( ) ( ) ( ) (19) O ELITE RESOLVE IME 2010 MATEMÁTICA - DISCURSIVAS. MATEMÁTICA QUESTÃO 01 Sejam os conjuntos P 1

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2 (9) 5-0 wwwelitecampiascombr O ELITE RESOLVE IME 00 MATEMÁTICA - DISCURSIVAS MATEMÁTICA QUESTÃO 0 Sejam os cojutos P, P, S e ( P S) P e ( S S) ( P P) Demostre que ( S S ) ( P P ) S tais que ( ) P S P, Seja ( S S) Pela defiição de itersecção ( ) de cojutos, segue que S e S Além disso, como ( S S) ( P P), isto é, sedo ( S S) um subcojuto de ( P P), etão todo elemeto de ( S S) é P P S S P P também elemeto de ( ) Como Por outro lado, pela defiição de uião ( ) de cojutos, temos que ( P P) P ou P Aalisemos cada uma dessas duas possibilidades (I) P P S Nesse caso, temos simultaeamete ( P S ) Como, por hipótese, ( P S) P, temos que ( ) P P, segue que ( P P ) Assim, como e (II) P P S P S P Nesse caso, temos simultaeamete ( P S ) Como, por hipótese, ( P S) P, temos que ( ) P P, segue que ( P P ) Assim, como e P S P Observe que, em qualquer um dos casos, tomado um elemeto arbitrário o cojuto ( S S), mostramos que ele ecessariamete pertece ao cojuto ( P P), isto é, ( S S) ( P P) Isso é equivalete a afirmar que ( S S) ( P P), como queríamos demostrar QUESTÃO 0 Três dados iguais, hoestos e com seis faces umeradas de um a seis são laçados simultaeamete Determie a probabilidade de que a soma dos resultados de dois quaisquer deles ser igual ao resultado do terceiro dado Solução As possíveis cofigurações em que o primeiro dado tem como resultado a soma dos resultados dos outros dois dados são ,, +, Observe que temos um total de casos possíveis para que o resultado do primeiro dado seja a soma dos resultados dos outros dois De maeira aáloga, também poderíamos ter o resultado do segudo ou do terceiro dado como soma dos resultados dos outros dois Assim, eiste um total de 5 5casos possíveis Sedo o úmero de elemetos do espaço amostral dado por, a probabilidade pedida é 5 p 5 p Solução Veja a tabela dos possíveis resultados, cosiderado o resultado do Dado como a soma dos dados e Note iicialmete, que, para que isto seja possível, a soma dos resultados dos dados e deve ser meor ou igual a Resultado Dado Resultados Probabilidade possíveis de ocorrêcia Dado Resultados Probabilidade possíveis de ocorrêcia Dado Probabilidade de ocorrêcia /,,, Um úico 5/ ou 5 resultado, / /,, ou / depededo / /, ou / do resultado / / ou / dos dados / 5 / / e, uma vez que o resultado deste dado / é a soma dos demais / Nehum 0 Nehum 0 Assim a probabilidade de o resultado do dado acima ser a soma dos resultados dos dados e é dada por p + 7 Cosiderado que o eercício pede a probabilidade de o resultado de qualquer dado ser a soma dos resultados dos demais, a 5 5 probabilidade solicitada é p p 7 QUESTÃO 0 Cosidere as hipérboles que passam pelos potos (-,) e (-,-) e apresetam diretriz a reta - Determie a equação do lugar geométrico formado pelos focos dessas hipérboles, associados a esta diretriz, e represete o mesmo o plao cartesiao dp,f Por hipótese, a ecetricidade de uma côica é defiida por e, dp,d ode F é um dos focos da côica, d é a reta diretriz e P é um poto qualquer da côica Chamado de F(,) os focos dessa hipérbole, a reta diretriz dada por + 0 e usado a defiição de ecetricidade para cada poto dado, temos ) P(, ) d ( ) ( ) ( ) ( ) P,F e dp,d + ) P(, ) d ( ) ( ) ( ) ( ) P,F e dp,d + Como os potos pertecem à uma mesma côica, a ecetricidade é a mesma Logo ( + ) + ( ) ( + ) + ( + ) ( ) ( ) ( + + ) , que é uma circuferêcia de cetro C(0, ) e raio r Além disso, a ecetricidade da hipérbole é maior que, de modo que, a partir das duas epressões da ecetricidade, temos ( + ) + ( ) > ( + ) + ( ) > + + > () ( + ) + ( + ) > ( + ) + ( + ) > > () Desse modo, devemos ecluir todos os potos que ão satisfazem () e () Etretato, como essas epressões são equivaletes (represetam a mesma ecetricidade), a codição fica restrita a > 9 Assim ( + ) + ( + ) > > 0 + (+ )

3 > 0 < Iterceptado a reta com a circuferêcia / (+ ) 8 ± 7 Além disso, como o raio é maior do que, a reta diretriz itercepta tal circuferêcia Assim, devemos elimiar os potos de itersecção, já que os focos ão pertecem à reta diretriz Logo, devemos elimiar os potos os quais + ( + ) ± Portato, o lugar geométrico em questão é um arco de circuferêcia de cetro C(0, ) e raio r, limitado superiormete pela reta, ecetuado-se os potos 7 7 7, , (, ) e (, ), cuja represetação o plao cartesiao é a seguite r C (0 - ) ( ) ( ) QUESTÃO 0 Seja o valor do maior lado de um paralelogramo ABCD A diagoal AC divide  em dois âgulos, iguais a 0 e 5 A projeção de cada um dos quatro vértices sobre a reta suporte da diagoal que ão o cotém forma o quadrilátero A B C D Calcule o perímetro de A B C D Observe a figura A A` 0º 5º B B` M` Vamos chamar de o comprimeto do meor lado do paralelogramo AD BC De acordo com a figura, temos etão AB CD Aplicado a lei dos seos o triâgulo Δ ABC, sedo med( ACB ) 5 AB BC se5 se0 D` D C` C (9) 5-0 wwwelitecampiascombr O ELITE RESOLVE IME 00 MATEMÁTICA - DISCURSIVAS No triâgulo Δ AB' B, retâgulo em B ' AB' cos0 No triâgulo BB' se0 Δ AD' D, retâgulo em D ' + AD' cos5 Assim + B' D' AD' AB' BD ' ' MB' MD' Isso mostra que BB' MB ' e, portato, o triâgulo retâgulo Δ MB ' B é isósceles, isto é, med( BMB ') med( MBB ') 5 Como coseqüêcia, o triâgulo Δ AA' M, retâgulo em A ', também é isósceles, de modo que AA' MA' A` B C A 5º 0º 5º B` 5º Note que o triâgulo retâgulo Δ AA' B, temos que med( AAB ' ) M` + AA' cos5 Como AA' MA', segue que MA ' Aplicado a lei dos cosseos os triâgulos Δ BMA ' ' e Δ DMA ' ', sedo med( BMA ' ') 5 e med( DMA ' ') 5, vem que ( A' B ') ( MA' ) + ( MB' ) MA' MB' cos5 ( A' D' ) ( MA' ) + ( MD' ) MA' MD' cos5 ( AB ' ') + ( AD ' ') + ( ) ( AB ' ') ( ) + ( ) ( AD ' ') A' B' AD ' ' CD ' ' AB ' ' Pela simetria, tem-se aida BC ' ' AD ' ' D` D C`

4 Fialmete, o perímetro do quadrilátero (paralelogramo) A' BCD ' ' ' é igual a AB ' ' + BC ' ' + CD ' ' + AD ' ' + ( ) A' B' + B' C' + C' D' + A' D' + QUESTÃO 05 A área da superfície lateral de uma pirâmide quadragular regular SABCD é duas vezes maior do que a área de sua base ABCD Nas faces SAD e SDC traçam-se as mediaas AQ e DP Calcule o âgulo etre estas mediaas Estabelecedo um sistema de coordeadas tridimesioais, como idicado a figura a seguir, e chamado o lado do quadrado da base da pirâmide de w, temos C P B S O As coordeadas dos vértices da base quadrada são w w A,,0, w, w B,0, w, w C,0 e w, w D,0 De acordo com o euciado, a área da superfície lateral é o dobro da área da base w SM w SM w Sedo h a altura da pirâmide, o triâgulo Δ SOM, retâgulo em O, aplicamos o teorema de Pitágoras w w h + w h w Assim, temos as coordeadas de S ( 0,0, h) 0,0,, de modo que as coordeas de P e Q, potos médios dos segmetos SC e SD, respectivamete, são dadas por S + C w, w, w P e S + D w, w, w Q Os vetores DP e AQ, por sua vez, serão dados por w w w w w w w w DP P D,,,,0,, w w w w w w w w AQ Q A,,,,0,, Fialmete, lembramos que o produto itero uv etre dois vetores u e v se relacioa com o âgulo θ etre esses vetores por z Q D M A (9) 5-0 wwwelitecampiascombr O ELITE RESOLVE IME 00 MATEMÁTICA - DISCURSIVAS uv u v u v cosθ cosθ u v Assim, calculado cada termo separadamete w w w w w w w DP AQ + + w w w w DP + + w w w w AQ + + Substituido w DP AQ cosθ DP AQ w w θ arccos QUESTÃO 0 + z z Demostre que a matriz + z z, ode z,,, z z + pode ser escrita como o quadrado de uma matriz simétrica, com traço igual a zero, cujos elemetos pertecem ao cojuto dos úmeros aturais Obs Traço de uma matriz é a soma dos elemetos de sua diagoal pricipal + z z α a b Seja M + z z, e S a c β a matriz z z + b c γ simétrica tal que S M, com { abcαβγ,,,,, } { 0,,,, } α 0 Sedo o traço de S igual a zero, temos α+β+γ 0 β 0, pois γ 0 sedo α, β e γ três úmeros aturais (portato ão-egativos), a úica possibilidade de a soma deles ser ula é quado os três forem simultaeamete ulos Assim, a matriz S fica reduzida a 0 a b S a 0 c b c 0 Impodo a relação S M, temos que 0 a b 0 a b + z z S S M a 0 c a 0 c + z z b c 0 b c 0 z z + a + b bc ac + z z bc a + c ab + z z + + ac ab b c z z a z Tomado b, temos a igualdade verdadeira e, portato, a matriz c 0 z S z 0 é tal que S M Isto sigifica que a matriz M pode 0 ser escrita como quadrado de uma matriz simétrica, com etradas aturais e traço igual a zero, como queríamos demostrar

5 (9) 5-0 wwwelitecampiascombr O ELITE RESOLVE IME 00 MATEMÁTICA - DISCURSIVAS QUESTÃO 07 Cosidere o cojuto de úmeros compleos E { a+ bω}, ode a e b são iteiros e ω cis ( /) Seja o subcojuto U { α E/ β E o qual αβ } Determie a) Os elemetos do cojuto U b) Dois elemetos pertecetes ao cojuto Y E U tais que o produto seja um úmero primo a) Primeiramete vamos mostrar que se αβ etão αβ b b i d d i Seja α a+ bω a + e β c + dω c + Etão b d i b a c d a b c d αβ bd + + Como αβ, etão b d d a + bc 0 b d bd a c Calculado αβ, obtemos b d i b a c d a b c d αβ bd + Note que Re( αβ ) Re( αβ ) e Im αβ Im αβ 0, portato, temos αβ, logo (αβ) ( αβ) ααββ (equação ) Desevolvedo αα e cosiderado que, para que α U, a e b ão podem ser simultaeamete 0, caso cotrário α 0 αβ 0 b b αα a + a ab+ b Note que a ab+ b, a, b /, uma vez que se cosiderarmos a fução fa ( ) a ab+ b, ab, é fácil observar que essa fução é sempre ão egativa, uma vez que Δb 0 e a sua cocavidade é para cima Logo fa ( ) 0,além disso, fa ( ) 0 se e somete se Δ 0 b 0 e a 0, o que cotradiz com a codição de a e b ão poderem ser ulos simultaeamete, portato, f(a) > 0 Como f(a) é iteira, uma vez que é uma fução de iteiros, etão f(a) Logo temos que fa ( ) a ab+ b, ab, / / α U Aalogamete, desevolvedo ββ, temos (ote que se α U etão β U, as codições dadas, pois αβ βα ) d d c c cd d, c, d / / U ββ + + β Substituido a equação, obtemos ( a ab+ b ) ( c cd + d ) Logo a ab+ b e c cd + d É fácil observar que as raízes (a,b) são os pares ( ), (- -), ( 0), (- 0), (0 ), (0 -), Logo α± ±ω± ( +ω ) e β α Logo o cojuto U, pode ser dado por U {, +, ω,+ω,+ω,ω } b) Para achar dois valores de tal forma que o produto seja um úmero primo devemos, primeiramete, zerar a parte imagiária, ou seja b d d a + bc 0 Como o euciado pede apeas dois elemetos, podemos tomar, por b d eemplo, o caso particular em que a, c Neste caso b d i b a c d a b c d αβ bd + + bd αβ Tomado b - e d, temos αβ e a - c Logo, uma solução é ( ω) e (+ ω) QUESTÃO 08 Seja a equação p positivos e p é um úmero primo Determie os possíveis valores de, p e q + q, ode e q são úmeros iteiros Note que p + q p q p ( q + )( q ), ode a epressão fatorada é uma potêcia do primo p Desse modo, temos duas possibilidades iiciais ) p é divisor apeas de q Nesse caso o segudo fator deve ter módulo uitário, ou seja, temos que q + ± q ou q, ambas opções ão possíveis pois q> 0 ) p é divisor apeas de q + Nesse caso o segudo fator deve ter módulo uitário, ou seja, temos que q ± q ou q Assim - Se q ( )( ) p q + q 5 p 5 e p ± 5 - Se q ( )( ) p q + q p ( ) e p ) p é divisor tato de q + quato de q Nesse caso devem eistir epoetes e tais que p q +, p q e + Além disso, como p é divisor simultâeo de q + e q + q Esse úmero limita os possíveis valores de p para ± e ± (úicos divisores primos de ) Temos, portato, mais dois casos a aalisar q, ele também é um divisor de a) Se p Nesse caso, temos q + ( ) q Aplicado o Teorema Fudametal da Aritmética ( ) 5 Assim, ecotramos + 8 e 5 q 0 Aida é preciso aalisar a seguite situação ( 8) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Como a primeira equação ão pode ser resolvida, esse caso pode ser descosiderado b) Se p Observe que como para o caso aterior ( p ) é par etão p também satisfaz a equação p + q se q 0 aálise dispesa a verificação do caso 8 Novamete aida aalisaremos ( 8) ( ) Assim e 8 Esta

6 (9) 5-0 wwwelitecampiascombr O ELITE RESOLVE IME 00 MATEMÁTICA - DISCURSIVAS ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) Ecotramos etão + 7 e c) Se p q q + ( ) 8 q Aplicado o Teorema Fudametal da Aritmética ( ) 8 8 Assim, ecotramos + e q 5 Também é ecessário aalisar o caso ( 8) ( ) ( ) ( ) ( 8) 8 Como a primeira equação ão pode ser resolvida, esse caso pode ser descosiderado d) Se p Novamete, como para o caso aterior ( p ) é par etão p satisfaz a equação p q + se q 5 dispesa a verificação do caso 8 Também aalisaremos o caso ( 8) ( ) e Esta aálise ( ) q + ( ) ( ) ( ) ( ) 8 ( ) q Aplicado o Teorema Fudametal da Aritmética ( ) ( ) ( ) ( ) ( 8) ( ) 8 Esse sistema também é impossível Assim, as soluções 8 possíveis soluções são - q, e p ± 5 - q, e p - q 0, 8 e p ± - q, 7 e p - q 5, e p ± Obs Nessa questão admitimos que o úmero primo p poderia ser tato positivo quato egativo Vale otar que o euciado ão eigia que p fosse positivo, além do fato de que a defiição de úmero primo depede pricipalmete do cojuto o qual trabalhamos De fato, se o cojuto utilizado for (aturais), temos que um úmero primo sempre será positivo Etretato, se o cojuto utilizado for (iteiros), temos tato úmeros primos positivos quato egativos Optamos por utilizar a defiição que abragia os primos egativos, uma vez que isso oferece aos cadidatos uma resolução mais completa e abragete Assim, foi utilizada a defiição que cosidera um úmero primo aquele divisível por apeas quatro iteiros distitos etre si ( ±, por si próprio e pelo seu simétrico) QUESTÃO 09 tg( ) tg( z) a Seja o sistema tg( ) tg( z ) b, ode a, b, c,,, z tg( z) tg( ) c Determie as codições que a, b e c devem satisfazer para que o sistema admita pelo meos uma solução Epadido as tagetes, obtemos ( ) ( z) + tg( ) tg( z) ( ) ( z) + tg( ) tg( z) ( ) ( z) ( ) ( z) tg( ) tg( ) tg tg tg tg a tg( ) tg( z) a tg tg tg tg tg( ) tg( z ) b b tg( z) tg( ) c tg tg tg tg c + Vamos fazer uma mudaça de variáveis tg( ) tg( ) u u tg( ) tg( z) v, com v tg( ) tg( z) w w Nesse caso, reescrevemos o sistema como u w a + v u av + w a v u b u + v bw b + w cu v + w c w v c + u O determiate da matriz dos coeficietes desse sistema liear, as icógitas u, v e w, é a D b ( abc + a+ b+ c) c Cosiderado D 0, podemos calcular u, v e w, pela regra de Cramer a a Du a+ b+ c + abc u b b u D ( a+ b+ c + abc) c Observe que isso viola claramete a codição de eistêcia imposta a troca de variáveis, o que os leva a descartar essa possibilidade Logo, sedo iviável o caso em que D 0, ficamos com o caso D 0 abc + a + b + c 0 Ates de começarmos a desevolver o sistema, otemos que se tivermos uma solução em u, v e w, tal que uv w 0, também teremos uma solução em,, z, pois ( ) tg( ) () I tg u ( II )( III ) tg( ) tg( ) u v w ( II) tg tg z v tg ( z) tg( )tg( ) tg ( z) v w u ( III) tg tg z w Logo, teremos um z se e somete se uv w 0 Aalogamete, obtemos e em fução de u, v e w Escaloado o sistema, obtemos () I u av w a ( II ) + ( I ) u av w a ( II) u + v bw b 0 + ( a) v ( + b) w b + a ( III) cu v w c + cu v + w c + c I u av w a 0 + ( av ) ( + bw ) b+ a 0 ( ac + ) v + ( c) w c + ac ( III ) ( ) Agora, dividimos em dois casos a e a 5

7 (9) 5-0 wwwelitecampiascombr O ELITE RESOLVE IME 00 MATEMÁTICA - DISCURSIVAS Caso a Na equação (II) teremos que ( + bw ) + b Tedo que dividir em dois casos ovamete Caso a e b Nesse caso temos que w Absurdo, pois temos da codição de eistêcia que w Caso a e b Como temos que a+ b+ c + abc 0, teremos que qualquer c satisfaz Substituido o sistema iicial () I u v w u v w ( II) u + v + w ( cu ) v c ( III) + cu v + w c Se c v, que ão covém pela codição de eistêcia Se c w, que ão covém pela codição de eistêcia Para c ±, temos ( cu ) ( + c) v ( c + ) u ( c + ) w Para c <, faça u suficietemete egativo, temos que Para < c <, faça u suficietemete positivo, temos que Para c >, faça u suficietemete egativo, temos que u < 0 v < 0 w > 0 u > 0 v > 0 w > 0 u < 0 v > 0 w < 0 Caso a A pricípio, esse caso, o sistema liear as variáveis u, v e w é possível e idetermiado, como se observa através do escaloameto Etretato, pela simetria do problema os parâmetros a, b e c, podemos verificar que quado etre elas eiste uma que assume o valor e outra assume o valor, e a terceira assumido ou (aálogo ao que foi discutido o caso acima), a equação apresetará alguma das três icógitas (u, v ou w) com valor, violado a codição de eistêcia Assim, a codição ecessária e suficiete para que o sistema origial, as icógitas, e z, teha pelo meos uma solução, isto é, ão seja impossível, é abc + a + b + c 0 ( abc,, ) (,,) ( abc,, ) (,,) ( abc,, ) (,, ) ( abc,, ) (,,) ( abc,, ) (,, ) ( abc,, ) (,, ) Note que a + a cos Aida, observe que um elemeto geérico da sequêcia respeita a seguite relação + a a a a Como cos θ cosθ temos, realizado a substituição a cosθ e a cosθ (observe que a < ), vem θ cos θ cosθ cosθ cosθ θ Assim, cosiderado a cosθ, o produto dos 0 primeiros termos dessa sequêcia é dado por 0 0 a cosθ com θ e θ θ Como θ é um termo geérico da PG de valor iicial θ e razão, podemos dizer que θ e assim 0 0 a cos Eplicitado esse produtório 0 a cos cos cos cos cos cos Multiplicado e dividido por se temos 9 0 se cos cos cos cos cos a se 9 De ode surge a seguite recorrêcia, pela fórmula do arco duplo seα seαcosα 9 se 0 se 7 se 8 se cos cos cos cos cos se a 9 Logo se cos se 0 9 a 0 se se se QUESTÃO 0 Cosidere a seqüêcia a +, a + +, a + + +, Determie o produto dos 0 primeiros termos desta seqüêcia