Em certas situações particulares é possível operar com raízes quadradas, raízes cúbicas,...

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1 Escola Secudária/, da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Matemática A Ao Lectivo 000/0 Cojuto IR - Operações com radicais, racioalização de deomiadores e equadrametos 0º Ao Nome: Nº: Turma: NÚMEROS IRRACIONAIS Números irracioais são úmeros que ão é possível represetar a forma de fracção, isto é, que ão podem ser escritos como razão de dois úmeros iteiros As dízimas dos úmeros irracioais são sempre ifiitas ão periódicas O cojuto dos úmeros reais, IR, compreede os úmeros racioais e irracioais As dízimas fiitas e as dízimas ifiitas periódicas represetam sempre úmeros racioais Por exemplo, determiemos a fracção correspodete ao úmero racioal,( ): Desigado,( ) por x, temos: R (reais) Logo, x 99 00x,( ) x,( ) 99x,( 00) (subtraido ordeadamete) Q Racioais 9,(), π φ Irracioais Um π irracioal famoso Talvez o mais famoso úmero irracioal seja o PI ( π ), o quociete etre o perímetro e o diâmetro de um círculo As calculadoras cietíficas têm uma tecla para acesso directo a um valor aproximado de π com dez, ou mais, dígitos Por vezes, quado se calcula o perímetro ou uma área de um círculo utiliza-se, como valor aproximado de π, mas actualmete ele já foi calculado com milhões de casas decimais OPERAÇÕES COM RADICAIS Em certas situações particulares é possível operar com raízes quadradas, raízes cúbicas, Radicais equivaletes A propriedade seguite tem duas aplicações: simplificação de radicais e redução de radicais ao mesmo ídice Para todo o úmero real positivo x e para mp,, N, m p m p x x Escrever, por ordem crescete, 6 Logo, < e e 8 Adição e subtracção de radicais É possível traduzir a soma e a difereça de radicais por um úico radical quado tiverem o mesmo ídice e o mesmo radicado Para todo o úmero real positivo x e para N, a x + b x ( a+ x Cojuto R - Operações com radicais, racioalização de deomiadores e equadrametos

2 + ( + ) ( + 7) + ( ) ( + ) 6 + ( 7) Multiplicação de radicais O produto de dois radicais com o mesmo ídice é um radical aida com o mesmo ídice, cujo radicado é o produto dos radicados Para todos os úmeros reais positivos x e y e para N, x y x y 7 ( ) ( ) ( 7 ) Divisão de radicais O quociete de dois radicais com o mesmo ídice é um radical aida com o mesmo ídice, cujo radicado é o quociete dos radicados Para todos os úmeros reais positivos x e y e para N, x x y y Passar um factor para detro ou para fora do radical Pode sempre escrever-se o produto de um úmero racioal por um radical sob a forma de um radical, bastado para isso escrever o úmero racioal a forma de radical e, em seguida, multiplicar os dois radicais Para todo o úmero racioal x e real y positivos e para N, x y x y Potêcia de um radical A potêcia de um radical é um radical aida com o mesmo ídice, cujo radicado é a potêcia do radicado Para todo o úmero real positivo x e para p, N, ( x) p x p ( ) ( ) ( ) ( ) ( + 7) Cojuto R - Operações com radicais, racioalização de deomiadores e equadrametos

3 Radical de um radical O radical de um radical é outro radical cujo ídice é o produto dos ídices e o radicado é o mesmo úmero Para todo o úmero real positivo x e para p, N, p x p x 0 8 RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES Qual dos úmeros, e, é maior? Determiar metalmete um valor aproximado de aproximado de é relativamete fácil, pois sabemos que, é um valor, às décimas Mas, determiar metalmete um valor aproximado de Bem quem diria que as fracções são equivaletes?! Com efeito: já ão é tarefa fácil O deomiador da fracção é um úmero irracioal, equato o deomiador de é um úmero racioal Diz-se que racioalizámos o deomiador da primeira fracção Esta é a trasformação que, por orma, se aplica a todos os resultados em forma de fracção com deomiador irracioal + + ENQUADRAMENTOS Há muitas situações em que se tora útil, e mesmo ecessário, cohecer equadrametos para os resultados de adições e multiplicações em que itervêm valores aproximados Sr Mário, veda-me + metros de chita! Equadrameto da soma Calculemos um valor aproximado de + 0 Sabedo que, 606 e que 0 67,, utilizemos, por exemplo, valores aproximados a meos de uma cetésima:, < <, 6, < 0 < 7, 9, < + 0 <, (adicioado ordeadamete) 9, é um valor aproximado da soma + 0, por defeito;, é um valor aproximado da soma + 0, por excesso; Qualquer úmero compreedido etre, 9 e, é um valor aproximado de + 0 com erro iferior a 00, (,, 9 0, 0 ), ou seja, um valor aproximado da soma a meos de duas cetésimas Diz-se que 0, 0 é um majorate do erro cometido aquela aproximação Cojuto R - Operações com radicais, racioalização de deomiadores e equadrametos

4 Equadrameto do produto Calculemos um valor aproximado de π Sabedo que, 606 e que π 9,, utilizemos, por exemplo, valores aproximados a meos de uma décima:, < <,, < π <, 68, < π < 76, (multiplicado ordeadamete) 68, é um valor aproximado do produto π, por defeito; 76, é um valor aproximado da soma π, por excesso; Qualquer úmero compreedido etre 6, 8 e 76, é um valor aproximado de π com erro iferior a 0, (76, 68, 0, ), ou seja, um valor aproximado da soma a meos de cetésimas Diz-se que 0, é um majorate do erro cometido aquela aproximação EXERCÍCIOS Calcule: a) , d) + + Calcule a) ( + ) ( ) + ( + )( ) + Calcule: a) 7 0, 0 Calcule: a) 8 6 Calcule: a) Simplifique cada uma das expressões: a) Efectue as operações idicadas e apresete o resultado a forma mais simples: a) 0 6 ( ) d) e) g) h) 7( + 7) i) j) Cojuto R - Operações com radicais, racioalização de deomiadores e equadrametos

5 8 Racioalize os deomiadores das seguites expressões: a) 7 + d) 9 Cosidere um quadrado [ABCD] com dm de lado Determie a mediatriz de [AB] Com cetro o poto médio de [AB] trace um arco de circuferêcia que passe por C até ecotrar o prologameto de [AB] para o lado de B o poto E Desehe o rectâgulo de lados [AD] e [AE] D C a) Determie o comprimeto exacto do lado maior do rectâgulo ( φ ) Sabedo que, 6 < <, 8, etre que valores varia o lado maior do rectâgulo? Determie o perímetro exacto do rectâgulo 0 A figura represeta um paralelepípedo rectâgulo seccioado pelo plao ABC que o separou em dois sólidos diferetes A A B E B J I AB 9 cm EF ED O volume do sólido meor resultate da divisão é 9 cm a) Determie ED Determie o volume do sólido maior obtido o corte a E H a D C F G Cosidere um prisma quadragular regular em que a altura é o dobro da aresta da base a) Represetado por a a aresta da base, obteha as medidas de todas as diagoais do prisma Determie a medida da aresta da base para que o volume seja 00 cm Desehe um quadrado e um círculo iscrito Calcule o perímetro e a área do círculo iscrito um quadrado de lado Idique o valor exacto e um valor aproximado Desehe um quadrado e um círculo circuscrito Calcule o perímetro e a área do círculo circuscrito a um quadrado de lado Idique o valor exacto e um valor aproximado Cosidere o cubo da figura I é o poto médio de [EF] a) Desehe a secção resultate da itersecção do cubo pelo plao CIH Explique o seu raciocíio E H I F G Classifique, justificado, o quadrilátero obtido Calcule o valor exacto do perímetro da secção, sabedo que o comprimeto da aresta é cm R Q P Duas formigas vão de O a Q pelas paredes de um cubo, A à mesma velocidade (R e Q são os potos médios das arestas) A formiga A segue o trajecto ORQ e a formiga B o OPQ D B C O a) Qual das formigas chega primeiro? Sabedo que a aresta do cubo é dm, determie a difereça dos comprimetos dos trajectos, com aproximação à décima de milímetro Cojuto R - Operações com radicais, racioalização de deomiadores e equadrametos

6 SOLUÇÕES + ; ; 9 ; + ; 9 7 ; 7 ; ; 6 ; ; ; ; 6 ;, 7 ; 00 ; ; ; ; ; ; 7+ ; ; ; ; + ; 9 + dm; Varia etre,68 dm e,69 dm; ( + ) dm 0 7 cm; cm a ; a ; a 6; 00 cm P π ;, A π ; 0,79 P π ;, A π ;,7 Trapézio isósceles ( + ) cm Trajecto ORQ: a + ; Trajecto OPQ: a + (desigado a a medida da aresta) 7,8 milímetros O Professor 6 Cojuto R - Operações com radicais, racioalização de deomiadores e equadrametos