BANCO DE QUESTÕES MATEMÁTICA A 11. O ANO

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1 BANCO DE QUESTÕES MATEMÁTICA A 11. O ANO DOMÍNIO: Fuções Reais de Variável Real 1. Seja f a fução real de variável real defiida por f Qual das seguites epressões defie uma sucessão lim f u? (A) u (C) u (B) 1 (D) u u 1 1. u tal que. Na figura, está represetado o gráfico de uma fução g de domíio 1, 4..1 Seja u a sucessão defiida por u 1. 1 Qual das seguites proposições é verdadeira? (A) lim gu (B) lim gu (C) lim gu 1 (D) Não eiste lim gu. Qual das seguites proposições é verdadeira? (A) lim g 1 (C) lim g 1 1 (B) g lim 1 (D) Não eiste lim g 1. Qual das seguites proposições é verdadeira? (A) lim g 1 1 (C) lim g 1 (B) g lim 1 (D) g lim 1 1 Carlos Adrade, Pedro Pimeta e Simoe Azevedo Matemática A 11. o ao Raiz Editora, 019. Todos os direitos reservados.

2 . Seja f a fução real de variável real defiida por 4 f e seja g a fução cujo gráfico se represeta a figura ao lado..1 Qual é o domíio da fução f g? (A), (B), 4 (C),0, 4 (D) 0,. Qual é o cotradomíio da fução g f? (A) 0, (B) 0, (C). Qual é o valor de lim? f g 1, (D), (A) (B) 0 (C) (D).4 Qual dos seguites limites eiste? (A) lim (B) lim f g f g 1 (C) lim g f (D) lim g f 4 4. Sejam f a fução poliomial defiida por 1 \1, defiida por g Qual das seguites afirmações é verdadeira? (A) lim f g (B) lim f g 1 1 f e g a fução, de domíio (C) lim g f 1 (D) lim f g 1 4. Quatas assítotas verticais tem o gráfico da fução f g? (A) 0 (B) 1 (C) (D) 4. Quatas assítotas verticais tem o gráfico da fução g f? (A) 0 (B) 1 (C) (D) Carlos Adrade, Pedro Pimeta e Simoe Azevedo Matemática A 11. o ao Raiz Editora, 019. Todos os direitos reservados.

3 5. Na figura, está represetada graficamete, em referecial o.., a fução racioal f defiida por uma b epressão do tipo ya c abc,,. 5.1 Quais são os valores de a e c? (A) a e c 1 (B) a 1 e c (C) a e c 1 (D) a 1 e c 5. Qual é o valor de b, sabedo-se que f 0 4? (A) 1 (B) 1 (C) (D) 4 5. Seja g a fução, real de variável real, defiida por g f. Quais das seguites equações defiem as assítotas ao gráfico da gução g? (A) y e (B) y e 1 (C) y 1 e 1 (D) y 1 e 1 6. No referecial o.. da figura, estão represetados parte do gráfico da fução g e a reta r, secate ao gráfico de g os potos de abcissas 1 e. Sabe-se que: a icliação da reta r é 60º ; 0 1 g 1. g e 6.1 O valor de tmv g,0,1 é: (A) 4 (B) 1 4 (C) 1 4 (D) 4 6. O valor de g é: (A) (B) (C) (D) Carlos Adrade, Pedro Pimeta e Simoe Azevedo Matemática A 11. o ao Raiz Editora, 019. Todos os direitos reservados.

4 7. Seja g a fução defiida, em, para cada valor de k 1, por: 1 se 1 k se 1 f Qual é o valor de k para o qual f é cotíua em 1? (A) 0 (B) (C) (D) 8 8. No referecial o.. da figura, estão represetados parte do gráfico da fução h e a reta r, tagete ao gráfico de h o poto de abcissa 1. A reta r iterseta o eio O o poto de abcissa 1 e o eio Oy o poto de ordeada 1. h h O valor de lim é: 1 1 (A) 1 (B) 0 (C) 1 (D) 8. Sabe-se que h é uma fução quadrática com zeros 0 e 1.? 8..1 Qual é a solução da equação h 0 (A) 0 (B) 1 4 (C) 1 (D) Qual das seguites é uma epressão aalítica de h? 1 (A) 1 (B) 1 (C) 1 (D) Seja g uma fução, de domíio, cujo gráfico tem uma assítota de equação y 1. Qual das seguites epressões pode defiir a fução derivada de g? (A) g 1 1 (B) g 1 1 (C) g1 (D) g1 Carlos Adrade, Pedro Pimeta e Simoe Azevedo Matemática A 11. o ao Raiz Editora, 019. Todos os direitos reservados.

5 10. Uma certa quatidade de um ácido, a, em litros, foi adicioada a litros de água Mostra que a percetagem, p, de ácido presete a solução é dada, pela epressão 100a pa ( a 0 ). a 10. Determia a percetagem de ácido a solução, se forem adicioados 5dL do mesmo aos litros de água. 10. Determia, recorredo às capacidades gráficas da calculadora, a quatidade de ácido adicioado aos litros de água para que a percetagem deste a solução seja 67%. Na tua resposta: - equacioa o problema; - reproduz, um referecial, o(s) gráfico(s) da(s) fução(ões) visualizado(s) a calculadora que te permite(m) resolver a equação; - apreseta o resultado em decilitros, arredodado às uidades. 11. Um certo taque pode ser echido por duas toreiras de caudal costate. Utilizado apeas uma das toreiras, o taque fica cheio ao fim de 10 horas. Utilizado apeas a outra toreira, o taque fica cheio ao fim de t horas. Cosidera agora que as duas toreiras são utilizadas em simultâeo Mostra que o úmero de horas, h, ecessárias para que o taque fique cheio é dado, em fução de t, por: h t 10t 10 t ( t 0 ) 11. Determia o úmero de horas ecessárias para que o taque fique cheio, cosiderado t 10. Iterpreta o resultado obtido. 11. Determia lim ht t 0 e lim ht t. Iterpreta os resultados obtidos Determia t de modo que o tempo ecessário ao echimeto do taque, com as duas toreiras, seja horas. Carlos Adrade, Pedro Pimeta e Simoe Azevedo Matemática A 11. o ao Raiz Editora, 019. Todos os direitos reservados.

6 1. Calcula os seguites limites, começado por idetificar, caso eista, o tipo de idetermiação. 1.1 lim lim lim 1 1 lim lim lim Determia o cojuto de potos de cotiuidade de cada uma das seguites fuções reais de variável real. f 1.1 g 1. se se Estuda as seguite fuções quato à eistêcia de assítotas ao seu gráfico. Caso eistam, escreve as respetivas equações f g Seja f uma fução difereciável o itervalo 1, 1 tal que: f 1 f 1,1, 4 Determia os possíveis valores de f 1. Sugestão: Utiliza o teorema de Lagrage, aplicado à fução f, o itervalo 1, 1. Carlos Adrade, Pedro Pimeta e Simoe Azevedo Matemática A 11. o ao Raiz Editora, 019. Todos os direitos reservados.

7 16. Seja g a fução, real de variável real, defiida por 4 g Determia os itervalos de mootoia da fução g e idetifica os respetivos etremos relativos e absolutos, caso eistam. 17. Seja g a fução real de variável real defiida por f. 10 Determia os itervalos de mootoia da fução f e idetifica os respetivos etremos relativos e absolutos, caso eistam. 18. Sejam f e g fuções, de domíio, tais que: f é par; f lim lim f 1; g f. Verifica que o gráfico de g tem uma assítota oblíqua em e idica a respetiva equação reduzida. 19. Um pitor pretede utilizar uma tela retagular para fazer uma pitura, de forma também retagular, com 400 cm de área, com marges bracas em toda à volta. A largura das marges superior e iferior deverá ser cm e a das marges laterais deverá ser cm. Determia a área míima da tela a utilizar pelo pitor. Apreseta o valor pedido em cm. Carlos Adrade, Pedro Pimeta e Simoe Azevedo Matemática A 11. o ao Raiz Editora, 019. Todos os direitos reservados.

8 DOMÍNIO: Estatística 1. Nos refereciais seguites, estão represetadas três uves de potos. (I) (II) (III) Faz correspoder a cada uvem de potos um dos seguites coeficietes de correlação liear: r1 0,86 r 0,9 r 0,89. Na tabela seguite, apresetam-se os dados relativos ao úmero de horas de estudo de sete aluos para um teste de Matemática e à classificação obtida por cada um. Tempo de estudo (horas) Classificação (valores) Represeta, um referecial ortoormado do plao, a uvem de potos desta amostra.. Recorredo a uma calculadora, obtém o coeficiete de correlação liear desta amostra. Apreseta esse valor arredodado às cetésimas. Classifica a associação liear etre as variáveis estatísticas.. Recorredo a uma calculadora, determia a equação reduzida da reta de míimos quadrados relativa a esta amostra. Utiliza essa equação para obteres uma estimativa da classificação obtida por um aluo que teha estudado 7 horas. Apreseta o resultado arredodado às uidades. Carlos Adrade, Pedro Pimeta e Simoe Azevedo Matemática A 11. o ao Raiz Editora, 019. Todos os direitos reservados.

9 g/cm, fizeram-. Numa eperiêcia para determiar a desidade de uma substâcia, em se medições da massa, em gramas, e do volume, em tabela seguite apresetam-se os resultados dessas medições. cm, de amostras dessa substâcia. Na Massa (g) Volume ( cm ) Obtém uma estimativa para o volume, em cm, arredodado às uidades, de uma amostra desta substâcia com 5 gramas de massa. Na tua resolução, começa por determiar, recorredo a uma calculadora, a equação reduzida da reta de míimos quadrados relativa a este cojuto de dados. Cosidera coeficietes da equação arredodados com, pelo meos, três casas decimais. Carlos Adrade, Pedro Pimeta e Simoe Azevedo Matemática A 11. o ao Raiz Editora, 019. Todos os direitos reservados.

10 SOLUÇÕES Fuções Reais de Variável Real 1. (D).1 (A). (D). (A).1 (C). (D). (B).4 (C) 4.1 (C) 4. (A) 4. (D) 5.1 (A) 5. (B) 5. (B) 6.1 (D) 6. (B) 7. (C) 8.1 (C) 8..1 (C) 8.. (D) 9. (B) 10.1 A quatidade de ácido presete a solução é a litros; a solução tem a litros; a assim, a percetagem de ácido é dada por 100 a 100a, ou seja, pa. a 10. 0% 10. A quatidade de ácido adicioado aos litros de água para que a percetagem deste a solução seja 67% é a solução da equação 100 a 67 a. A quatidade de ácido adicioado é aproimadamete 41 dl. V 11.1 Sedo V o volume do taque, as toreiras têm caudais 10 e V t ; em simultâeo, V V demoram V / 10 t horas a echer o taque; assim, tem-se 10t h t 10 t horas; para t 10, as duas toreiras têm o mesmo caudal, logo, em simultâeo, demoram metade do tempo que cada uma demoraria isoladamete. 11. lim ht 0 correspode à situação em que o caudal da ª toreira tederia para t 0 ifiito, o que coduziria a um tempo de echimeto a teder para zero, quer se usasse apeas esta toreira t 0 ou as duas em simultâio h t 0 ; Carlos Adrade, Pedro Pimeta e Simoe Azevedo Matemática A 11. o ao Raiz Editora, 019. Todos os direitos reservados.

11 lim ht 10 correspode à situação em que apeas a 1ª toreira está a echer o taque, t já que a ª toreira demoraria um tempo tedecialmete ifiito, ou seja, estaria fechada t,5 horas 1.1 ; 0 1. ; ; ; ; f é cotíua em, (o seu domíio). 1. g é cotíua em \ O gráfico de f tem uma assítota oblíqua de equação y (em e ). 14. O gráfico de g tem uma assítota vertical (bilateral) de equação e uma assítota oblíqua de equação y 6 (em e ). 15. f g é crescete em, e em 0, ; g é decrescete em,0 e em g 100 é o máimo absoluto (também relativo) de g e g relativo de g. 17. f é crescete em, 1 máimo relativo de f e ; g g lim cm e em 1, ; g é decrescete em 1,1 f 1 é um míimo relativo de f. lim 4. Equação da assítota: y 4., ; g 0 19 é um míimo ; f 1 é um Carlos Adrade, Pedro Pimeta e Simoe Azevedo Matemática A 11. o ao Raiz Editora, 019. Todos os direitos reservados.

12 Estatística 1. (II) - r 1 0,86 ; (I) - r 0,9 ; (III) - r 0,89.1. r 0,95. A associação liear é positiva e forte.. Sedo y a classificação, em valores, e o tempo de estudo, em horas, a equação reduzida da reta de míimos quadrados é: y 1, 5, 5. A estimitiva pedida é 11 valores.. Equação reduzida da reta de míimos quadrados: y 5,00 7,056 Estimativa pedida: 18 cm Carlos Adrade, Pedro Pimeta e Simoe Azevedo Matemática A 11. o ao Raiz Editora, 019. Todos os direitos reservados.