Matemática Revisão MASTER I

Transcrição

1 Matemática Revisão MASTER I Professor Luiz Amaral. (Uerj 009) Maurre Maggi foi a primeira brasileira a gahar uma medalha olímpica de ouro a modalidade salto em distâcia. Em um treio, o qual saltou vezes, a atleta obteve o seguite desempeho: - todos os saltos de ordem ímpar foram válidos e os de ordem par iválidos; - o primeiro salto atigiu a marca de 7,04 m, o terceiro a marca de 7,07 m, e assim sucessivamete cada salto válido aumetou sua medida em cm; - o último salto foi de ordem ímpar e atigiu a marca de 7, m. Calcule o valor de.. (Uerj 009) Observe a curva AEFB desehada a seguir. tgα tgβ tg( α β). (tg α)(tg β) a, b e c são três âgulos, sedo tgb e Calcule tg(a - b + c). 4 tg(a b c) (Uerj 009) Admita dois úmeros iteiros positivos, represetados por a e b. Os restos das divisões de a e b por 8 são, respectivamete, 7 e 5. Determie o resto da divisão do produto a.b por (Uerj 008) Moedas idêticas de 0 cetavos de real foram arrumadas sobre uma mesa, obedecedo à disposição apresetada o deseho: uma moeda o cetro e as demais formado camadas tagetes. Aalise os passos seguidos em sua costrução: º) traçar um semicírculo de diâmetro AB com cetro C e raio cm; º) traçar o segmeto CD, perpedicular a AB, partido do poto C e ecotrado o poto D, pertecete ao arco AB ; º) costruir o arco circular AE, de raio AB e cetro B, sedo E a iterseção com o prologameto do segmeto BD, o setido B para D; 4º) costruir o arco circular BF, de raio AB e cetro A, sedo F a iterseção com o prologameto do segmeto AD, o setido A para D; 5º) desehar o arco circular EF com cetro D e raio DE. Cosiderado que a última camada é composta por 84 moedas, calcule a quatia, em reais, do total de moedas usadas essa arrumação. 6. (Uerj 008) Cosidere um setor circular AOC, cujo âgulo cetral è é medido em radiaos. A reta que tagecia o círculo o extremo P do diâmetro CP ecotra o prologameto do diâmetro AB em um poto Q, como ilustra a figura. Determie o comprimeto, em cetímetros, da curva AEFB.. (Uerj 009) Cosidere o teorema e os dados a seguir. Se αβ, e α π β são três âgulos diferetes de k π, k, etão Sabedo que o âgulo è satisfaz a igualdade tgè = è, calcule a razão etre a área do setor AOC e a área do triâgulo OPQ.

2 7. (Uerj 008) Um tabuleiro retagular com pregos dispostos em lihas e coluas igualmete espaçadas foi usado em uma aula sobre área de polígoos. A figura a seguir represeta o tabuleiro com um elástico fixado em quatro pregos idicados pelos potos A, B, C e D. Cosidere u a uidade de área equivalete ao meor quadrado que pode ser costruído com vértices em quatro pregos do tabuleiro. Calcule, em u, a área do quadrilátero ABCD formado pelo elástico. 8. (Uerj 007) João recorta um círculo de papel com 0 cm de raio. Em seguida, dobra esse recorte ao meio várias vezes, coforme ilustrado a figura. Depois de fazer diversas dobras, abre o papel e coloca o úmero as duas extremidades da primeira dobra. Sucessivamete, o meio de cada um dos arcos formados pelas dobras ateriores, João escreve a soma dos úmeros que estão as extremidades de cada arco. A figura a seguir ilustra as quatro etapas iiciais desse processo. Calcule a área da parte do círculo que foi retirada pelo corte. 0. (Fuvest 08) Detre os cadidatos que fizeram provas de matemática, português e iglês um cocurso, 0 obtiveram ota míima para aprovação as três disciplias. Além disso, sabe-se que: I. 4 ão obtiveram ota míima em matemática; II. 6 ão obtiveram ota míima em português; III. ão obtiveram ota míima em iglês; IV. 5 ão obtiveram ota míima em matemática e em português; V. ão obtiveram ota míima em matemática e em iglês; VI. 7 ão obtiveram ota míima em português e em iglês e VII. ão obtiveram ota míima em português, matemática e iglês. A quatidade de cadidatos que participaram do cocurso foi a) 44. b) 46. c) 47. d) 48. e) 49.. (Fuvest 08) Prologado-se os lados de um octógoo covexo ABCDEFGH, obtém-se um polígoo estrelado, coforme a figura. João cotiuou o processo de dobradura, escrevedo os úmeros, coforme a descrição aterior, até cocluir dez etapas. Calcule a soma de todos os úmeros que estarão escritos a etapa (Uerj 007) João recorta um círculo de papel com 0 cm de raio. Em seguida, dobra esse recorte ao meio várias vezes, coforme ilustrado a figura. Depois de fazer diversas dobras, abre o papel e coloca o úmero as duas extremidades da primeira dobra. Sucessivamete, o meio de cada um dos arcos formados pelas dobras ateriores, João escreve a soma dos úmeros que estão as extremidades de cada arco. A figura a seguir ilustra as quatro etapas iiciais desse processo. Cosidere que João recortou a dobradura referete à figura da etapa a liha que correspode à corda AB idicada a figura. Ele verificou, ao abrir o papel sem o pedaço recortado, que havia formado o polígoo da figura 4. A soma α α8 vale a) 80. b) 60. c) 540. d) 70. e) 900.

3 . (Fuvest 08) O quadrilátero da figura está iscrito em uma circuferêcia de raio. A diagoal desehada é um diâmetro dessa circuferêcia. 5. (Fuvest 009) Na figura, B, C e D são potos distitos da circuferêcia de cetro O, e o poto A é exterior a ela. Além disso, () A, B, C, e A, O, D, são colieares; () AB = OB; () CÔD mede α radiaos. Sedo x e y as medidas dos âgulos idicados a figura, a área da região ciza, em fução de x e y, é: a) π se (x) se (y) b) π se (x) se (y) c) π cos (x) cos (y) cos (x) cos (y) d) π se (x) se (y) e) π. (Fuvest 05) Dadas as sequêcias a 4 4, b, b c a a e d, defiidas para valores iteiros positivos b de, cosidere as seguites afirmações: I. a é uma progressão geométrica; II. b é uma progressão geométrica; III. c é uma progressão aritmética; IV. d é uma progressão geométrica. São verdadeiras apeas a) I, II e III. b) I, II e IV. c) I e III. d) II e IV. e) III e IV. 4. (Fuvest 04) O triâgulo AOB é isósceles, com OA OB, e ABCD é um quadrado. Sedo θ a medida do âgulo AOB, ˆ pode-se garatir que a área do quadrado é maior do que a área do triâgulo se Dados os valores aproximados: tg 4 0,49, tg 5 0,679 tg 0 0,640, tg 8 0,57 a) 4 θ 8 b) 5 θ 60 c) 0 θ 90 d) 5 θ 0 e) 0 θ 50 Nessas codições, a medida de A ˆB O, em radiaos, é igual a: a) ð - (á/4) b) ð - (á/) c) ð - (á/) d) ð - (á/4) e) ð - (á/) 6. (Ime 06) Dados três cojutos quaisquer F, G e H. O cojuto G H é igual ao cojuto: a) (G F) (F H) b) (G H) (H F) c) (G (H F)) H d) G (H F) e) (H G) (G F) 7. (Ime 05) Seja um trapézio retâgulo de bases a e b com diagoais perpediculares. Determie a área do trapézio. a) ab a b b) a b c) ab a b d) ab e) a b ab 8. (Ita 08) Os lados de um triâgulo de vértices A, B e C medem AB cm, BC 7 cm e CA 8 cm. A circuferêcia iscrita o triâgulo tagecia o lado AB o poto N e o lado CA o poto K. Etão, o comprimeto do segmeto NK, em cm, é a). b).

4 c). d). e) (Ita 07) Sejam a, b, c, d. Supoha que a, b, c, d formem, esta ordem, uma progressão geométrica e que a, b, c 4, d 40 formem, esta ordem, uma progressão aritmética. Etão, o valor de d b é a) 40. b) 0. c) 0. d) 0. e) (Ita 06) Um triâgulo está iscrito uma circuferêcia de raio cm. O seu maior lado mede cm. e sua área é de cm. Etão, o meor lado do triâgulo, em cm, mede a). b). c). d). 6 e). 6 5 S = = 5 u. Resposta da questão 8: 9.66 Resposta da questão 9: 00 (π - ) cm Resposta da questão 0: [E] Sejam M, P e I, respectivamete, o cojuto dos aluos que ão obtiveram ota míima em matemática, o cojuto dos aluos que ão obtiveram ota míima em português e o cojuto dos aluos que ão obtiveram ota míima em iglês. Logo, pelo Pricípio da Iclusão-Exclusão, temos (M PI) Por coseguite, sabedo que 0 aluos foram aprovados as três disciplias, segue que a resposta é Resposta da questão : [B] Cosidere o quadrilátero IJKL da figura. Gabarito: Resposta da questão : = Resposta da questão : π (4 - ) cm Resposta da questão : - Resposta da questão 4: Resposta da questão 5: R$ 6,0 Resposta da questão 6: Resposta da questão 7: Seja S a área do quadrilátero ABCD. Pela fórmula de Pick obtemos Dos triâgulos PP 6K, P P5 I, P P8 L e P4P 7J, tem-se, respectivamete, que P KP 80 ( α α ), 6 6 P IP 80 ( α α ), 5 5 P LP 80 ( α α ) e 8 8 P4 J P7 80 ( α4 α7 ). Em cosequêcia, desde que a soma dos âgulos iteros do quadrilátero IJKL é igual a 60, vem 80 ( α α6 ) 80 ( α α5 ) 80 ( α α8 ) 80 ( α4 α7 ) 60 8 α 60.

5 Resposta da questão : [B] A diagoal do quadrilátero o divide em dois triâgulos retâgulos. Sedo sex e cosx os catetos do primeiro e sey e cosy os catetos do segudo, podemos cocluir que o resultado é π se x cos x se y cos y π sex sey. Resposta da questão : [E] [I] Falsa. Tem-se que a ( ). Logo, como a razão a ( ) a ( ) ão é costate, segue que [II] Falsa. De fato, a razão ( ) b b a ão é uma progressão geométrica. ão é costate. Daí, podemos cocluir que b ão é uma progressão geométrica. [III] Verdadeira. A difereça etre quaisquer dois termos cosecutivos da sequêcia c é a a ( ) 4( ) 4 ( 4 4) Desse modo, c é uma progressão aritmética de primeiro termo 7 e razão igual a. Do triâgulo retâgulo OMB, obtemos BM AB tgmob MO. MO θ tg Sem perda de geeralidade, supohamos que AB. Assim, AB MO (AOB). θ 4tg A área do quadrado ABCD é maior do que a área do triâgulo AOB se (ABCD) (AOB) θ 4 tg θ tg 0,5. 4 Logo, como tg5 0,679 0,5 e 0 θ 80, vem que 0 θ 80. Note que ]0,50 [ ]0,80 [. Resposta da questão 5: [C] [IV] Verdadeira. De (II), temos d, que é uma progressão geométrica de primeiro termo 8 e razão igual a 4. Resposta da questão 4: [E] Cosidere a figura, em que M é o poto médio do lado AB.

6 ˆ ABD x ΔCOB é isósceles de base BC, logo OBC=OCB ˆ ˆ = π - x ΔABO é isósceles de base AO, logo OAB=BOA ˆ ˆ = No triâgulo AOB: π - x Resposta da questão 7: [C] Desehado o trapézio com os dados do euciado, tem-se: π - x α π - x + (âgulo extero) α = π x π x x πα π α x α x π Portato, ABO ˆ π α/ Resposta da questão 6: [C] Utilizado os diagramas de Ve, pode-se represetar o cojuto G H como sedo: Por semelhaça de triâgulos, pode-se escrever: ΔABC ΔABD h a h ab h ab b h a b a b Strapézio h Strapézio ab Resposta da questão 8: [A] Do euciado, temos: Comparado este diagrama com os apresetados as alterativas, temse: [A] (G F) (F H) [B] (G H) (H F) [C] (G (H F)) H M é poto de tagêcia etre a circuferêcia e o lado BC. Sedo AK x, AK AN x BN BM x CK CM 8 x [D] G (H F) [E] (H G) (G F) Como BC 7 e BC BM MC, 7 x 8 x x Sedo BAC ˆ α, temos: cosα cosα Assim, comparado-se os diagramas percebe-se que a alterativa correta é a alterativa [C]. Sedo NK y, temos:

7 y cosα y 4 4 y cm NK cm x y 4 x y Da seguda equação escrevemos que: y x Resposta da questão 9: [D] Calculado: a a b aq PG a, b, c, d c aq b c PA a,,, d 40 4 d aq Da PA, tem-se: b c c a b a 4 4 Substituido o resultado acima a primeira equação, ecotramos: 4 x 4x 0 Resolvedo a equação e determiado o valor de y, ecotramos: x y ou x y Portato, o meor cateto do triâgulo é. Substituido os valores de b e c: aq aq a q 4q 4 0 q 4 Da PA, tem-se: c b aq aq (d 40) aq 40 a a 8a 40 a b aq 40 d b 0 d aq 60 Resposta da questão 0: [B] Como a medida do lado maior é igual a medida do diâmetro (cm), podemos afirmar que este triâgulo é retâgulo de catetos x e y. Temos, etão o seguite sistema.

8