Universidade Federal de Juiz de Fora. PROFMAT - Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional. Augusto Frederico Burle Neto

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1 Uiversidade Federal de Juiz de Fora PROFMAT - Mestrado Profissioal em Matemática em Rede Nacioal Augusto Frederico Burle Neto Potêcia de Expoete Irracioal: Uma aula para os aluos da 3 a série do Esio Médio Juiz de Fora 203

2 Augusto Frederico Burle Neto Potêcia de Expoete Irracioal: Uma aula para os aluos da 3 a série do Esio Médio Dissertação apresetada ao Programa de Pós-graduação PROFMAT (Mestrado Profissioal em Matemática em Rede Nacioal) a Uiversidade Federal de Juiz de Fora, como requisito parcial para obteção do grau de Mestre. Orietadora: Sofia Carolia da Costa Melo Juiz de Fora 203

3 Burle, Augusto Frederico Neto. Potêcia de Expoete Irracioal: Uma aula para os aluos da 3 a série do Esio Médio Augusto, Frederico Burle Neto f. Dissertação (Mestrado Profissioal em Matemática em Rede Nacioal) Uiversidade Federal de Juiz de Fora, Matemática. 2. Irracioal. 3. Sequêcia. 4. Limite. I. Título.

4 Augusto Frederico Burle Neto Potêcia de Expoete Irracioal: Uma aula para os aluos da 3 a série do Esio Médio Dissertação aprovada pela Comissão Examiadora abaixo como requisito parcial para obteção do título de Mestre em Matemática pelo Mestrado Profissioal em Matemática em Rede Nacioal a Uiversidade Federal de Juiz de Fora. Prof. Dra. Sofia Carolia da Costa Melo (Orietadora) PROFMAT Istituto de Ciêcias Exatas - UFJF Prof. Dr. Regis Castijos Alves Soares Júior PROFMAT Istituto de Ciêcias Exatas - UFJF Prof. Dr. Augusto César de Castro Barbosa PROFMAT Istituto de Matemática e Estatística - UERJ Juiz de Fora, 04 de abril de 203.

5 AGRADECIMENTOS Agradeço a miha orietadora Sofia que me dispoibilizou tempo precioso do seu trabalho para me dar suporte seguro e atecioso. Agradeço também a miha esposa Maria por sua paciêcia e compreesão os meus mometos de tesão e asiedade. Não poderia também deixar de agradecer a CAPES pela cocessão da bolsa.

6 RESUMO Este trabalho de coclusão de curso apreseta uma proposta de aula sobre potêcia de expoete irracioal para aluos da terceira série do Esio Médio. A defiição de tal coteúdo evolve o coceito de limite de sequêcia, que é um tema ão pertecete ao coteúdo programático da imesa maioria das escolas brasileiras. Aqui, a proposta é abordá-lo de uma maeira acessível aos aluos do Esio Médio. No fial deste trabalho são feitas as demostrações formais que embasam tudo que a aula foi mostrado sem o devido rigor matemático. Palavras-chave: Matemática. Irracioal. Sequêcia. Limite.

7 ABSTRACT This course coclusio work proposes a lesso about the power of irratioal expoet for high school studets. The defiitio of such cotet covers the limit of sequece cocept, which does ot costitute the curriculum of almost every Brazilia schools. This work aims at approachig the subject i a accessible to high school studets. At the ed, formal demostratios are made to theorize the subjects preseted i class without the proper mathematical formality. Key words: Mathematics. Irratioal. Sequece. Limit.

8 SUMÁRIO INTRODUÇÃO 9 2 CONSIDERAÇÕES INICIAIS 0 2. OBJETIVOS PÚBLICO ALVO PRÉ-REQUISITOS MATERIAIS E TECNOLOGIAS RECOMENDAÇÕES METODOLÓGICAS DIFICULDADES PREVISTAS DESCRIÇÃO GERAL POSSÍVEIS DESDOBRAMENTOS A POTENCIAÇÃO NOS LIVROS DA EDUCAÇÃO BÁSICA 3 3. POTÊNCIA DE EXPOENTE NATURAL PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO POTÊNCIA DE EXPOENTE INTEIRO POTÊNCIA DE EXPOENTE RACIONAL NÚMEROS IRRACIONAIS POTÊNCIA DE EXPOENTE IRRACIONAL PROPOSTA DE AULA SOBRE POTÊNCIA DE EXPOENTE IRRA- CIONAL CONSIDERAÇÕES SOBRE A PROPOSTA DE AULA SEQUÊNCIAS LIMITES DE SEQUÊNCIAS

9 CONVERGÊNCIA DE SEQUÊNCIAS CONCEITUAÇÃO DE POTÊNCIA DE EXPOENTE IRRACIONAL CONCEITOS FORMAIS 38 6 CONSIDERAÇÕES FINAIS 49 7 REFERÊNCIAS 50

10 9 INTRODUÇÃO No Esio Médio é estudado o coceito de fução expoecial, cujo domíio é apresetado como sedo todos os úmeros reais, os quais eglobam os iteiros, os racioais e os irracioais. Porém, geralmete, só são defiidas as potêcias de expoetes iteiros ou racioais. Vários livros didáticos de Esio Médio abordam fução expoecial simplesmete omitido a extesão para expoete irracioal. O grau de dificuldade que apreseta a defiição de potêcia de expoete irracioal é o pricipal motivo para que tal tópico ão seja estudado este ível de escolaridade, ão tedo sido icluído o currículo do Esio Médio. Apesar desse empecilho, este trabalho de coclusão de curso se propõe a apresetar uma aula de potêcia de expoete irracioal para aluos da terceira série do Esio Médio. Este trabalho está dividido da forma que apresetamos a seguir. O capítulo 2 é composto das seguites seções: objetivos, público alvo, pré-requisitos, materiais e tecologias, recomedações metodológicas, dificuldades previstas, descrição geral e possíveis desdobrametos. No capítulo 3 são apresetadas as propriedades da poteciação e os coceitos de potêcias de expoete atural, iteiro e racioal. Além disso, é mostrado como algus livros didáticos da Educação Básica abordam o coceito de úmero irracioal e como algus livros do Esio Médio tratam, sem defii-las, as potêcias de expoete irracioal. No capítulo 4 é mostrada a aula sobre a potêcia de expoete irracioal para os estudates da terceira série do Esio Médio. No capítulo 5 é feita a demostração formal do que foi esiado essa aula, sedo portato um coteúdo que ão é apresetado aos aluos. O capítulo 6 trata da expectativa quato ao redimeto dos aluos da terceira série do Esio Médio em relação à aula de potêcia de expoete irracioal.

11 0 2 CONSIDERAÇÕES INICIAIS 2. OBJETIVOS O objetivo deste trabalho de coclusão de curso é apresetar ao aluo da terceira série do Esio Médio algus coceitos de Aálise que possibilitem, essa fase de apredizado, o estudo de potêcia de expoete irracioal. Para tal, é ecessária uma abordagem que permita ao aluo apreder coceitos cuja otação formal é matéria específica do Esio Superior. Há uma lacua o esio de fução expoecial, uma vez que o aluo aprede a traçar o gráfico de fuções expoeciais mas geralmete ão tem cotato com úmeros que são images de elemetos irracioais do domíio dessas fuções. Pretedemos preecher essa lacua coceituado ideias matemáticas descohecidas pelo aluo com uma termiologia que ele seja capaz de compreeder, valedo-se dos cohecimetos adquiridos até essa série. Portato, a explicação dos sucessivos passos dessa abordagem que prescide do formalismo da liguagem matemática é o objetivo desse trabalho. 2.2 PÚBLICO ALVO A proposta dessa aula de potêcia de expoete irracioal destia-se a estudates da 3 a série do Esio Médio. 2.3 PRÉ-REQUISITOS Os coteúdos que são pré-requisitos para que os aluos da 3 a série do Esio Médio compreedam a aula sobre potêcia de expoete irracioal são: resolução de equações e iequações do o e do 2 o grau, resolução de iequações modulares, fução quadrática, fução expoecial e método de demostração por absurdo. 2.4 MATERIAIS E TECNOLOGIAS Para o desevolvimeto da aula é ecessária uma calculadora, pois algumas divisões feitas à mão cosumiriam um tempo demasiado, sem ehum gaho pedagógico.

12 2.5 RECOMENDAÇÕES METODOLÓGICAS São ecessários três tempos de quareta e cico miutos para a aula sobre potêcia de expoete irracioal para os aluos da 3 a série do Esio Médio. 2.6 DIFICULDADES PREVISTAS A maioria dos aluos que chegam ao Esio Médio ão estão habituados a raciociar, a descobrir sozihos as soluções de determiados problemas, efim tem pouca base para compreeder coceitos matemáticos mais complexos presetes o Esio Médio. Sedo assim, é previsível que o desevolvimeto da aula de potêcia de expoete irracioal apresete aspectos que boa parte dos aluos teha dificuldade de compreeder. Justamete por isso é que o coceito de potêcia de expoete irracioal, que evolve a oção de limite de sequêcia, é abordado a aula da forma meos formal possível. 2.7 DESCRIÇÃO GERAL A aula começa com a revisão das propriedades da poteciação e da poteciação com expoete racioal. Em seguida, é mostrado como os úmeros irracioais e as potêcias de expoete irracioal são abordados os livros didáticos. É importate que os aluos da 3 a série do Esio Médio etedam que cada úmero real é igual ao limite de uma sequêcia de úmeros racioais que coverge para esse úmero real. Por exemplo, o úmero 3 é igual ao limite da sequêcia (3,0; 3,00; 3,000;...), o úmero 5, é igual ao limite da sequêcia (5,0; 5,33; 5,333;...) e o úmero 2 é igual ao limite da sequêcia (, 4;, 4;, 44;, 442;, 442;, 4423;...). Assim, para podermos coceituar potêcia de expoete irracioal, é ecessária iicialmete uma abordagem de úmero real (em particular, de úmero irracioal) como o limite de uma sequêcia. Para compreeder essa defiição o aluo deve ser apresetado ates aos coceitos de sequêcia e limite de sequêcia. Após defiirmos sequêcia, apresetamos algus exemplos de sequêcias covergetes e de sequêcias divergetes para o aluo perceber a oção de limite de sequêcia. Em seguida, defiimos úmero irracioal como sedo o limite de uma sequêcia de racioais que coverge para esse irracioal. Apresetamos etão, a forma de propriedade das sequêcias covergetes, a defiição de limite de sequêcia, sem formalizar demais, ou seja sem o uso das otações o,ε. Também sem sermos rigorosos a formalização, defiimos sequêcia de Cauchy. Em seguida, apresetamos a defiição formal de potêcia de expoete real, que egloba o

13 2 caso de expoete irracioal. Para que essa defiição proceda, mostramos que a x existe, sedo a um úmero positivo e a x o limite da sequêcia a X, ode X é uma sequêcia de racioais que coverge para o úmero real x. Ates dessa demostração, para ela ser possível, apresetamos dois teoremas segudo os quais toda sequêcia covergete é uma sequêcia de Cauchy e toda sequêcia de úmeros reais de Cauchy é covergete. 2.8 POSSÍVEIS DESDOBRAMENTOS Em um projeto de iiciação cietífica para aluos do Esio Médio, com boa base em Matemática, seria iteressate que, a aula de potêcia de expoete irracioal, se abordasse mais formalmete o coceito de limite de sequêcia. Nesse caso, o capítulo 4 desse trabalho de coclusão de curso, a meos de algumas demostrações, poderia fazer parte dessa aula. Pouquíssimos colégios o Brasil icluem limite, tato de sequêcia quato de fução, em sua matriz curricular do Esio Médio. Certamete, é muito proveitoso para o aluo que igressa em uma faculdade da área de Ciêcias Exatas já ter obtido, durate o Esio Médio, algum tipo de cohecimeto sobre limite. Quato mais formalmete, melhor.

14 3 3 A POTENCIAÇÃO NOS LIVROS DA EDUCAÇÃO BÁSICA No iício deste capítulo são defiidas as potêcias de expoete atural, iteiro e racioal e também são apresetadas as propriedades da poteciação. Em seguida, é mostrado como algus livros didáticos da Educação Básica abordam os úmeros irracioais. No fial é apresetada a forma como algus livros didáticos do Esio Médio tratam das potêcias de expoete irracioal, sem defii-las. 3. POTÊNCIA DE EXPOENTE NATURAL Sejam a um úmero real e x um úmero atural. Defiimos a potêcia de a de expoete atural x como sedo o úmero: a x = a.a.a...a.a }{{} x fatores 3.2 PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO Devemos recordar as seguites propriedades relativas à poteciação: I) a x+y = a x.a y II) (a x ) y = a x.y III) (a.b) x = a x.b x Vamos demostrá-las: I) a x+y = a x.a y a x.a y = a.a...a }{{}.a.a...a }{{} = a.a...a }{{} = ax+y xf atores yf atores x + yf atores II) (a x ) y = a x.y

15 4 (a x ) y = a x.a x...a x }{{} = a.a...a }{{}.a.a...a }{{}.a.a...a }{{} = axy yf atores xf atores xf atores xf atores }{{} x. y fatores III) (a.b) x = a x.b x (a.b) x = a }. b... a {{. b... a. b} = a }. a {{...a }.b }. b {{...b } = ax.b x xf atores xf atores xf atores As três propriedades têm que valer ão só para potêcias de expoete atural, como para as de qualquer expoete real. 3.3 POTÊNCIA DE EXPOENTE INTEIRO Sejam a um úmero real ão ulo e x um úmero atural. Temos que a 0 =, pois: a 0+x = a 0.a x (usado a propriedade I) a x = a 0.a x a 0 = ax a x = Como x é um úmero atural, x é um iteiro egativo. Logo, se o expoete for um úmero iteiro egativo, etão a x = a x, pois: a x+( x) = a x.a x (usado a propriedade I) a 0 = a x.a x = a x.a x a x = a x, pois ax POTÊNCIA DE EXPOENTE RACIONAL Sejam a um úmero real positivo, x um úmero atural e um úmero atural maior que. Etão a x = a x, pois: a x = a x. a x = (a x ) (usado a propriedade II) Extraido a raiz de ídice em ambos os membros, obtemos o resultado esperado.

16 5 Como x é um úmero racioal positivo, x for um úmero racioal egativo, etão: a x =, pois: a x a x + x = a 0 = é um racioal egativo. Logo, se o expoete a x.a x = a x + x = (usado a propriedade I) a x = a x pois a x 0 Logo, a x = a x Devemos ressaltar que, o caso de expoete racioal, há ecessidade de se fazer a restrição da base a ser positiva. Se cosiderássemos a possibilidade de a ser egativa, teríamos determiadas potêcias de expoete racioal que ão seriam úmeros reais, como por exemplo ( 4) 2 = NÚMEROS IRRACIONAIS Vejamos agora como algus livros didáticos da Educação Básica apresetam os úmeros irracioais. Observe que ão são citados em úmeros irracioais que ão possuem uma lei de formação e em potêcias de expoete irracioal. Segudo Iezzi, G.; Dolce, O.; Périgo, R. (998, p.8), temos: Assim como existem úmeros decimais que podem ser escritos como frações, com umerador e deomiador iteiros - os úmeros racioais, que acabamos de ver - há os que ão admitem tal represetação ifiita periódica. Vejamos algus exemplos: - O úmero 0, ão é dízima periódica, pois os algarimos após a vírgula ão se repetem periodicamete. 2 - O úmero, também ão comporta represetação fracioária, pois ão é dízima periódica. 3 - Os úmeros 2 =, , 3 =, e π = 3, , por ão apresetarem represetação ifiita periódica, também ão são úmeros racioais. Um úmero cuja represetação decimal ifiita ão é periódica é chamado de úmero irracioal. Segudo Machado, A. S. (998, p.40), temos: Há úmeros que podem ser escritos a forma decimal com ifiitas casas decimais e ão são periódicos. Verifica-se que esses úmeros ão são racioais (ão podem ser obtidos por divisão de dois iteiros). Eles são deomiados úmeros irracioais. São exemplos de úmeros irracioais: 2 =, = 3,

17 6 4 6 =, π = 3, (razão etre o comprimeto e o diâmetro de uma circuferêcia) e = 2, (cohecido como úmero de Euler - Leoard Euler - 707/783) 2 = 0, , Segudo Biachii, E.; Paccola, H. (2004, p.50-5), temos: Os úmeros racioais também ão são suficietes para idicar todas as situações. Cosidere, por exemplo, um quadrado de lado. Aplicado o teorema de Pitágoras, determiamos que a medida da diagoal desse quadrado é 2(( 2) 2 = ). Mostremos que 2 ão é um úmero racioal. De fato, se 2 fosse racioal, etão deveriam existir dois úmeros p e q primos etre si, tal que 2 = p q, ou seja, p = q 2. Elevado ambos os membros ao quadrado, temos p 2 = 2q 2. Logo p 2 é par e cosequetemete p é par, pois se p fosse ímpar, p 2 também seria ímpar. Fazedo p = 2k(k Z), temos: 4k 2 = 2q 2 2k 2 = q 2. Logo, q 2 é par e etão q é par. O fato de p e q serem pares os mostra qua a suposição de que p e q são primos etre si é falsa. Logo, ão existe o úmero racioal p q, tal que 2 = p q. Portato, 2 ão é um úmero racioal. De um modo geral, toda raiz cuja represetação decimal ão é exata, assim como todo úmero cuja forma decimal ão é exata em periódica, ão são úmeros racioais. A esses tipos de úmeros chamamos de úmeros irracioais. Vejamos outros exemplos de úmeros irracioais: a) Escritos a forma decimal: 0, ; 0, ; 2, ; π = 3,459 b) Escritos a forma de radical : 5, 3, 3 4, 6 5, 2 4 2, O fato de sempre existir, etre dois úmeros racioais, um outro úmero racioal ão sigifica que os úmeros racioais preecham completamete os potos da reta umérica, o que vale dizer que existem potos da reta que ão represetam úmeros racioais. A esses potos associamos os úmeros irracioais. 3.6 POTÊNCIA DE EXPOENTE IRRACIONAL Vejamos agora algus exemplos da forma como algus livros didáticos do Esio Médio tratam das potêcias de expoete irracioal. Observe que, em ehum mometo, essas potêcias são defiidas. Os livros citam simplesmete aproximações dessas potêcias, visto que a defiição de potêcia de expoete irracioal evolve o coceito de limite de sequêcia, que ão é abordado

18 7 os livros didáticos da Educação Básica. Segudo Iezzi, G.; Dolce, O.; Murakami, C. (2004, p.2-22), temos: Dados um úmero real a > 0 e um úmero irracioal α, podemos costruir, com base as potêcias de expoete racioal, um úico úmero real positivo a α que é a potêcia de base a e expoete irracioal α. Seja por exemplo a potêcia 3 2. Sabedo quais são os valores racioais aproximados por falta ou por excesso de 2, obtemos em correspodêcia os valores aproximados, por falta ou por excesso de 3 2 (potêcias de base 3 e expoete racioal, já defiidas): A A 2 B B ,4,5 3,4 3,5,4,42 3,4 3,42,44,45 3,44 3,45, 442 } {{, 443 } } 3,442 {{ 3,443 } Defiição Sejam a R,a > 0 e α um úmero irracioal; cosideremos os cojutos: A = {r Q/r < α} e A 2 = {s Q/s > α} Notemos que: a) todo úmero de A é meor que qualquer úmero de A 2 ; b) existem dois racioais r e s tais que r < α < s e a difereça s r é meor que qualquer úmero positivo arbitrário. Em correspodêcia aos cojutos A e A 2, cosideremos os cojutos B = {a r /r A } e B 2 = {a s /s A 2 }. Se a >, demostra-se que: a) todo úmero de B é meor que qualquer úmero de B 2 ; b) existem dois úmeros a r e a s tais que a difereça a s - a r é meor que qualquer úmero positivo arbitrário. Nessas codições, dizemos que a r e a s são aproximações por falta e por excesso, respectivamete, de a α e que B e B 2 são classes que defiem a α. Se 0 < a <, tudo acotece de forma aáloga. Exemplos de potêcias com expoete irracioal: 2 2,4 3, 5 π, ( ) + 2 2,(7) + 2,(7) 2,( 2) 3 3 Se a = 0 e α é irracioal e positivo, daremos a seguite defiição especial Observações 0 α = 0 a ) Se a =, etão α =, α irracioal.

19 8 2 a ) Se a < 0 e α é irracioal e positivo, etão o símbolo a α ão tem sigificado. Exemplos: ( 2) 2, ( 5) 3 e ( 2) 3 ão tem sigificado. 3 a ) Se α é irracioal e egativo (α < 0), etão 0 α ão tem sigificado. 4 a ) Para potêcias de expoete irracioal são válidas as propriedades (P). Segudo Date, L. R. (20, p.28), temos: Vamos agora dar uma idéia de como caracterizar, por exemplo, 2 2. Tomamos as aproximações racioais do úmero irracioal 2, que são ;,4;,4;,44;..., e temos defiidas as potêcias com expoete racioal 2 ; 2,4 ; 2,4 ; 2,44 ;... À medida que: ;,4;,4;,44;... se aproximam de 2, 2 ; 2,4 ; 2,4 ; 2,44 ;... se aproximam de 2 2. Usado a calculadora: 2 = 2; 2,4 = 2,63905; 2,4 = 2,65737; 2,44 = 2, Obtemos assim, por aproximação de racioais, a potêcia a x, com x irracioal e a real positivo. Potêcia com expoete real Lembrado-se que a uião dos úmeros racioais com os irracioais resulta os úmeros reais, chegamos às potêcias com úmeros reais matedo as propriedades já mecioadas. Observe algumas potêcias com expoete real: π ( 3) 2 ( ) 5 ( ) 2 ( ) Segudo Iezzi, G.; Dolce, O.; Degeszaj, D.; Périgo, R.; Almeida, N. (200, p.70), temos: Vamos agora dar o sigificado às potêcias do tipo a x, em que a R + e o expoete x é um úmero irracioal. Por exemplo: 2 2, 2 5, 0 3, Seja a potêcia 2 2. ( ) 7, 4 5,... 2 Como 2 é irracioal, vamos cosiderar aproximações racioais para esse úmero por falta e por excesso e, com auxilio de uma calculadora cietífica, obter o valor das potêcias de expoetes racioais: 2 =, Por falta Por excesso 2 = = 4 2,4 = 2,639 2,5 = = 8 = 2 2 = 2,828 2,4 = 2,657 2,42 = 2,675 2,44 = 2,6647 2,45 = 2,6665 2,442 = 2,665 2,443 = 2,6653..

20 9 Note que, à medida que os expoetes se aproximam de 2 por valores racioais, tato por falta quato por excesso, os valores das potêcias tedem a um mesmo valor, defiido por 2 2, que é aproximadamete igual a 2,665. Seja a R,a > 0. Já estudamos os diferetes tipos de potêcias a x com x racioal ou irracioal. Em qualquer caso a x > 0, isto é, toda potêcia de base real positiva e expoete real é um úmero positivo. Para essas potêcias cotiuam válidas todas as propriedades apresetadas os ites ateriores deste capítulo.

21 20 4 PROPOSTA DE AULA SOBRE POTÊNCIA DE EXPOENTE IRRACIONAL 4. CONSIDERAÇÕES SOBRE A PROPOSTA DE AULA No Esio Fudametal o aluo aprede que um úmero irracioal é um úmero que possui ifiitas casas decimais, sem a ocorrêcia de um período, ou seja, sem que, a partir de uma determiada casa decimal, um ou mais algarismos passem a se repetir. É explicado para os aluos que todo úmero irracioal ão pode ser escrito a forma de fração com umerador e deomiador iteiros. Algus úmeros irracioais são exemplificados, como 2, 4 3,π e o úmero de Euler e. Porém, ão são em citados pelos professores úmeros irracioais como 3 2. Dessa forma, o aluo coclui o Esio Fudametal sem ter tido ehum cotato com potêcias de expoete irracioal. Na a série do Esio Médio, as fuções expoeciais são apresetadas aos aluos. Como o domíio das fuções expoeciais é o cojuto dos úmeros reais, essa etapa de suas vidas escolares os aluos deveriam ter cotato com úmeros como 3 2, porém deveriam ser alertados pelo professor que a defiição formal dessas potêcias de expoete irracioal lhes seriam apresetadas somete a 3 a série, quado eles estariam mais maduros para compreedê-la. Dessa forma, os aluos cocluiriam o Esio Médio sem ficar com essa lacua a apredizagem da poteciação, podedo, assim, ão só determiar as primeiras casas decimais de 3 2, como cohecer o sigificado de 3 2. Neste capítulo, apresetamos a proposta de aula sobre potêcia de expoete irracioal para os aluos da 3 a série do Esio Médio. Como o coceito de potêcia de expoete irracioal evolve a oção de limite de sequêcia, iicialmete coceituamos sequêcia. Em seguida, é apresetada a idéia de limite de sequêcia, através de exemplos de sequêcias covergetes, além de serem mostrados também exemplos de sequêcias divergetes. Para podermos mostrar que a defiição de potêcia de expoete irracioal procede, são apresetadas duas propriedades (que correspodem aos coceitos de sequêcia covergete e sequêcia de Cauchy) e dois teoremas (que, jutos, correspodem ao Critério de Cauchy). Fialmete, defiimos potêcia de expoete irracioal e em seguida mostramos que tal defiição procede.

22 2 4.2 SEQUÊNCIAS Defiição 4.. Seja A um cojuto qualquer. Uma sequêcia de elemetos de A é qualquer fução Ψ : N A. Podemos deotar, mais iformalmete, (X,X 2,X 3,...) ou X como sedo uma sequêcia de elemetos de A, ode X = Ψ(), X 2 =Ψ(2), e assim por diate. Numa sequêcia a ordem dos termos é relevate, ou seja, X é o primeiro termo, X 2 é o segudo termo, e assim por diate. As sequêcias podem ser expressas a forma explícita ou a forma recorrete. Exemplo 4.2. Seja a sequêcia (2, 4, 6, 8,...). Observe que X = 2 = 2., X 2 = 4 = 2.2, X 3 = 6 = 2.3 e, de forma geral, o termo de ordem é igual ao dobro de, isto é, o eésimo termo é igual ao dobro de. Logo, podemos expressar essa sequêcia, a forma explícita, da seguite maeira: X = 2. Por outro lado, podemos observar que o primeiro termo é igual a 2 e, a partir do segudo, cada termo é igual ao termo aterior acrescido de duas uidades. Logo, a forma recorrete, X é expressa da seguite maeira: X = 2 e X + = X + 2 para. 4.3 LIMITES DE SEQUÊNCIAS Existem sequêcias X tais que, a medida que aumeta, os valores de X cada vez mais se aproximam de um determiado úmero real. Esse úmero é chamado de limite da sequêcia e é represetado por lim X ( lê-se limite de X quado tede para o ifiito). Vejamos algus exemplos de sequêcias: Exemplo 4.3. X = Para =, temos X = = ; para = 2, temos X 2 = 2 ; para = 3, temos X 3 = ; e, de 3 forma geral, cada termo é igual a fração cujo umerador é e o deomiador é igual a ordem desse termo. Assim, temos: (, 2, 3, 4,... ) Exemplo 4.4. X = + Para =, temos X = + = 2 ; para = 2, temos X 2 = = 2 ; para = 3, temos 3 X 3 = = 3 ; e de forma geral, cada termo é igual a fração cujo umerador é a ordem desse 4 termo e o deomiador é igual ao sucessor do umerador. Assim, temos:

23 22 ( 2, 2 3, 3 4, ) Para calcularmos o limite de uma sequêcia, temos de descobrir para qual úmero ela se aproxima quado tede para o ifiito. Na prática, devemos descobrir o que acotece quado for muito grade. No exemplo 4.3, se tomarmos = , teremos: X = = 0, Se tomarmos = , teremos: X = = 0, Vemos que, a medida que cresce, X vai se aproximado de zero. Ituitivamete, percebemos que o limite da sequêcia X = é igual a zero. Deotamos lim = 0. No exemplo 4.4, se tomarmos = teremos: X = = 0, Se tomarmos = , teremos: X = = 0, Vemos que a medida que cresce, X vai se aproximado de. Ituitivamete, percebemos que lim + =. Devemos ter cuidado com o fato de que, para calcularmos o limite de determiadas sequêcias, é ecessário que utilizemos um valor exageradamete grade para. Vejamos o próximo exemplo. Exemplo 4.5. X = Vamos descobrir o limite dessa sequêcia. Para tal temos que calcular o valor, ão do milioésimo termo, e sim de um termo de ordem muito mais elevada, por exemplo, o trilioésimo. Vejamos: Tomado = temos X = Se tomarmos = , teremos: X = = = = 0. Já podemos perceber que o limite dessa sequêcia é 0, pois o deomiador cresce idefiidamete, equato o umerador é fixo e igual a.

24 CONVERGÊNCIA DE SEQUÊNCIAS Quado o limite de uma sequêcia é o úmero real L, dizemos que essa sequêcia é covergete e ela coverge para L. No exemplo 4.3, temos que lim = 0. Logo a sequêcia X = coverge para 0. No exemplo 4.4 temos que lim + =. Logo a sequêcia X = coverge para. + Dizemos que uma sequêcia é limitada superiormete quado existe algum úmero real A tal que ehum termo da sequêcia é maior que A. Aalogamete, uma sequêcia é limitada iferiormete quado existe algum úmero real B tal que ehum termo da sequêcia é meor que B. Uma sequêcia é limitada quado é limitada superior e iferiormete. Quado uma sequêcia ão coverge para ehum úmero real, dizemos que essa sequêcia é divergete. Vejamos um exemplo de uma sequêcia que diverge. A sequêcia do exemplo 4.2 X = 2 diverge, pois, a medida que cresce, X cresce idefiidamete. Observe que, por maior que seja um valor que fixarmos, teremos ecessariamete um certo termo da sequêcia a partir do qual todos os termos são maiores do que esse valor fixado. Dizemos que essa sequêcia tede a ifiito e usamos a seguite otação: Vamos aalisar outras sequêcias divergetes. Exemplo 4.6. X = lim 2 =. Todas as sequêcias expressas por poliômios divergem, pois para valores suficietemete grades de, o termo de maior grau comada, isto é, os outros termos ficam desprezíveis quado comparados a ele, ão importado os valores dos coeficietes. Uma maeira prática de percebermos tal fato é colocado ( em evidêcia o termo de maior grau. Vejamos: X = = ) 2 2. À medida que cresce, 50 e 3 se aproximam cada vez mais de zero e, assim, ) 22 ( 2 2 se aproxima de. Cosequetemete, ( ) 2 2 se tora cada vez mais próximo de 2 3, ou seja, os termos da sequêcia se aproximam cada vez mais do termo de maior grau do poliômio que expressa a sequêcia. Logo, visto que 2 3 cresce idefiidamete, isto é, visto que lim =. lim 23 =, cocluímos que Observe que essas duas sequêcias, X = 2 e X = , ão são limitadas e por isso ão poderiam ser covergetes. Porém ão basta uma sequêcia ser limitada para que seja covergete. Vejamos o seguite exemplo. Exemplo 4.7. Seja a sequêcia (2, 3, 2, 3, 2, 3,...). Essa sequêcia é limitada superiormete por 2 e limitada iferiormete por 3, ou seja, ehum termo dessa sequêcia é maior que 2 e ehum termo dessa sequêcia é meor que 3.

25 24 Logo, essa sequêcia é limitada. Por outro lado, a sequêcia ão se aproxima de um determiado úmero quado tomamos os termos de ordem cada vez maior. Observe que, como os termos de ordem ímpar (isto é, o o termo, o 3 o, o 5 o, e assim por diate) são todos iguais a 2 e os termos de ordem par (isto é, o 2 o termo, o 4 o, o 6 o, e assim por diate) são todos iguais a 3, os termos da sequêcia se alteram sempre etre 2 e 3. Assim, os termos ão se aproximam cada vez mais de 2, bem como ão se aproximam de 3. Logo, essa sequêcia ão coverge em para 2, em para 3 e em para ehum outro úmero, ou seja, ela diverge. Esse tipo de divergêcia também ocorre com a sequêcia do próximo exemplo: Exemplo 4.8. X = ( )., ou seja, ( 2 +, 23, 34, 45 ),.... Essa sequêcia é limitada tato superiormete, quato iferiormete, pois todos os seus termos são maiores que e meores que. Além disso, os termos de ordem ímpar se aproximam de e os termos de ordem par se aproximam de. Porém, ão podemos dizer que os termos se aproximam de, bem como ão é correto afirmar que os termos se aproximam de. Existem sequêcias de úmeros racioais que covergem para úmeros irracioais. Vejamos o próximo exemplo, o qual a sequêcia é expressa a forma recorrete: Exemplo 4.9. X = 2 e X + = ( 2. X + 2 ) X Todos os termos dessa sequêcia são úmeros racioais, mas ela coverge, como veremos adiate, para o úmero irracioal 2. Observação: A origem dessa fórmula de recorrêcia ão pode fazer parte da aula de potêcia de expoete irracioal pelo fato de coter a oção de derivada. Vamos determiar os cico primeiros termos dessa sequêcia: X = 2 X 2 = ( ) = X 3 = = ( ) 3 2 X 4 = 2. = ( ) 7 termos: X 5 = = ( ) 577 = ( ) = = ( ) = = ( ) = Vamos agora com o auxílio de uma calculadora calcular os quadrados desses cico primeiros

26 25 X 2 = 4 X 2 2 = 9 4 = 2,25 X 2 3 = = 2,006 ( X 2 3 tem suas três primeiras casas decimais iguais às de 2,006) X4 2 = = 2, (X4 2 tem suas seis primeiras casas decimais iguais às de 2,000006) X5 2 = = 2, (X5 2 às de 2, ). tem suas doze primeiras casas decimais iguais Cabe lembrar que, se ão quisermos recorrer a um computador, devemos efetuar maualmete os cálculos do quadrado de , do quadrado de e do quociete aproximado desses dois quadrados, que correspode ao valor aproximado do quadrado de X 5, devido a quatidade de dígitos de e de ser maior do que a suportada pela calculadora. À medida que cresce, X elevado ao quadrado se aproxima de 2, ou seja, lim X2 = 2. Como os quadrados dos termos da sequêcia X se aproximam cada vez mais de 2, as raízes quadradas desses quadrados, isto é, os termos de X, se aproximam cada vez mais de 2, ou seja, lim X = 2. Sabemos que uma calculadora ão trabalha com fração, e sim com o quociete do umerador pelo deomiador da mesma. Se utilizarmos uma máquia de calcular de oito digitos e teclarmos 2 seguido da tecla de raiz quadrada, a máquia de calcular mostrará o seu visor, como resultado,, Como, =, , o resultado ão está correto. O fato da máquia de calcular só possuir oito dígitos gera erros que tem de ser percebidos por parte do aluo. Se teclarmos,44235 X,44235 = teremos como resultado, e ão o correto, que seria, Mesmo se utilizarmos um computador capaz de efetuar cotas com úmeros que possuem uma grade quatidade de casas decimais, aida assim o resultado que ele dará para 2 ão estará correto, já que 2 ão possui um úmero fiito de casas decimais. de 2: Vejamos as operações que a máquia de calcular de oito dígitos efetua até mostrar o resutado X = 2

27 X 2 = ( ) = 2 2.(2 + ) = 3 2 =,5 X 3 = ( 2.,5 + 2 ) = 2, (,5 +, ) =,5 2 2 X 4 = (, , X 5 = (, , X 6 = 2. (, , =, ) = 2, (, ,47647) = 2 2 ) = 2, (, ,4425) = =,44256 =,44235 ) = 2, (, ,44236) = =, Por ão possuir mais casas decimais, a máquia simplesmete pára o processo de calcular os termos seguites da sequêcia. Equivocadamete, segudo a máquia, qualquer termo de ordem maior ou igual a cico é igual a, Porém, sabemos que, a verdade, os termos vão se torado cada vez meores, mas sempre tais que seus quadrados são maiores do que 2. Pelo fato de trucar os úmeros que ão cabem o seu visor, a máquia já compromete o processo de determiar corretamete os termos dessa sequêcia logo o terceiro termo. Quado ela apreseta, como o resultado da divisão de 2 por,5, já está sedo feita uma aproximação de um úmero que ão pode ser expresso com uma quatidade fiita de casas decimais. A dízima,333..., que é o resultado da divisão de 2 por,5, pode ser expressa como o limite da sequêcia do próximo exemplo. Exemplo 4.0. X =, 3 e X + = X + 0,.0, 3 Vamos determiar os primeiros termos dessa sequêcia: X =,3 X 2 =,3 + 0,. 0,3 =,3 + 0,03 =,33 X 3 =,33 + 0, 2. 0,3 =,33 + 0,0. 0,3 =,33 + 0,003 =,333 X 4 =, , 3. 0,3 =, ,00. 0,3 =, ,0003 =,3333 Podemos perceber que o termo de ordem k, ou seja, X k possui k casas decimais, todas compostas pelo algarismo 3. Por outro lado, sabemos que 2, 5 tem ifiitas casas decimais com o algarismo 3. Logo, o limite dessa sequêcia é exatamete o resultado da divisão de 2 por,5, ou seja lim X =, CONCEITUAÇÃO DE POTÊNCIA DE EXPOENTE IRRACIONAL Nessa seção, é feita uma abordagem de úmero real que ão é vista pelos aluos da Educação Básica. Em seguida, são apresetadas duas propriedades e dois teoremas que serão utilizados

28 27 a explicação da coerêcia da defiição formal de potêcia de expoete irracioal. Vamos iicialmete abordar os úmeros irracioais fazedo uma relação com o coceito de limite de sequêcia. Cada úmero real (e, cosequetemete, cada úmero irracioal) é igual ao limite de alguma sequêcia de racioais que coverge para esse úmero real. Por exemplo, o úmero 2 é igual ao limite da sequêcia do exemplo que segue. Exemplo 4.. (, 4 ;, 4 ;, 44 ;, 442 ;, 442 ;...) Essa sequêcia é costruída de seguite forma: como,4 2 =,96 < 2 e,5 2 = 2,25 > 2, temos que a primeira casa decimal de 2 é 4 e assim o primeiro termo da sequêcia é,4; aalogamete, como,4 2 =,988 < 2 e,42 2 = 2,064 > 2, temos que a seguda casa decimal de 2 é e assim o segudo termo da sequêcia é,4 ; e daí em diate. Observe que cada termo dessa sequêcia tem uma casa decimal a mais que o termo aterior, sedo que o termo de ordem tem as primeiras casas decimais de 2. Por isso o limite dessa sequêcia é 2. Como já vimos, ( 2 também é igual ao limite da sequêcia do exemplo 4.9, 2, 3 2, 7 2, , ) ,..., que, do quarto termo em diate, oferece aproximações melhores para 2 do que a sequêcia do exemplo 4.. Observe, como já vimos, que o quadrado do quarto termo da sequêcia do exemplo 4.9 é aproximadamete igual a 2, (cuja difereça, em módulo, para 2 é igual a 0,000006), equato que o quadrado do quarto termo da sequêcia do exemplo 4. é igual a,442 2 =, (cuja difereça, em módulo, para 2 é igual a 0, ). Já o quadrado do quito termo da sequêcia do exemplo 4.9 é aproximadamete igual a 2, (cuja difereça, em módulo, para 2 é igual a 0, ), equato que o quadrado do quito termo da sequêcia do exemplo 4. é igual a,442 2 =, (cuja difereça, em módulo, para 2 é igual a 0, ). Vamos agora euciar a primeira de duas importates propriedades. Propriedade 4.2. Seja X uma sequêcia que coverge para um úmero real L. Etão, a difereça, em módulo, etre os termos da sequêcia e L fica tão pequea quato se queira, a partir de um determiado termo, ou seja, sempre existe um determiado termo da sequêcia a partir do qual X L é meor que qualquer úmero previamete estabelecido, por meor que esse seja. Vejamos algus exemplos. Já vimos que a sequêcia do exemplo 4.3 X = coverge para 0. Se quisermos que a difereça, em módulo, etre os termos de X e o seu limite, que é zero, fique meor do que, devemos resolver a seguite iequação: 00 0 < 00.

29 28 Como é sempre positivo, temos: < 00 > 00. Logo, a partir do cetésimo-primeiro termo, a difereça, em módulo, etre qualquer termo de X e 0 é meor do que 00. Agora, se quisermos que a difereça, em módulo, etre os termos de X e o seu limite, que é zero, fique meor do que, devemos resolver a seguite iequação: < Como é sempre positivo, temos: < > Logo, a partir do milioésimo-primeiro termo, a difereça, em módulo, etre qualquer termo de X e 0 é meor do que Será que já podemos cocluir que, a partir de um determiado termo, a difereça, em módulo, etre os termos de X e 0 fica tão pequea quato se queira? Veremos mais adiate que a resposta é ão. Vejamos outro exemplo. Já vimos que a sequêcia do exemplo 4.4 X = + coverge para. Se quisermos que a difereça, em módulo, etre os termos X e fique meor do que devemos resolver a seguite iequação: + < 200. Como <, qualquer que seja, pois > 0 e + >, temos + + < 0. ( ) Assim, + = + =, visto que a = a se a < 0. + Cotiuado a resolução da iequação, temos: + < , + + < 200

30 29 + < > 200 > 99. Logo a partir do ducetésimo termo, a difereça, em módulo, etre qualquer termo de X e é meor que 200. Se quisermos que a difereça, em módulo, etre os termos de X e fique meor do que, devemos resolver a seguite iequação: < Como <, para qualquer valor de, temos + + < 0. Assim, + = +. Cotiuado a resolução da iequação, temos: + < < < > > Logo, a partir do termo de ordem , a difereça, em módulo, etre qualquer termo de X e é meor do que Aida ão podemos cocluir que, a partir de um certo termo, a difereça, em módulo, etre os termos de X e fica tão pequea quato se queira. Veremos mais adiate o porquê. Para comprovarmos que estamos certos o cálculo do limite de uma sequêcia expressa a forma explícita, temos que utilizar a Propriedade 4.2.

31 Vejamos ovamete a sequêcia do exemplo 4.4 X =. Vimos que essa + sequêcia coverge para. Supohamos que, erroeamete, achássemos que lim X fosse igual a 0,99. Se quisermos descobrir a partir de qual termo dessa sequêcia o módulo da difereça etre qualquer termo e 0,99 é meor do que, devemos resolver a iequação abaixo: 0 + 0,99 < < + 0,99 < 0 < 0 9,9 9,9 < + < 0, 9,9 < + + 8,9 < 0, < + 0,9 Logo, + 8,9 < 0, e 0, < + 0,9, < 8,9 e 0,9 < 0,9, > 8,9 e 0,9 > 0,9 > 8,9, = 89 e > 0,9 0,9 = 09 9 Logo, > 89 = 8, , ou seja, 9. Cocluímos que, a partir do oo termo, o módulo da difereça etre qualquer termo da sequêcia X = + e 0,99 é meor que. Vejamos o que ocorre se quisermos que essa 0 difereça, em módulo, fique meor que 00 : + 0,99 < < + 0,99 < 00 < < + < 99 < < < + 00 Logo, + 98 < e < < 98 e < 00 2 > 98 e 0 < 00

32 3 > 49 e 0 < 00 Logo, > 49, ou seja, 50. Cocluímos que, a partir do quiquagésimo termo, o módulo da difereça etre qualquer termo da sequêcia X = + e 0,99 é meor que. Vejamos o que ocorre se quisermos que 00 essa difereça, em módulo, fique meor que 000 : + 0,99 < < + 0,99 < 000 < < + < < < 0 < + 99 Logo, < 0 e 0 < < e 9 < 99 > 989 e < 99 9 Logo, 989 < < 99, ou seja, Cocluímos que ão existe um termo a partir 9 do qual o módulo da difereça etre qualquer termo da sequêcia e 0,99 é meor do que 000. Segudo a Propriedade 4.2, caso essa sequêcia covergisse para 0, 99, esse termo teria que existir. Para comprovar que essa sequêcia ão coverge para 0, 99, poderíamos ter resolvido a seguite iequação, sedo p um úmero positivo arbitrário: + 0,99 < p p < + 0,99 < p p p < 0,99 0,99 < p + p p p < 0,0 0,99 < p + p p p + 0,99 < 0,0 < p + p + 0,99 Logo, p p + 0,99 < 0,0 e 0,0 < p + p + 0,99 ( p 0,0) < p 0,99 e (0,0 p) < p + 0,99

33 32 Na liha aterior, como p > 0 e cosequetemete p 0,0 < 0, a primeira iequação é equivalete a (p + 0,0) > 0,99 p. Logo, temos que: > 0,99 p p + 0,0. Na seguda iequação, se p for meor que 0,0 etão 0,0 p > 0. Nesse caso essa iequação fica equivalete a < p + 0,99. Assim, a primeira e a seguda iequações, se p < 0,0, implicam em 0,99 p p + 0,0 < < p + 0,99 0,0 p. Logo, lim ão pode ser igual a 0,99 pois, se fosse, 0,0 p + deveríamos ter maior que uma expressão evolvedo p, e ão compreedido etre duas expressões evolvedo p. Observe que, como afirma a Proposição 4.2, se lim X = L, etão, por meor que seja o úmero positivo p, sempre existe algum termo da sequêcia X a partir do qual ocorre X L < p, qualquer que seja. Vamos agora mostrar que, de fato, o limite da sequêcia do exemplo 4.3 é igual a 0, ou seja, lim = 0. Sedo p um úmero positivo arbitrário, temos que resolver a iequação abaixo: 0 < p p < 0 < p p < < p p < < p Logo, p < e < p p > > p e e p < > p Como > temos que > p. Cocluímos que, dado um úmero positivo p, a partir do termo de ordem igual ao meor úmero iteiro maior que p, o módulo da difereça etre qualquer termo da sequêcia X = e 0 é meor que p. Assim, fica provado que lim = 0. Vamos agora mostrar que de fato o limite da sequêcia do exemplo 4.4 é igual a, ou seja, lim =. Sedo p um úmero positivo arbitrário, temos que resolver a iequação abaixo: + + < p p < + < p p p < < p + p p p < < p + p Logo p p < e < p + p

34 33 p < p e p < p + p > p + e p > p > p + p e > p p Como p + > p temos que > p +. p Cocluímos que, dado um úmero positivo p, a partir do termo de ordem igual ao meor úmero iteiro maior que p +, o módulo da difereça etre qualquer termo da sequêcia p X = e é meor que p. Assim, fica provado que lim + + =. Por exemplo, se p = 0,00000, etão > 0, = 0, = , ou seja, 0, , Observe que, se = , + = = 0, e etão = 0, = 0,00000 = 0,00000, que ão é meor que p. Se = , = = = 0, , que é meor que p. Cosideremos ovamete a sequêcia do exemplo 4.9, expressa a forma recorrete por X = 2 e X + = ( X + 2 ). Vimos, sem provar, que essa sequêcia coverge para 2. 2 X Como, =, < 2 e, = 2, > 2, temos que,44235 < 2 <, Como X 5 = =, , temos que X 5 possui suas sete primeiras casas decimais iguais as de 2 e por isso X 5 2 < 0, Se quisermos que o módulo da difereça etre os termos dessa sequêcia e 2 fique meor do que, por exemplo, 0, , basta cotiuarmos calculado os termos subsequetes ao quito termo de modo que, a partir de um determiado termo X k, teremos, qualquer que seja k, X 2 < 0, Podemos garatir que o módulo da difereça etre cada termo da sequêcia e 2 se tora cada vez meor. Para provar isso, vamos mostrar que a sequêcia é limitada iferiormete por 2 e é decrescete. Além disso, por ser decrescete, ela é limitada superiormete pelo seu primeiro termo, que é igual a 2. Estamos os baseado a existêcia de um teorema cujo euciado é o seguite: Teorema 4.3. Toda sequêcia moótoa limitada é covergete. Observe que ser limitada sigifica ser limitada superior e iferiormete e ser moótoa sigifica ser ão decrescete (isto é, qualquer termo da sequêcia é maior ou igual ao termo aterior) ou ão crescete (ou seja, qualquer termo é meor ou igual ao termo aterior). Note também que ser decrescete (isto é, qualquer termo da sequêcia é meor que o termo aterior) é um caso particular de ser ão crescete.

35 34 Observação: A demostração desse teorema foge ao escopo da aula para os aluos. Primeiro, veremos que a sequêcia é decrescete. Para isto vamos mostrar que, para todo úmero atural, X +2 < X +. Observe que ficará faltado mostrarmos que X 2 < X. Essa prova, porém, é imediata, pois como X = 2 e X 2 = (X + 2 ) = ( ) = 2 X (2+) = 3 2 =,5, temos que X 2 < X. Como X + = 2 X +2 = 2 ( X + 2 ) = X 2.X2 + 2 ) ( 2.X X X X = 2 e X +2 = X 2 ( 2.X X X X ( X Como 2.a + 2.a = a podemos reescrever X + da seguite forma: X + = 2 ( 2.X ) X 2.X Vamos mostrar que X ). X + ), temos que: 4X X < 2.X2 + 2 X e etão teremos demostrado que X +2 < X +, ou seja, que a sequêcia é decrescete. 4X Supohamos, por absurdo, que X X A sequêcia é formada somete por X termos positivos, pois o primeiro termo é igual ao úmero positivo 2 e a soma, bem como a divisão, de úmeros positivos, resulta sempre em úmeros positivos. Cosiderado que 2X > 0, qualquer que seja, e multiplicado os dois membros da iequação acima por 2X obtemos 8X 2 X X Como X > 0, temos que X > 0. Logo, segue que 8X 2 (X 2 + 2) 2. Como X > 0, temos que 8X 2 > 0 e (X 2 + 2) 2 > 0. Logo, segue que 8X X X 2 8X O discrimiate da equação X 2 8X + 2 = 0 é igual a : = 8 8 = 0. 8 Logo, a úica raiz é 2. = 2 2 = 2. Como o coeficiete de X 2 é igual a, que é um 2 úmero positivo, e o discrimiate da equação é ulo, temos que X 2 8X + 2 > 0, qualquer que seja X 2. Como a sequêcia é formada por úmeros racioais, ehum termo pode ser igual a 2, que é um úmero irracioal. Logo, para todo X,X 2 8X + 2 > 0. Chegamos 4X a uma cotradição, pois X X2 + 2, implica em X 2 8X Cocluímos que X 4X X < 2.X2 + 2 e, cosequetemete, que a sequêcia é decrescete. X Agora vamos mostrar que a sequêcia é limitada iferiormete por 2. Supohamos, por absurdo, que X + < 2, ou seja que ( X + 2 ) < 2. Logo, X + 2 < X X Como X > 0, temos que: X < 2 2X X 2 2 2X + 2 < 0. equação X 2 2 2X + 2 = 0 é igual a 8 8 = 0. Como o coeficiete de O discrimiate da X 2 é igual a, que é um úmero positivo, e o discrimiate da equação é ulo, temos que X 2 8X Chegamos a uma cotradição, visto que, se X + < 2, etão X 2 8X + 2 < 0.

36 35 Cocluímos, etão, que ehum termo pode ser meor que 2, ou seja, que a sequêcia é limitada iferiormete por 2. Vamos agora apresetar uma seguda importate propriedade. Propriedade 4.4. Dizemos que uma sequêcia é de Cauchy se coseguimos torar tão pequea quato se queira a difereça, em módulo, etre quaisquer dois termos de ordem maior ou igual a de um determiado termo, ou seja, uma sequêcia é de Cauchy se, por meor que seja um úmero arbitrário p, sempre existir algum termo X k a partir do qual X X m < p, quaisquer que sejam e m maiores ou iguais a k. Por exemplo, a sequêcia do exemplo 4.9, expressa por X = 2 e X + = 2 de Cauchy, pois, como já vimos: X = 2 X 2 =,5 X 3 = 7, que é aproximadamete igual a, X 4 = 577, que é aproximadamete igual a, X 5 = , que é aproximadamete igual a, ( X + 2 ), é X Etão, se quisermos torar meor que 0,0 o módulo da difereça etre quaisquer dois termos de ordem maior ou igual a de um determiado termo, basta escolhermos o terceiro para ser esse termo, pois, a partir dele, todos os termos são iguais à soma de,4 com valores meores que 0,0, ou seja, todos os termos, a partir do terceiro, possuem o algarismo a casa das uidades, 4 a casa dos décimos e a casa dos cetésimos. Assim, a difereça, em módulo, etre quaisquer dois termos, a partir do terceiro, é sempre meor que 0, 0. X 3 X 5 =,466666,44235 = 0, < 0,0. Por exemplo, Aalogamete, se quisemos torar meor que 0, a difereça, em módulo, etre quaisquer dois termos de ordem maior ou igual a de um determiado termo, devemos prosseguir calculado os termos seguites ao quito e, etão, em algum mometo, as vite primeiras casas decimais de um certo termo de ordem k serão iguais às vite primeiras do termo seguite. Assim, teremos, a partir de X k, a difereça, em módulo, etre quaisquer dois termos meor que 0, (ou 0 20 ). Podemos perceber que a difereça, em módulo, etre quaisquer dois termos de ordem maior ou igual a de um determiado termo fica realmete tão pequea quato se queira, ou seja, a sequêcia X acima é de Cauchy. Agora já podemos apresetar a defiição formal de potêcia de expoete real, que egloba o caso de expoete irracioal.

37 36 Defiição 4.5. Sejam a um úmero real positivo e x um úmero real. Seja X uma sequêcia de úmeros racioais que coverge para x. Etão, como a fução expoecial f(x) = a x é uma fução cotíua, temos que a x = lim ax. a x. Para essa defiição fazer setido, devemos demostrar que a sequêcia a X coverge para Para essa demostração, aida vamos precisar dos dois teoremas que seguem. Teorema 4.6. Toda sequêcia que possui a Propriedade 4.2, ou seja, que coverge, possui obrigatoriamete a Propriedade 4.4, ou seja, é de Cauchy. A idéia desse teorema é a seguite: Seja X uma sequêcia que coverge para L. Para valores grades de, os termos X vão cada vez mais se aproximado de L (Propriedade 4.2). Nesse caso eles estão, ecessariamete, se aproximado us dos outros (Propriedade 4.4). Teorema 4.7. Toda sequêcia de úmeros reais que possui a Propriedade 4.4, ou seja, de Cauchy, possui a Propriedade 4.2, isto é, coverge. A idéia desse teorema é a seguite: Para valores grades de os termos X vão se aproximado us dos outros (Propriedade 4.4), ou seja, a difereça, em módulo, etre quaisquer dois termos pode se torar tão pequea quato se queira, a partir de um determiado termo. Assim, sempre existe um determiado termo a partir do qual todos os termos da sequêcia possuem a mesma parte iteira e as mesmas primeiras casas decimais, isto é, a difereça etre quaisquer dois desses termos é meor que 0. Etão, cocluímos que os termos se aproximam de um mesmo úmero, que é o limite da sequêcia. Logo, a sequêcia coverge (Propriedade 4.2). Vamos agora demostrar que a x existe, isto é, a X coverge para a x. Como X coverge para x, temos, pelo Teorema 4.6, que X é uma sequêcia de Cauchy. Como X é de Cauchy, temos, para valores grades de, os termos de X se aproximado us dos outros. Sedo r um úmero atural positivo arbitrário, temos, para valores grades de, que a X +r a X = a X +r X = a 0 =, pois X +r = X. Como, para valores grades de, a X +r a X =, temos que a X +r = a X. Logo, os termos da sequêcia a X também vão se aproximado us dos outros, ou seja, a X é de Cauchy.