Considerações finais

Transcrição

1 Cosiderações fiais Bases Matemáticas Defiições prelimiares Defiição 1 Dizemos que y é uma cota superior para um cojuto X se, para todo x X é, verdade que y x. Exemplo 1 os úmeros 2, 3, π e quaisquer outros úmeros maiores ou iguais a 2, são cotas superiores para o itervalo (1;2) 0 (e qualquer outro úmero maior ou igual a este) é cota superior para ão existe cota superior para qualquer úmero é uma cota superior para Defiição 2 O supremo de um cojuto X, deotado sup X, é a meor cota superior para esse cojuto. Exemplo 2 sup(1;2) = 2, assim como sup[1;2] = 2 sup = 0 sup ão existe pois ão tem ehuma cota superior sup ão existe pois ão há meor cota superior para o cojuto vazio Axioma da Completude Se X é um subcojuto ão vazio e com cota superior, etão sup X existe e é um úmero real. Defiição 3 Dizemos que uma fução f é restrita superiormete em um cojuto X se a imagem f (X ) possui cota superior. 1

2 Exemplo 3 f (x) = e x2 é restrita superiormete em pois e x2 1 para todo x. g(x) = 1/x é restrita superiormete em ( ;0) (pois 0 é cota superior) mas ão em (0;+ ) pois lim 1/x = +. + x 0 Exemplo 4 a fução f () = é crescete e restrita superiormete em. Demostração: Vamos usar a desigualdade de Beroulli: (1 + r ) k > 1 + k r para todo r > 1 real ão ulo e k 2 atural. Isto pode ser demostrado pelo Pricípio da Idução Fiita (veja demostração a pág. 4). Com a desigualdade de Beroulli, demostramos que +1 1 = ou seja, > = +1 ( + 1) 2 +1 > ( + 1) 2, 1 1 = Esta última desigualdade equivale a f ( + 1) > f (), válida para todo, portato a fução é crescete. Para mostrar que é restrita superiormete, cosidere a fução auxiliar g() = , decrescete em (veja demostração a pág. 5). Observe que g(1) > g(2) >... > g() >... > f ( + 1) > f () > f ( 1) >... para todo, logo g(1) = 4 é cota superior para a imagem de f. Aproveitado as defiições de cota superior, supremo e fução restrita superiormete, podemos defiir também os coceitos de cota iferior, ífimo e fução restrita iferiormete, respectivamete. Defiição 4 Uma cota iferior para um cojuto X é um úmero y tal que y x para todo x X. Defiição 5 O ífimo de um cojuto X, deotado if X, é a sua maior cota iferior. Defiição 6 Uma fução f é dita restrita iferiormete em um cojuto X se a imagem f (X ) possui cota iferior. Exemplo 5 a fução f () = é restrita iferiormete em, pois como ela é crescete, etão f (1) f () para todo. O úmero f (1) = 2 é, portato, uma cota iferior para a imagem da fução. 2

3 Teorema da Covergêcia Moótoa Teorema 1 Seja f uma fução real ão-decrescete, restrita superiormete e cujo domíio ão possui cota superior. Etão lim f (x) existe e é um úmero real. Demostração: Por hipótese, a imagem de f é ão vazia e possui cota superior, logo pelo Axioma da Completude existe um úmero real M que é o supremo da imagem de f. Ou seja, M é tal que f (x) M para todo x o domíio da fução. Dado ε > 0 qualquer, ote que deve existir N o domíio de f tal que M f (N) ε, pois se tal afirmação fosse falsa, teríamos que para todo N o domíio seria verdade que M f (N) ε, ou seja, f (N) M ε, portato M ε seria uma cota superior meor do que o supremo. Como N é tal que M f (x) ε e f é ão-decrescete, etão para todo x N o domíio de f, temos que f (x) f (N). Logo, dado ε > 0 existe N real para o qual f (x) M ε para todo x N o domíio de f. Podemos tirar duas cosequêcias imediatas do Teorema 1. Teorema 2 Seja f uma fução real ão-crescete, restrita iferiormete e cujo domíio ão possui cota superior. Etão lim f (x) existe e é um úmero real. Demostração: Cosidere g(x) = f (x) e aplique o teorema aterior a g. Podemos agrupar os Teoremas 1 e 2 em um só teorema. Teorema 3 (da Covergêcia Moótoa) Seja f uma fução real moótoa, restrita iferiormete e superiormete e cujo domíio ão possui cota superior. Etão lim f (x) existe e é um úmero real. O Número de Euler Como a fução dos Exemplos 4 e 5 é crescete, portato moótoa, e restrita superiormete e iferiormete, o Teorema da Covergêcia Moótoa os garate que o limite lim x é um úmero real. x Defiição 7 O úmero de Euler é defiido como sedo o úmero real e tal que e = lim

4 A fução expoecial atural é defiida por exp(x) = e x. Note que, fazedo uma substituição de variáveis u = /x o cálculo a seguir: lim 1 + x = lim u x = lim u x = e x, + u + u u + u obtemos uma defiição equivalete para a fução expoecial atural: exp(x) = lim 1 + x + O logaritmo atural l(y) é defiido como sedo o úmero x tal que e x = y, ou seja, é o logaritmo de y a base e. Para casa Fazer os exercícios 4 e 10 da lista 10. Demostrações Prova da desigualdade de Beroulli Queremos demostrar que, dado um úmero real r > 1 ão ulo, a seguite proposição é válida para todo k 2 atural: p() = (1 + r ) k > 1 + k r Base: a proposição p(2) é verdadeira? Veja que (1 + r ) 2 = 1 + 2r + r 2, que é maior que 1 + 2r pois r 2 0. Passo: a implicação p() p( + 1) é verdadera? Por hipótese, (1 + r ) > 1 + r. Multiplicado dos dois lados por r + 1, que é um úmero positivo pois r > 1, obtemos (1 + r )(1 + r ) > (1 + r )(1 + r ), ou seja, (1 + r ) +1 > 1 + ( + 1)r + r 2 > 1 + ( + 1)r. 4

5 Prova de que g(x) = é decrescete Queremos demostrar que g() g( 1) para todo 2 atural. Note que todas as desigualdades a seguir são equivaletes: g() g( 1), , , , , , 2 1, ivertedo ambos os lados, > , > Aplicado a desigualdade de Beroulli, temos > > =