Soluções dos Exercícios do Capítulo 6

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1 Soluções dos Eercícios do Capítulo 6 1. O poliômio procurado P() a + b + c + d deve satisfazer a idetidade P(+1) P() +, ou seja, a(+1) + b(+1) + c(+1) + d a + b + c + d +, o que é equivalete a (a 1) + (a+b) + (a+b+c) 0. Isto ocorre se e só se os coeficietes deste último poliômio são todos ulos, ou seja, se e só se a 1 0, a+b0 e a+b+c0. Resolvedo o sistema formado por estas três equações ecotramos a 1/, b 1/ e c 1/6. Logo, P() d (ode d é arbitrário; podemos, por eemplo, tomar d 0). A idetidade P(+1) P() + pode ser escrita a forma P(+1) P(). Assim: 1 P() P(1) P() P()... ( 1) P() P( 1) P(+1) P() Somado as igualdades membro a membro e observado o cacelameto dos termos, obtemos: P(+1) P(1) 1 (+1) 1 (+1) (+1) (+1) 1 (+1) 1 + (+1). Esta epressão pode ser fatorada e colocada a forma: ( + 1)( + 1). 6. Devemos ter + 1 A B C + 1 A( 1)( + 1) + B( + 1) + C( 1) ( A + B + C) + ( B C) A Logo, +1 (A+B+C) + (B C) A, o que ocorre se e só se A+B+C 0, B C e A 1. Resolvedo, ecotramos A 1, B / e C 1/.. Eiste um poliômio de grau meor ou igual a, da forma P() a + b + c, que satisfaz as três codições dadas. Os valores de a, b e c são tais que a + bi + c 1, a+b+c +i, c 1. Resolvedo, ecotramos a 1, b i e c 1. Logo, o poliômio procurado é P() + i P() é divisível por + se e só se P() se aula as raízes de + 0, ou seja, devemos ter P(1) P() 0. Portato: 4 + m m + 0 Resolvedo, ecotramos m 16 e 1 Alterativamete, podemos efetuar a divisão: 1

2 + + m (m ) (m+16) + ( 1) P() é divisível por + se e só se o resto da divisão é ideticamete ulo, ou seja, m+16 0 e 1 0, Assim, m 16 e 1.. Deotado o quociete e o resto da divisão por Q() e R(), temos P() Q() ( )(+1) + R(). Como o divisor é de grau, o resto R() é de grau meor ou igual a 1; portato, é da forma R() a + b. Para ecotrar a e b, basta, a idetidade P() Q() ( )(+1) + a + b, tomar igual às raízes e 1 do divisor. Para, temos P() a. + b; como P() é igual ao resto da divisão de P() por, que é igual a 1, temos assim a + b 1. Para 1, temos P( 1) a.( 1) + b; mas P( 1) é igual ao resto da divisão de P() por +1, que é 4. Logo, a + b 4. Resolvedo o sistema formado pelas duas equações, ecotramos a /4 e b 1/4. Portato, o resto da divisão de P() por ( )(+1) é R() /4 + 1/4. 6. Errado. Por eemplo, P() ( 1) é divisível por p 1 () e por p () ( 1), mas ão pelo produto p 1 () p () ( 1). A afirmativa seria verdadeira, o equato, sob a codição adicioal de que p1 e p sejam primos etre si (ou seja, só admitam poliômios costates como divisores comus). 7. a) Supohamos que m 1 e m sejam mdcs de p 1 e p. Como m 1 é mdc de p 1 e p e m é um divisor comum, m é divisor de m 1 ; logo, eiste c 1 tal que m 1 c 1 m. Mas o mesmo argumeto é válido trocado os papéis de m 1 e m ; assim, m 1 é divisor de m e eiste c tal que m c m 1. Logo, eistem c 1 e c tais que m 1 c 1 c m 1, ou seja, m 1 (c 1 c 1) 0. Portato, c1c é ideticamete igual a 1, o que mostra que c1 e c são poliômios costates ão ulos m 1 c 1 m. Logo, m 1 c 1 m para algum c 1? 0. b) Supohamos que p seja um divisor de p 1 ; isto é, eiste q tal que p 1 qp. Se d é um divisor de p (ou seja, p sd, para algum s), etão d é também divisor de p 1 (já que p 1 qp qsd). Logo, os divisores comus a p 1 e p são eatamete os divisores de p. Como p divide p 1 e p e todo divisor comum de p 1 e p é divisor de p, cocluímos que p é mdc de p1 e p. c) Seja d um divisor comum de r e p ; como p qp 1 + r,.d também é divisor de p. Por outro lado, se d é um divisor comum de p 1 e p, d é também divisor de r, já que r p qp 1. Portato, p 1 e p têm os mesmos divisores comus que r e p. Logo, mdc(p 1, p ) mdc (p, r). d) Para 1, defia p + como o resto da divisão de p por p +1. Pelo item aterior, mdc(p 1, p ) mdc (p, p ) mdc(p, p 4 ).... Por outro lado, como os poliômios p têm graus decrescetes, após um úmero fiito de passos ecessariamete ecotramos um poliômio p ideticamete ulo. Quado isto ocorre, p é múltiplo de p 1 e, em coseqüêcia, o mdc de p e p 1 (e portato de p 1 e p ) é p 1.

3 e) Seja p 1 () e p () + 4. O resto da divisão de p 1 () por p () é p () O resto da divisão de p () por p () é 0 e, portato, p () é um mdc de p 1 e p. f) Se a é raiz comum a p e q etão ( a) é divisor comum de p e q. Logo, ( a) é ecessariamete um divisor de mdc(p, q), o que mostra que a é raiz de m mdc(p, q). Por outro lado, m é divisor comum de p e q ou seja, eistem s e t tais que p ms e q mt); logo, se a aula m, etão a ecessariamete aula p e q. Para ecotrar as raízes comus a p() e q() + 4 basta, portato, ecotrar as raízes de seu mdc m() + 7 1, que são e 4. g) Supoha que p q1p1 + qp. Como m é divisor comum de p1 e p, eistem s1 e s tais que p 1 s 1 m e p s m; logo, p m(q 1 s 1 + q s ), o que mostra que p é múltiplo de m. Supoha agora que p seja múltiplo de m. Seja p 1, p,..., p, p +1 a sequêcia obtida com o algoritmo de Euclides, com p m e p Deotemos, aida, por q i o resto da divisão de p i por p i+1. Ou seja: p 1 q 1 p + p p q p + p 4... p q p + p 1 p q p 1 + p ( m) p 1 q 1 m Da peúltima equação, obtemos m p q p 1, o que mostra que m pode ser epresso como uma combiação liear de p e p 1. Mas da equação aterior obtemos p 1 p q p. Substituido, obtemos: m p q (p q p ) (1 q q ) p q p. Logo, m também pode ser epresso como combiação liear de p e p. O processo pode ser repetido com as equações ateriores, até epressar m como combiação liear de p 1 e p. h) De modo aálogo ao demostrado o item aterior, eistem iteiros m e tais que am + b c se e só se c for múltiplo do mdc de a e b. Como é múltiplo de mdc (7, 8) 1, eistem tais m e (por eemplo, pode-se tomar m 9 e 4). 8. a) Seja p() um poliômio de grau. Dividido p() por ( a) podemos escrever p() q 1 () ( a) + b 0. Dividido agora q 1 por ( a), podemos escrever q 1 () q ()( a) + b 1 e, daí, p() q ( a) + b 1 ( a) + b 0. Os graus dos quocietes q i decrescem de uma uidade a cada passo e o processo pára quado q () é costate e igual a b. Neste poto, teremos obtido p() b ( a) + b 1 ( a) b 1 ( a) + b 0. b) Dividido sucessivamete por 1, temos:

4 Logo, p() ( 1) + 6( 1) + ( 1) 1 c) As raízes do poliômio q(y) y + 6y + y 1 são os valores de ( 1) para os quais é raiz do poliômio origial. Ou seja, as raízes de q(y) são as raízes de p() dimiuídas de uma uidade. Para obter a equação cujas raízes são as de aumetadas de uma uidade, basta epressar p() em termos das potêcias de (+1), através das divisões sucessivas por Logo, p() (+1) + 0(+1) 7(+1) 6 e a equação cujas raízes são as mesma do poliômio origial aumetadas de uma uidade é y 7y Se a é raiz de p() a + a a 1 + a 0 etão a a + a 1 a a 1 a + a 0 0. Ou seja, a0 aa a 1a 1... a1a ( aa 1 + aa a1)a, que é múltiplo de a. Para verificar se tem raízes iteiras, basta testar se os divisores de 1 (ou seja, ±1, ±, ±, ±4, ±6, ±1) são raízes. Verifica-se, assim, que, e são raízes de poliômio dado. 10. Se a p/q é raiz de p() a + a a 1 + a 0 etão a (p/q) + a 1 (p/q) a 1 (p/q) + a 0 0, ou seja a p + a 1 p 1 q a 1 pq 1 + a 0 q 0. Daí, a 0 q ( ap 1 + a 1p q a1q 1 )p, ou seja, a0q é múltiplo de p. Como q e p são primos etre si, isto implica em que p seja divisor de a 0. Temos também a p ( a 1 p a 1 pq + a 0 q 1 )q 0. Pelo mesmo argumeto aterior, p é ecessariamete divisor de a. As possíveis raízes racioais de 6 0 são, portato, ±1, ±, ±, ±6, ±1/, ±/. Verifica-se, porém, que ehum destes valores aula o poliômio dado, que ão possui, portato, raízes racioais. (Observação: a verdade, o poliômio desejado era P() 9 6 0; os cadidatos a raízes racioais são os mesmos, mas este caso P(/) 0. Dividido P() por / obtemos quociete q() 9. Portato, as demais raízes da equação são as raízes de 9 0, ou seja, ±.) 11. Não. Se o poliômio tiver raízes da forma p/q, com p e q primos etre si, etão q deve ser um divisor de a 1. Neste caso, q ±1 e p/q é ecessariamete iteiro. 4

5 1 1 1 bc + ac + ab S 1 1. a) a b c abc S 1 b) a + b + c (a+b+c) (ab+ac+bc) S 1 S 0. ( 1) Para cada raiz da equação origial, seja y 1/. Etão y deve satisfazer , ou seja, y y +y y y y 14. Iicialmete, é coveiete estabelecer algumas propriedades básicas da derivada defiida o eercício (aturalmete, estas propriedades são as mesmas da derivada defiida o cálculo diferecial). i) (liearidade) (p+q) p + q e (αp) αp. ii) Se p() q(), etão p () q () + q() (De fato, se q() a + a a 1 + a 0, etão p() a +1 + a a 1 + a 0. Logo, p () (+1)a + a a 1 + a 0 ( a + ( 1)a a 1 ) + (a + a a 1 + a 0 ) q () + q(). iii) Se p() ( a) q(), etão p () ( a)q () + q() (Como p() q() aq(), temos p () q () + q() aq () ( a)q () + q(). iv) De modo geral, a derivada de p()q() é p ()q() + p ()q() [Pode-se, por eemplo, escrever p() p 0 () + c e utilizar idução o grau de p] a) Se α é raiz simples de p() etão p()( α)q(), com q(α) 0. Daí, p(α) (α α)q(α)0 e, como p () q()+( α)q (), temos p (α)q(α) 0. Reciprocamete, se p(α) 0 e p (α) 0, etão p()(α)q() pois α é raiz de p() e, como p () ( α) q()+( α)q () q()+( α)q (), temos q(α) p (α) 0 (portato, α é raiz simples). b) Se α é raiz dupla de p() etão p()( α) q(), com q(α) 0. Daí, p(α)(α α)q(α)0 e, como p ()[( α) ] q()+( α) q () (α)q()+( α) q () e p () q()+4(α)q ()+ ( α) q (), p (α)0 e p (α) q(α) 0. Reciprocamete, se p(α) p (α) 0 e p (α) 0, etão p()(α)q() pois α é raiz de p() e, como p () ( α) q()+( α)q () q()+( α)q (), q(α) p (α) 0; logo, α é raiz de q() e, portato, q() é divisível por (α), o que garate a eistêcia de um poliômio q1() tal que q()(α)q 1 (). Etão p()(α)q() (α).(α)q 1 () ( α) q 1 (); como p ()[( α) ] q 1 ()+( α) q 1 () (α)q 1 ()+( α) q 1 () e p () q 1 ()+4(α)q 1 ()+ ( α) 1 q 1 (), p (α) q(α), q(α) p' '( α ) 0. c) O argumeto do item aterior pode ser utilizado em uma prova por idução. A solução mais simples, o etato, cosiste em utilizar o resultado do eercício 16, segudo o qual p''( a)( a) p ( a) p( ) p( a) + p'( a)( a) Divididido p() por! ( )

6 ( k ) ( k) (-a) k p ( a) p ( a)( a) obtemos quociete q() e resto r() k!! ( k1) k1 p ( a)( a) p( a) + p'( a)( a) Por outro lado, a é raiz de multiplicidade ( k 1)! k, se e somete se p() (-a) k q(), com q(a) 0 (ou seja, q(a) 0 e r() 0). Mas isto ( ) p k ( a) ocorre se e somete se q(a) 0 (isto é, p (k) (a) 0 ) e cada um dos k! coeficietes de r() é ulo, isto é, p(a) p (a)... p (k1) (a) Pelo eercício aterior, a é raiz de multiplicidade pelo meos k se e só se p e suas k 1 primeiras derivadas se aulam em a. Logo, a é raiz múltipla quado pelo meos p e p se aulam em a. Para verificar se um poliômio possui raízes múltiplas basta, portato, verificar se p e p possuem alguma raiz comum, o que pode ser feito através do cálculo do mdc de p e p. Para p() , temos p () Empregado o algoritmo de Euclides, determiamos que seu mdc é m(). Logo, é a úica raiz múltipla de p(). Dividido p() por ( ) verificamos que p() ( ) ( 1). Logo, suas raízes são (dupla), 1 e Como visto o eercício 8, todo poliômio p() de grau pode ser epresso em termos das potêcias de ( a), a forma p() b 0 + b 1 ( a) b 1 ( a) 1 + b ( a). Basta, agora, relacioar os coeficietes b i com as derivadas de p o poto a. Para isto, começamos por obsevar que a derivada de ( a) é ( a) 1. [Uma alterativa para demostrar este fato é usar a epasão de ( a) em biômio de Newto; outra cosiste em utilizar idução: é trivial verificar a epressão para 1; supodo válido para, seja p() ( a) +1 ( a)( a) ; logo p () ( a)( a) 1 + ( a) (+1)( a) +1. Basta agora, tomar as derivadas sucessivas p() b 0 + b 1 ( a) b 1 ( a) 1 + b ( a) e o seu valor o poto a. Temos: p(a) b 0 (ou seja, b 0 p(a) ) p () b 1 + b ( a) ( 1)b 1 ( a) + b ( a) 1 ; logo, p (a) b 1 (ou seja, b 1 p (a)). De modo geral: p (k) () k (k 1)... 1.bk + (k+1) k... bk 1 ( a) ( 1)...( k+1) b ( a) k ; logo p (k) (a) k! b k (ou seja, b k p (k) (a) / k!). k 17. A equação é ( i)( 1 i) Neste caso, a equação tem também i e 1 i como raízes e é ( i) (+i)( 1 i) ( 1+i) ( +1)( +) 0. 6

7 19. Como o poliômio tem coeficietes reais, deve-se ter também P(1 i) 0. O poliômio de grau míimo satisfazedo as codições dadas tem grau e é da forma P() a( 1 i)( 1+i) a( +). Para, temos P() a.. Logo, a / e o poliômio é P() /( + ). 0. O poliômio deve satisfazer, aida P( i) e P(1 i) 0. O poliômio de grau míimo tem grau, e é da forma P() ( (1+i))( (1 i))(a+b) ( +)(a+b). Para i, temos P(i) (1 i)(ai + b) (a + b) + (a b)i. Logo, devemos ter a+b e a b 0, ou seja, a 4/ e b /. Assim, P() ( +)(4/+/) ( + + ). 1. Seja p() a + a a 1 + a 0 um poliômio de grau ímpar. Vamos supor que a > 0 (argumeto aálogo vale o caso em que a <0). Podemos escrever, para todo a?0, + a a p( ) a Tomemos um valor positivo de tal que 1 a cada uma das frações 1 a a, 1,..., 0 seja meor que a 1 / em valor absoluto (tal valor eiste, já que cada uma desta frações pode ser torada arbitrariamete pequea, bastado fazer com que seja suficietemete grade). Para tal valor de (e também para ), o sial da epressão detro dos parêteses terá, etão o mesmo sial de a, ou seja, a epressão assumirá um valor positivo. Logo, p() > 0 (já que > 0) e p( ) < 0 (já que ( ) <0) Observamos que p(), para?1. Logo, toda raiz do poliômio é raiz de Para par, a úica raiz desta equação é 1. Como p(1) +1? 0, 1 ão é raiz do poliômio origial. Portato, p() ão tem raízes raízes. Quado é ímpar, 1 também é raiz de e é raiz de p().. Seja Temos ( ) 1+, ou seja, + 1+, ou aida + +. Elevado ovamete ao quadrado, obtemos ( + ), ou seja, Elevado uma última vez ao quadrado, obtemos, fialmete 96 ( ), o que mostra que é raiz de uma equação poliomial com coeficietes iteiros; portato, é algébrico. 4. Claramete, 0 ão é raiz da equação que, portato, ão se altera quado os dois membros são divididos por , forecedo 1; ou seja, deve ser igual a + 1 kπ kπ uma das raízes da uidade. Portato, cos + i se, para k 0, 1,,.., 1. 7

8 1 Daí, obtemos. Note que, para k 0, o deomiador é ulo. kπ kπ (cos 1) + i se Logo, há 1 raízes, correspodedo a k 1,..., 1 a epressão aterior (observe que, de fato, a equação dada é de grau 1, já que o termo em cacela) Claramete, 1 ão é raiz da equação, que é equivalete a 1. Logo, 1 k devemos ter + 1 kπ + π π + π cos + i se, ou seja, 1 kπ + π kπ + π (cos + 1) + ise, para k 0, 1,,..., 1. kπ+ π kπ + π (cos 1) + ise 6. Seja (há um erro o euciado). Elevado ao cubo, obtemos ( ) ( ) Portato, o úmero real dado é raiz da equação Pesquisado etre as possíveis raízes iteiras da equação, costatamos que 4 é raiz. Dividido o poliômio 6 40 por 4 ecotramos quociete Como a equação do o. grau ão possui raízes reais, cocluímos que 4 é a úica raiz real da equação Logo, o úmero é ecessariamete igual a esta raiz real, ou seja, é igual a Seja P() + 1. Basta observar que P( ) 1, P(0) 1, P(1) 1 e P(). Portato, P() tem três raízes reais: uma etre e 0, outra etre 0 e 1 e outra etre 1 e. No etato, a fórmula de resolução das equações do o grau evolve calcular q p i Temos p () 1. Como 0, temos: 8

9 9 4 ) ( 0 p e 1 ) '( 0 p. Logo, 4 ) '( ) ( p p. No próimo passo: