limite de uma seqüêcia limitada fx g. Mostre que a seqüêcia fx g possui uma subseqüêcia covergete com limite 6= a: 2.30 De a a seqüêcia fx g por: x 2 = 1= e x 2 1 = p : Quatos valores de aderêcia a seqüêcia fx g possui? Ela é covergete? 2.32 Se lim x = a; prove que: lim!1 x 1 + x x = a: 2.33 Se X R é um subcojuto ão vazio, mostre que a 2 X 0 se, e somete se, existe em X fag uma seqüêcia com limite a:

6 24 ANÁLISE NA RETA MARIVALDO P MATOS 2.34 Cosidere duas seqüêcias fx g e fy g, sedo fx g covergete. Se para cada " > 0 existir uma úmero N tal que jx seqüêcia fy g? y j < "; 8 N; o que se pode dizer sobre a covergêcia da 2.35 De a por recorrêcia uma seqüêcia fx g da seguite maeira: xe x 1 > 1 e para 1 de a x +1 = 2 1=x : Mostre que a seqüêcia fx g é covergete e calcule o seu limite Repita o exercício precedete com a seqüêcia: y 1 = 1 e y +1 = p 2 + y ; para 1: 2.1 Limite superior & Limite iferior 2.37 Seja fx g uma seqüêcia limitada e para cada 2 N sejam S = sup fx k ; k g e s = if fx k ; k g : Veri que que as seqüêcias fs g e fs g são covergetes e que fx g coverge se, e somete se, lim S = lim s : O úmero real lim S é deomiado limite superior da seqüêcia fx g e aota-se lim sup x ou limx : O úmero real lim s é deomiado limite iferior da seqüêcia fx g e aota-se lim if x ou limx : Da de ição segue diretamete que: lim sup x = if sup fx k g e lim if x = sup if fx kg : k k 2.38 Estabeleça as seguites propriedades para o lim sup e lim if. (a) lim if x lim sup x ; (b) se c 0, etão lim sup (c x ) = c lim sup x e lim if (c x ) = c lim if x ; (c) se c 0, etão lim if (c x ) = c lim sup x e lim sup (c x ) = c lim if x ; (d) lim if x + lim if y lim if (x + y ) ; (e) lim sup (x + y ) lim sup x + lim sup y ; (f) se x y ; 8; etão lim if x lim if y e lim sup x lim sup y : 2.39 Com relação a uma seqüêcia limitada fx g ; mostre que as seguites a rmações são equivaletes: (a) x = lim sup x ; (b) se " > 0; existe apeas uma quatidade ita de úmeros aturais tais que x + " < x ; mas existe uma quatidade i ita de ídices tais que x " < x ;

7 SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS VERÃO (c) x = if X; ode X é o cojuto dos úmeros reais tais que < x ; para o máximo uma quatidade ita de termos x Estabeleça um resultado aálogo ao exercício precedete para o lim if : lim if : 2.41 As seqüêcias abaixo são divergetes. Por quê? Em cada caso, calcule o lim sup e o (a) a = ( 1) (b) b = 1 + ( 1) (c) c = ( 1) + 1=: 2.42 Se fx g é uma seqüêcia limitada, prove que alguma subseqüêcia de fx g coverge para lim sup x. Idem para lim if x : Isso estabelece o seguite resultado devido a Bolzao-Weierstrass: Toda seqüêcia limitada de úmeros reais possui uma subseqüêcia covergete. 0 : 2.43 Mostre que toda seqüêcia de Cauchy em Z permaece costate a partir de certo ídice 2.44 Se 0 < r < 1 e uma seqüêcia fx g satisfaz à relação jx +1 x j < r ; 8 2 N, mostre que fx g é de Cauchy Usado a de ição, mostre que as seqüêcias x = ( + 1) = e y = 1 + 1=2! + 1=3! + 1=! são de Cauchy Dizemos que fx g tede para +1; e escrevemos x! +1 ou lim x = +1; se para cada 2 R existir um úmero atural N () tal que x ; para qualquer ídice N (). Dizemos que fy g tede para 1; e escrevemos y! 1 ou lim y = 1; se para cada 2 R existir um úmero atural N () tal que y ; para qualquer ídice N (). Sejam fx g e fy g seqüêcias em R + tais que lim (x =y ) = L > 0: Mostre que: lim x = +1, lim y = +1: 2.47 Sejam fx g e fy g seqüêcias em R + tais que lim (x =y ) = 0: Mostre que: (a) se x! +1, etão y! +1 (b) se fy g é limitada, etão lim x = 0: 2.48 Sejam t 0 ; t 1 ; : : : ; t p úmeros reais tais que t 0 + t 1 + : : : + t p = 0. Mostre que a seqüêcia (a ) de ida por a = P p k=0 t kp + k coverge para zero.

8 26 ANÁLISE NA RETA MARIVALDO P MATOS 2.49 Mostre que o cojuto costituído por uma seqüêcia covergete jutamete com o seu limite é compacto Se uma seqüêcia moótoa possui uma subseqüêcia covergete, prove que a seqüêcia é, ela própria, covergete. O mesmo ocorre com uma seqüêcia de Cauchy Mostre que a seqüêcia a = é covergete. P 2.52 Se a > 0; 8, mostre que a série 1 a é covergete se, e somete se, a série P a =1 1 + a o for Seqüêcias de quadrado somável. Seja l 2 = fx = fx g; P 1 =1 x2 < 1g: (a) Dados x; y 2 l 2 e 2 R, mostre que x + y 2 l 2 ; (b) Mostre que a fução ' : l 2! R + de ida por: ' (x) = P 1 =1 x2 1=2 ; x = fx g 2 l 2 ; goza das seguites propriedades: (i) ' (x) 0; 8~x e que ' (x) = 0, x = 0; (ii) ' (x) = jj ' (x) ; 8 (; x) 2 R l 2 ; (iii) ' (x + y) ' (y) + ' (y) ; 8x; y 2 l 2 :