Aplicações lineares. Capítulo Seja T: a) Quais dos seguintes vectores estão em Im( T )? 1 i) 4. 3 iii) ii)

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1 Capítulo Aplicações lieares Seja T: R R a multiplicação por 8 a) Quais dos seguites vectores estão em Im( T )? i) ii) 5 iii) b) Quais dos seguites vectores estão em Ker( T)? i) ii) iii) c) Qual a dimesão da imagem e a ulidade de T Seja T: R R a multiplicação por 6 a) Quais dos seguites vectores estão em Im( T )? 9 9 i) 6 ii) iii) b) Quais dos seguites vectores estão em Ker( T)? 8 i) ii) iii) c) Qual a dimesão da imagem e a ulidade de T? d) A trasformação é ijectiva? Sobrejectiva? Seja T: P P a trasformação defiida por T( p( )) p( ) a) Quais dos seguites vectores estão em Im( T )? i) ii) iii)

2 b) Quais dos seguites vectores estão em Ker( T)? i) ii) iii) c) Qual a dimesão da imagem e a ulidade de T? d) A trasformação é ijectiva? Sobrejectiva? Cosidere a base { v v v } S para R v ( ) v ( 5 ) e v ( ) e seja T: R R uma trasformação liear tal que T( v ) ( ) T( v ) ( ) e T( v) ( ) Ecotrar fórmula para T( ) e calcule T( ) 5 Cosidere a trasformação liear T: P P tal que T( ) T( ) T( ) a) Ecotrar fórmula para T( a a a ) e calcule T( ) b) A trasformação é ijectiva? Sobrejectiva? Se possível calcule a sua iversa e 6 a) Ecotrar bases para os espaços imagem úcleo e suas respectivas dimesões quado T é a multiplicação pela matriz dada i) ii) iii) 5 iv) b) Cada trasformação é ijectiva? Sobrejectiva? Se possível calcule cada uma das suas iversas Seja T: R R a multiplicação pela matriz 7 a) Mostre que o úcleo de T é uma recta que passa pela origem e ecotre as suas equações paramétricas b) Mostre que a imagem de T é um plao e ecotre uma equação para este plao c) A trasformação é ijectiva? Sobrejectiva? 8 Provar: Se { v v } v é uma base de V e se w w w são vectores em W ão ecessariamete distitos etão eiste um trasformação liear T: V W tal que T( v ) w i i i

3 9 Seja T: V V um operador liear um espaço de dimesão fiita V Provar que R( T) V sse Ker( T) dp( ) Seja D: P P a derivação D( p( )) p ( ) Prove que D é uma d aplicação liear e caracterize o seu úcleo Seja T: P P dada por T( p( )) p ( ) p( ) a) Obteha a matriz da trasformação a base caóica b) Caracterize o seu úcleo c) Obteha a sua iversa d) Resolva T( p( )) Seja I: P R a itegração o itervalo I ( p( )) p( ) d a) Prove que I é uma aplicação liear b) Caracterize o seu úcleo c) Obteha a sua matriz a base caóica d) Caracterize o seu úcleo a aplicação tem iversa? e) Resolva I( p( )) Qual a solução da equação homogéea qual a solução particular Seja T: P P T ( p( )) I( p( )) p( ) p( ) d p( ) a) Prove que I é uma aplicação liear b) Caracterize o seu úcleo c) Obteha a sua matriz a base caóica d) Caracterize o seu úcleo a aplicação tem iversa? e) Resolva I( p( )) Qual a solução da equação homogéea qual a solução particular a) Ecotre a matriz que represeta a base caóica cada uma das trasformações lieares idicadas: i) T ii) T

4 iii) 5 T iv) 5 T v) 5 T vi) T b) Resolva a equação T y b ( ) sempre que possível a trasformação T idicada correspode a cada uma das trasformações da alíea a) e em que b toma os valores: i) ii) iii) iv) v) 6 vi) 5 Ecotre a matriz a base caóica que represeta as seguites trasformações em R : a) Trasformação do vector ( ) y z a sua refleão em relação ao plao y b) Trasformação do vector ( ) y z a sua refleão em relação ao plao z c) Trasformação do vector ( ) y z a sua refleão em relação ao plao yz d) Rotação de 9º do vector (yz) o setido directo em toro do eio dos zz e) Rotação de 9º do vector (yz) o setido directo em toro do eio dos f) Rotação de 9º do vector (yz) o setido directo em toro do eio dos yy 6 Descreva o efeito geométrico da multiplicação de um vector por cada uma das seguites matrizes: a) b) 5 c) d) 7 Seja r a recta de R que passa pela origem e faz um âgulo φ com a parte positiva do eio dos

5 a) Mostre que φ φ φ φ cos si si cos é a matriz que represeta a base caóica a refleão em relação à recta r b) Qual a matriz que represeta a iversa desta trasformação 8 Seja T P P : uma fução dada por: T a a t a t a a a a t ( ) ( ) ( ) a) Ecotrar a matriz que represeta a trasformação as bases caóicas de P e de P b) Resolver T p t t ( ( )) 9 Seja T R R : : T a) Ecotrar a matriz da trasformação em relação às bases { } u u B e { } v v v B em que: v v v u u b) Utilize a matriz calculada em a) para obter a imagem de 8 Seja T R R : defiida por: T a) Ecotrar a matriz da trasformação T em relação à base b) Usar a matriz ecotrada em a) para obter a imagem de

6 c) É possível resolver T ()? Seja v v e seja A a matriz para a trasformação 5 T: R R em relação à base B { v v } a) Ecotrar as compoetes de T( v ) e de T( v ) b) Ecotrar T( v ) e T( v ) a base caóica c) Ecotrar uma fórmula para T d) Usar a fórmula obtida em c) para calcular T a base B e) Ecotrar a matriz da iversa de T calculada a base B será a matriz iversa de A f) Resolver T ( ) Seja A 6 a matriz para a trasformação T: R P em relação 7 v v v v B w w w tq: às bases B { } e { } v v v v w t t w 7 8t t w 6 9t t 6 9 a) Ecotrar as compoetes de T( v ) T( v ) T( v ) T( v ) b) Ecotrar T( v ) T( v ) T( v ) T( v ) a base caóica a base B

7 c) Ecotrar uma fórmula para T d) Usar a fórmula obtida em c) para calcular T Seja A 5 a matriz para a trasformação T: P P em relação à base B v v v tq: { } v t t v t t v 7t t a) Ecotrar as compoetes de T( v ) T( v ) T( v ) b) Ecotrar T( v ) T( v ) T( v ) a base caóica c) Ecotrar uma fórmula para T ( a at at ) d) Usar a fórmula obtida em c) para calcular ( t ) T a base B e) Calcular a ulidade e a dimesão da imagem de T Esta aplicação é ijectiva? Sobrejectiva? f) Resolver T( y) 7t t Sedo D: P P a derivação D( p( )) dp( ) p ( ) d a) Qual a matriz de D em relação à base { t t t } D( 6 6t t t )? Utilize essa matriz para calcular b) Qual a matriz de D em relação à base { t t t t t } essa matriz para calcular D( 6 6t t t )? Utilize 5 Ecotrar em cada alíea a matriz da trasformação derivação em relação às f f f de subespaços do espaço das fuções reais de variável real bases idicadas { }

8 a) f f t f t si cos b) f f e f e t t c) f e f e f e 6 Sedo T a fórmula da trasformação liear T R R : e B e B bases de R B B a) Represete T a base B b) Represete T a base B utilizado a matriz calculada em a) c) Obteha uma fórmula para a iversa de T d) Represete T a base B 7 Sedo 7 T a fórmula da trasformação liear T R R : e B e B bases de R B B a) Represete T a base B b) Represete T a base B utilizado a matriz calculada em a) c) Obteha uma fórmula para a iversa de T d) Represete T a base B 8 Sedo 7 T a fórmula da trasformação liear T R R : e B a base caóica sedo B a base de R : B

9 a) Represete T a base B b) Represete T a base B utilizado a matriz calculada em a) c) Obteha uma fórmula para a iversa de T d) Represete T a base B 9 Sabedo que eiste uma matriz ão sigular P e duas matrizes A e B tais que: B P AP (A e B são semelhates) a) Prove que A e B são semelhates b) Prove que A k e B k são semelhates sedo k uma costate atural Sejam C e D duas matrizes m quaisquer Demostre: Se C D para todo o vector de R etão C D Sejam V e W dois espaços lieares T T e T trasformações lieares de V para W e k um escalar Sejam as trasformações T T e kt defiidas por: ( T T )( ) T ( ) T ( ) V ( T ( ) ) V ( kt )( ) k a) Prove que T T : V W e kt: V W são trasformações lieares b) Mostre que as trasformações lieares de um espaço liear outro com as operações defiidas acima é um espaço vectorial Seja T: V V uma trasformação liear um espaço liear de dimesão (fiito) Prove que um e um só destas afirmações se verifica: A equação T( ) b tem solução para todos os vectores b em V A ulidade de T é maior que zero Para todo o real c os vectores: t c ( t c) ( t c)!! formam base para P Ecotre a matriz para o operador derivação em relação a esta base Esta aplicação tem iversa? Justifique Seja J: P P a trasformação defiida por: J ( p( t)) ( a a t a t a t at ) dt at at at

10 ode p( t) a at at at Ecotrar a matriz de J às bases caóicas de P e de P Esta aplicação tem iversa? Justifique 5 Seja M o espaço liear real das matrizes reais e cosidere em M a base formada pelas matrizes seguites: E E E E a) Sedo A determie a base aterior qual a matriz que represeta a aplicação liear T: M M T( X) AX XA ode AX e XA são os produtos matriciais usuais b) Obteha uma base para o úcleo de T c) Calcule a dimesão e idique uma base para o subespaço imagem de T d) Determie a matriz que represeta T a base formada pelas quatro matrizes seguites: E E E E E E (Eames) 6 Seja P o espaço liear real dos poliómios de grau meor ou igual a e cosidere a trasformação liear T P R defiida por: em que: : T( p ) T( p ) y T( p ) z T( p ) p ( t) t p ( t) t t p ( t) t p ( t) t t R ( ) y ( - ) z ( ) a) Mostre que o cojuto { p p p } b) Obteha um vector w R base de R P é liearmete idepedete p por forma a que o cojuto B { y z t} seja uma c) Aplique o método de ortogoalização de Gram-Schmidt ao cojuto B para obter uma base ortogoal B ~ de R usado o produto itero usual d) Obteha a matriz que represeta T em relação às bases P de P e B ~ de R e) Determie o vector b ~ a projecção ortogoal do vector b ( ) sobre o subespaço gerado pelos vectores y e z

11 f) Resolva a equação (isto é se eistirem soluções determie-as): ~ T ( p) b (Eames) 7 Cosidere a trasformação liear F: C C que em relação à base caóica de C tem represetação matricial: A a) Calcule os valores próprios e os vectores próprios de F e idetifique justificado se eiste uma base de C em relação à qual a represetação matricial de F seja diagoal Em caso afirmativo idique uma tal base a correspodete represetação diagoal Λ S AS b) Resolva a alíea precedete para o caso em que F é defiida como idicado mas substituido C por R c) Prove que eiste N tal que F I e calcule o meor com esta propriedade Prove que A é ão sigular e determie as matrizes A k para todo o k N m m aturalmete cosiderado A ( A ) para m N (Eames) 8 Seja M o espaço liear das matrizes de elemetos reais e cosidere a trasformação liear R: M M defiida por: a b a d b c R c d b c a d a) Determie a matriz A que represeta R em relação à base caóica de M Verifique que é válida a relação A 5I em que I é a matriz idetidade b) Mostre que R é ivertível e determie a sua iversa c) Resolva a equação liear R( X ) (Eames)

12 Capítulo Projecções comprimeto e ortogoalidade (Fachada) Diga como se devem escolher os escalares reais α β γ δ de modo a que a epressão: y α y β y γ y δ y defia um produto itero dos vectores ( ) y ( y y ) R (João Alves) Um barco à vela demora [( y ) ( y )] ( ) { } y horas para se deslocar o mar do poto ( ) ao poto y ( y y ) Diga qual a direcção que o barco deverá seguir para partido do poto () atigir o mais rapidamete possível a recta de equação (Fachada) No espaço vectorial dos poliómios de grau P defiimos o produto itero de dois poliómios p( t) a at at at e q( t) b b t b t b t através da epressão p q a b a b a b a) Determie os complemetos ortogoais dos subespaços: i) L { p P : p() } ii) M { p P : p( t) p( t) } b) Calcule a distâcia de um poliómio arbitrário ( t) P aos subespaços L M da alíea a) * No espaço vectorial dos poliómios de grau P defiimos o produto itero de dois poliómios p( t) a a t a t a t e q( t) b b t b t b t através da epressão p q p( t) q( t) dt a) Determie os complemetos ortogoais dos subespaços: i) L { p P : p() } ii) M { p P : p( t) p( t) } b) Calcule a distâcia de um poliómio arbitrário ( t) P aos subespaços L M da alíea a) c) Utilize este produto itero para trasformar { t t } P t uma base ortoormal de 5 Utilize a desigualdade de Cauchy-Schwarz para demostrar que para a a a reais positivos se tem

13 ( a a a ) a a a 6R é espaço liear real com operações usuais seja em R R a seguite fução: y y [ ] y em que y e a) Prove que é um produto itero em R y y y y b) Ortogoalize os vectores v ( ) v ( ) v ( ) c) Determie a projecção ortogoal de () sobre o espaço gerado por { v v } 7 Seja T: E E uma aplicação sobrejectiva um espaço euclideao E e tal que T Ty y y E (T é uitária) a) Prove que T é ijectiva e que a sua iversa satisfaz: b) Prove que T é liear T T y y e T y T y y E c) Prove que T preserva o produto vectorial ou seja T Ty T( y) d) Prove que T E 8 Seja M o espaço liear real das matrizes e o produto itero em M defiido por: A B tr( A t B) em que A t represeta a trasposta de A M e tra a ii a) Determie o complemeto ortogoal em M do subespaço das matrizes diagoais b) Determie uma base para o subespaço de M de traço ulo Idique o complemeto ortogoal deste subespaço Defiido o produto itero em C por: verifique se a fução defiida em C por: i z w zw zw ; z ( z z ) w ( w w )

14 é uma orma f ( z) z z (Eames) 9 Sedo V o espaço liear real das matrizes e sedo A a B b defiese em V a seguite operação: (ota: se A a ( ) tra a ii ) ij i A B tr( A t B) - Mostre que é um produto itero - Seja S o subcojuto de V das matrizes triagulares superiores com diagoal ula Mostre que S é um subespaço determie a sua dimesão e apresete uma base - Determie o elemeto de S mais próimo da matriz C: C - Sedo A a B b matrizes reais de dimesão ( ) mostre que: (Eames) ij ij i j a ij b ij i j a ij bij i j - Cosidere em E o subcojuto do espaço liear real das fuções reais defiidas em C f f f com R que pertecem à epasão liear do cojuto { } ij ij f f t f t para todo o t Defia um produto itero em E da seguite forma: f g f ( t) g( t) dt a) Determie uma base ortoormada para E ( f g) E b) Determie o elemeto de E mais próimo de h fução defiida em por h( t) t (ie o elemeto f de E que miimiza d ( f h) ( f ( t) h( t) ) dt )

15 - Determie a equação cartesiaa da recta perpedicular ao plao dado pela equação cartesiaa y z e que passa pelo poto de coordeadas () - Sejam π π π três plaos dados respectivamete por y z y z α Calcule α de forma a que π I π I π - Cosidere C com a seguite operação defiida por: ( u u )( v v ) ( u u )( v v ) u u v v para u ( u u u ) v ( v v v ) elemetos de C a) Mostre que é um produto itero b) Determie uma base ortoormada deste espaço euclideao a partir de: C {()()() } (Eames) -a) Determie a projecção do vector P Q com P ( ) e Q ( ) sobre o plao dado pela equação y z b) Calcule a distâcia de P ao plao defiido por y z (Eames) - Seja V o espaço liear das quádruplas ordeadas de úmeros reais com as operações de adição e de multiplicação usuais a) Diga para que valores de λ R a fução defiida por P ( y) λ( y y ) y λ em que ( ) e y ( y y y y ) determia um produto itero em V b) Cosidere que em V está defiido o produto itero P ( P para λ λ ) Seja U o subespaço de V gerado pelos vectores u ( ) v ( ) e z ( ) Determie: b) uma base ortoormal para U b) a projecção ortogoal de w ( ) sobre U b) a projecção ortogoal de s ( 5 ) sobre U - Sejam M e N subespaços de um espaço euclideao de dimesão fiita Mostre que: j j j

16 se dimm<dimn M N { } (Eames) Cosidere em R o produto itero usual Sejam S e U os subespaços de R defiidos por: S L( {( )( )( ) }) U L( {() }) Determie: a) Uma base de S o complemeto ortogoal de S b) Uma base ortogoal de S U c) As projecções ortogoais do vector ( 5 ) sobre os subespaços S e U d) A distâcia do vector ao subespaço U Sejam M e N subespaços de um espaço euclideao Mostre que é válida a igualdade: (Eames) ( N ) M N M I Cosidere o espaço euclideao R com o produto itero usual e os vectores v ( ) v ( ) v ( 8 ) a) Ortogoalize o cojuto { v v } v utilizado o processo de Gram-Schmidt b) Determie uma equação cartesiaa do plao que passa por ( 5) e é ortogoal à recta com equação cartesiaa y z 7 y z c) Calcule a projecção ortogoal de w ( ) w ao plao { v R : v w cv dv c d R} d) Determie o âgulo etre ( ) e ( ) 9 sobre ({ }) L v v e a distâcia de Seja V um espaço euclideao compleo e y V Mostre que são equivaletes as seguites proposições: (i) é ortogoal a y (ii) αy αy α C Aqui z represeta a orma do vector z defiida a partir do produto itero da maeira usual 5 (Eames)

17 Cosidere em R o produto itero usual a) Ortogoalize o cojuto {( )( )(5) } usado o método de ortogoalização de Gram-Schmidt b) Determie uma equação do plao que passa pelo poto () e é ortogoal à recta com equação cartesiaa y z y z Sejam λ R e f λ a fução defiida o cojuto dos pares ordeados de vectores de R por fλ ( y) y y ( λ)( y λy ) ode ( ) e y ( y y y ) a) Diga para que valores de λ R a fução f λ determia um produto itero em V Para esses valores de λ desiga-se por V λ o espaço euclideao obtido b) Seja S o subespaço de V ( Vλ para λ ) gerado pelos vectores v ( ) v ( ) v ( ) Obteha uma base ortoormada de S em V c) Determie em V a projecção ortogoal de v ( ) sobre S d) Determie uma base ortoormada de V que coteha a base ortoormada de S idicada em b) (Eames) 6 Cosidere a fução p defiida o cojuto dos pares ordeados de vectores de R por: ode ( ) e y ( y y y ) p( y) y y y y y Mostre que p defie um produto itero em R ; desige-se por X o espaço euclideao obtido Seja W o subespaço de X gerado pelos vectores () e () Determie: a) W o complemeto ortogoal de W em X b) o elemeto de W mais próimo do vector () Use a desigualdade de Cauchy-Schwarz aplicada a vectores adequadamete escolhidos para mostrar que é válida a desigualdade: para quaisquer valores reais abe c ( a b c) 6( a c ( b c) )

18 (Eames) 7 Cosidere a fução p defiida o cojuto dos pares ordeados de vectores de R por: ode ( ) e y ( y y y ) p( y) ( )( y y ) ( )( y y ) y Mostre que p defie um produto itero em R ; desige-se por E o espaço euclideao obtido Cosidere o subcojuto de E formado pelos vectores v ( ) v ( ) v ( 5 ) e seja S o subespaço gerado por esses vectores; obteha uma base ortoormada de S Determie em E a projecção ortogoal de v ( 5 ) sobre S Determie a distâcia em E de v a S (Eames) 8 Seja P o espaço liear dos poliómios em com coeficietes reais e grau Cosidere em P o produto itero dado por f ( ) g( ) ab ab ab em que f ( ) a a a e g( ) b b b e os poliómios p ( ) p ( ) 7 a) Determie uma base ortoormada para o subespaço L de P gerado por p( ) e p ( ) b) Determie a projecção ortogoal de r( ) sobre o subespaço L Cosidere em P os subespaços U e V gerados respectivamete por u 5 5 u 5 5 u v 5 v 6 v 9 a) Determie a dimesão e obteha uma base para o subespaço U V b) Determiar a dimesão do subespaço U I V (Eames) 9 Mostre que todo o espaço vectorial E (pode cosiderá-lo sobre o corpo real) de dimesão fiita muido de uma fução : E E E que é simétrica liear e ão degeerada (ie seja E etão y E : y ) admite uma base ortoormada Mostre que este caso ão é válido o método de Gram-Schmidt usual para o caso em que é defiida positiva (tete um cotra-eemplo)