EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A (1) Tema IV: funções reais de variável real (tirado de

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1 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A (1) Tema IV: fuções reais de variável real (tirado de 7. A recta t é tagete ao gráfico da fução f o poto A de abcissa. A derivada de f o poto é: (A) 1 (B) (C) ½ (D) /4 (Eame Nacioal ª chamada) 18. Na figura juta está a represetação gráfica de uma fução h e de uma recta t, tagete ao gráfico de h o poto de abcissa a. A recta t passa pela origem do referecial e pelo poto de coordeadas (6,). O valor de h (a) é (A) -1/ (B) 1/6 (C) 1/ (D) 1/ (Eame Nacioal ª chamada) 0. Na figura está parte da represetação gráfica de uma fução g de domíio e cotíua em \{0}. Cosidere a sucessão de termo geral u =1/. Idique o valor de g(u ). (A) + (B) 0 (C) 1 (D) lim (Prova Modelo 1998). Na figura estão represetadas: parte do gráfico de uma fução difereciável em ; uma recta r tagete ao gráfico de f o poto de abcissa O valor de f (), derivada da fução f o poto, pode ser igual a (A) -1 (B) 0 (C) 1/f() (D) 1 (Eame Nacioal 98-1.ª chamada) 45. Na figura está desehada parte da represetação gráfica de uma fução real g, cujo domíio é R \ {1}. A recta de equação = 1 é uma assímptota vertical do gráfico de g. Cosidere a sucessão de termo geral 1 1 e seja u gbg. Qual das afirmações seguites é verdadeira? (A) lim u =- (B) lim u =+ (C) lim u =0 (D) Não eiste lim u (Prova Modelo 1999) y O Na figura está desehada parte da represetação gráfica de uma fução f, cujo domíio é \{}. As rectas de equações =, y=1 e y=0 são assimptotas do gráfico de f. Seja ( ) a sucessão de termo geral =-. Idique o valor de lim f( ). (A) 0 (B) 1 (C) (D) + (Eame Nacioal ª chamada) 1

2 6. Na figura ao lado está represetada graficamete uma fução f, de domíio +. A recta s, que cotém os potos (-,0) e (0,1), é assímptota do gráfico de f. Idique o f() valor de lim (A) (B) 0 (C) ½ (D) 1 (Eame Nacioal ª fase) 75. Na figura está represetada parte do gráfico de uma fução f, de domíio. Qual das seguites afirmações é verdadeira? (A) lim f()=f(4) e 4 lim f()=f(4) (B) lim f()=f(4) e lim f()f(4) (C) lim f()f(4) e 4 lim f()=f(4) (D) lim f()f(4) e 4 4 lim f()f(4) 4 (.ª chamada 000) 11. Cosidere uma fução g, de domíio [0,+[, cotíua em todo o seu domíio. Sabe-se que: O gráfico de g tem uma úica assimptota;. Em qual das alterativas seguites podem estar represetadas, em referecial o.. Oy, parte do gráfico da fução g e, a tracejado, a sua assimptota? 19. Na figura juta está represetada parte do gráfico de uma fução f de domíio R, cotíua em todo o seu domíio. A bissectriz dos quadrates pares e a bissectriz dos quadrates ímpares são assimptotas do gráfico de f. Idique em qual das figuras seguites pode estar represetada parte do gráfico da fução g defiida por g()=f()/ (1.ª chamada 00) (.ª chamada 00)

3 19. Na figura abaio está parte da represetação gráfica de uma fução f, par e positiva, da qual a recta de equação y=0 é assimptota. Qual é o valor de lim 1 f ( )? (A) 0 (B) 1 (C) + (D) - (1.ª fase 004) 147. Cosidere uma fução f, de domíio \{5}, cotíua em todo o seu domíio. Sabe-se que: lim f ( ) = ; lim f ( ) =; lim [ f( ) ] =0. Em cada uma das opções seguites, estão escritas duas equações, represetado cada uma delas uma recta. Em qual das opções as duas rectas assim defiidas são as assimptotas do gráfico da fução f? (A) y= e y= (B) y= e =5 (C) y= e =5 (D) y= e = (1.ª fase 004) De duas fuções, f e g, sabe-se que: o gráfico de f é uma recta, cuja ordeada a origem é igual a ; o gráfico de g é uma hipérbole. Nas figuras seguites estão represetadas parte dessa recta e parte dessa hipérbole. A recta de equação = 1 é assimptota do gráfico de g. Idique o valor de f( ) lim g ( ) 1 (A) 0 (B) (C) + (D) (.ª fase 006) 178. Seja g uma fução de domíio +. Sabe-se que a recta de equação y é assimptota do gráfico de g. Idique o valor de (A) 0 (B) 5 (C) 6 (D) + g ( ) lim ( g ( ) ) 179. Na figura está represetada, em referecial Oy, parte do gráfico de uma fução f, de domíio ],1[, cotíua em todo o seu domíio. Tal como a figura sugere, tem-se: o gráfico de f cotém a origem do referecial; as rectas de equações y 0 e 1 são assimptotas do gráfico de f. Em qual das opções seguites poderá estar represetada, em referecial Oy, parte do gráfico de 1/f? (Itermédio 007) (Itermédio 007) 19. Na figura, está represetada parte do gráfico de uma fução f, real de variável real. Qual das afirmações seguites é verdadeira? (.ª fase 007)

4 19. Na figura, está represetada parte do gráfico de uma fução g, real de variável real. Tal como a figura sugere, a recta de equação 1 é assimptota do gráfico da h ( ) fução g. Seja h : a fução defiida por h ( ) 1. O valor do lim é: (A) (B) + (C) 0 (D) 1 1 g ( ) (.ª fase 007) 00. Na figura está represetada parte do gráfico de uma fução f de domíio [0, [. A recta r, de equação y 1 é assimptota do gráfico de f. Seja h a fução defiida em [0, [ por h. O gráfico de h tem uma assimptota ( ) f( ) horizotal. Qual das equações seguites defie essa assimptota? (A) y 1 (B) y 1 (C) y (D) y (Itermédio 008) 05. Na figura 1, está represetada parte do gráfico de uma fução f de domíio ],[. A recta t, de equação y 1, é assimptota do gráfico de f quado tede para. Qual é o valor do lim ( f( ) 1)? (A) 1 (B) 0 (C) 1 (D) + (1.ª fase 008) 11. Na figura 1 está represetada parte do gráfico de uma fução g, de domíio e cotíua em \{ }. As rectas de equações e y 1 são as úicas assimptotas do gráfico de g. Seja uma sucessão tal que lim g ( ). Qual das epressões seguites pode ( )? ser o termo geral da sucessão ( ) (A) (B) 1 (C) 1 1 (D) 1 1 (.ª fase 008) 1. Na figura está represetada parte do gráfico de uma fução f, de domíio, sedo y 1 a úica assimptota do seu gráfico. Qual é o valor do lim f( )? (A) (B) (C) 1 (D) (.ª fase 008) 16. De uma fução g, de domíio +, sabe-se que: lim g ( ) e 0 lim [ g ( ) ] 0. Em cada uma das alterativas apresetadas abaio, está represetado, em referecial o.. Oy, o gráfico de uma fução e, a tracejado, uma assimptota desse gráfico. Em qual das alterativas pode estar represetado o gráfico de g? 4

5 (Itermédio 009) 17. Para um certo valor de k, é cotíua em a fução f defiida por se a ( ) se a f Qual é o valor de a? (A) (B) (C) (D) (Itermédio 009) 7. Sejam f e g duas fuções, ambas de domíio +. Sabe-se que: lim ( f( ) ) 0 ; a fução g é defiida por g() = f () +. Prove que o gráfico de g ão tem assimptotas oblíquas. (1.ª fase 009). Na figura 1, estão represetadas parte do gráfico de uma fução f, de domíio [, + [, e parte da recta r, que é a úica assimptota do gráfico de f. Qual é o valor de lim f( ) (A) 1 (B) 0 (C) 1 (D)? (.ª fase 009) 9. Na figura, está represetada parte do gráfico de uma fução h, de domíio. Seja (u ) a sucessão de termo geral u h(4 1000). Qual é o valor de lim (u )? (A) (B) 1 (C) (D) (Itermédio 010) 47. Na Figura, está represetada, um referecial o.. Oy, parte do gráfico de uma fução f, cotíua, de domíio ],1[. Tal como a Figura sugere, a recta de equação = 1 é assimptota do gráfico de f. Qual é o valor de lim? (A) (B) (C) 0 (D) + 1 f( ) (1.ª fase 010) 6. Na Figura 1, está represetada, um referecial o.. Oy, parte do gráfico de uma fução g, de domíio ], +[. A recta de equação y = - 4 é assimptota do gráfico de g. Qual das afirmações seguites é verdadeira? (A) lim ( g ( ) 4) 0 (B) lim g ( ) (C) lim ( g ( ) 4) 0 (D) lim ( g ( ) ) 0 5 (1.ª fase 011)

6 E8 Sejam f e g duas fuções deriváveis em. Sabe-se que: f(1) f '(1) 1 g ( ) ( 1) f ( ), para todo o valor real de Qual é a equação reduzida da recta tagete ao gráfico de g o poto de abcissa 1? (A) y = (B) y = + 4 (C) y = 1 (D) y = + (1.ª fase especial 011) E Cosidere uma fução f, de domíio \{}, cotíua em todo o seu domíio. Sabe-se que: lim f( ) 1 lim f( ) lim ( f( ) ) 0 Em qual das opções seguites as equações defiem duas assimptotas do gráfico de f? (A) = e y = 1 (B) = e y = (C) y = e y = 1 (D) y = e y = 1 (época especial 011) 78. Seja f uma fução de domíio +, cotíua em todo o seu domíio. Sabe-se que: 0 lim f( ) a bissetriz dos quadrates ímpares é assítota do gráfico de f Em qual das opções seguites pode estar represetado o gráfico da fução 1 f? (Itermédio 01) 87. Na Figura 1, está represetada, um referecial o.. Oy, parte do gráfico de uma fução f, de domíio ]1, [. Sabe-se que: f(1) = 4 a reta de equação = 1 é assítota do gráfico de f ( ) é uma sucessão com termos em ]1, 1[ lim ( ) =1 Qual é o valor de lim f( )? (A) + (B) 4 (C) 5 (D) 6 (.ª fase 01) 89. Seja f uma fução de domíio. Sabe-se que: lim ( f( ) ) 1 lim f( ) lim f( ) lim f( ) 1 1 Em qual das opções seguites as duas equações defiem assítotas do gráfico da fução f? (A) = 1 e y = + 1 (B) = 1 e y = + 1 (C) y = e y = + 1 (D) y = e y = + 1 (.ª fase 01) 6

7 9. Seja (u ) a sucessão defiida por u 1. De uma certa fução f, sabe-se que lim f( u ). Em qual das seguites opções pode estar represetada parte do gráfico da fução f? (Itermédio 01) E4 Seja f uma fução de domíio. Sabe-se que: lim f( ) 1 lim [ f( ) ] Em qual das opções seguites pode estar represetada parte do gráfico da fução f? (época especial 01) E49 Seja f uma fução de domíio +. A reta de equação y = 5 é assítota do gráfico da fução f. Qual é o 6 1 valor de lim? f( ) (A) 0 (B) (C) (D) + (época especial 01) E54 Seja f uma fução de domíio. Sabe-se que f () = 6. Qual é o valor de? (A) (B) 4 (C) 5 (D) 6 (época especial 015) Soluções (eames): 1. B. A.C 4. D 5. B 6. B 7. D 8. B; D 9. 10; 5m10d; 4,54c/m; 6,99 e 1,0 10. C 11. A 1. ; 901; 0,01loge 1. C 14. C 15. B 16. 0,5 e 4; 7/4; 5,7 17. C 18. D ; y=0; 0 0 ; verd.; 8 0. B 1. C. C. C 4. D 5. C 6. A 7. y=0; 8 e 0, D 9. D 0. D 1.,m; 10m. D. A 4. D 5. D 6. = 7. C 8. D 9. A 40. y= 1; sim; p.if. p/ =1 41. D 4. A 4. A 44. 9,1 45. A 46. C 47. D 48. D 49. 1h0mi 50. B 51. D 5. C 5. B 55. B 56. D 57. A 58. C 59., km/s 60. C 61. D 6. C 6. A 64. Sim 65. A 66. C 67. C 68. A 69. 1,5 70. D 71. A 7. B 7. y=; p.i. em = 4 e = B 76. A 77. B 78. B 79. mí em =; =; =1 e y=0 80. C 81. B 8. D 8. 76; 5,8 84. B 85. C 86. D 87. f cresc. e y=5 ass. hor. 88. C 89. D 90. A 91. C 9. =0; mi para =/;, 9. D 94. A 95. B 96. B 97. ; 0,8 99. C 100. D 101. A 10. B 10.1,1; h8m 105. B 106. B 107. C 108. B ,05; h19m; Carlos,Aa 110.C 111. A 11. B C 116. B 117. A A 11. D 1. B 1. D 14. 0,8; 1H4 16. C 17. D 18. B 19. A 10. 5,4; dec [0,5] e cresc [5,10] 11. 1, 1. C 1. B 14. A 15. 9,8; B 17. C 18. B 19. C C 14. B 14. A 144. y=+e; y=0; 0,15 e, D 147. A 148. C ; 7, ½ ; 1/e 151. D 15. D 15. C ,97;, B 156. A 157. B 158.A 159. D 160.,4 e 4, =0 e y=0 16. d 164. A 165. C 166. C 167. C /e 170.,7; 0, A 17. A 17. C 174. =1; 10/ 176. B 177. B 178. C 179. B 180. é cotíua e 0, , 184. D 185. D 186. C 187. B 188., ,0; I decresc.; assimp. y= A 191. C 19. D 19. C ,6 e 4, e 196. (e,0) e ( e,0); f ão tem etremos 197. C h,dia 199. C 00. D 01. A 0. 19; /; 1, 04. D 05. B 06. C 07. 1, e 000; 59 ou A 11. B 1. B 1. 0, 1 e 14. 4h9mi 15. A 16. D 17. A 18. ]1,5][9,1[ 19.,8 e 0,1; 0,5 0. =1 e y=; 5,08. A. B 4. y=4+1; 5. É; 0,4 6. C 8. (0,;0,6) 9. [5/,[ 0. 0; 1h0 1. B. C. D 4. É cot; y=0 5.,47; 6,05 7

8 6. D 7. C 8. A 9. B 40. Não; y=+1; 0,7 e, ; 10, 4. D 4. C 44. A 45. y=; ; 1/ e 1/ 46. A 47. C 48. A 49. h , A 5. D 54. C 55. Não há; para =5; 0,4 56. y= +1/e 57. C 58. ]0,] ; k=l(p) 60. D 61. C 6. C 6. B 64. D 65. 1h0 66. (5e/,0);( 1,1; 1,41) e (1,;1,80) 67. III 68. D 69. 9; Não há; crescete 71. A 7. B 7. D 74. ]8,9]; ; 0, B 78. D 79. A 80. 4,14; 81. é 8. B 8. A 84. C 85., 86. y=+1; y=e +e 87. A 88. D 89. B 90. 9, D 9. C 9. A 94. ; y= ;, ,5; 96. B 97. D 98. D 00. D 01. B 0. Não tem; mi=1 e ma=1; 0,1 e 0,61 e 1,56 e,5 0. IV 05. A 06. D 07. B 08. A 09. l(+10) 10.,9 11. A 1. B 1. B 14. y=+; =0 e y=; 0, h de.ªf; 0, C 17. B 18. B 19. Não; l 0. 6,71 1. D. A. =0 e y= 1; e 4. 9,5 5. FVF 6. B 7. A 8. 4,19; 5 9. Não tem; (1,0);,41 0. D 1. A. y=1 e y=0; ],0[]l,]; y=/4 l4 4. B 5. D 6. e; e 1 7. =1 e =1 8. B 9. A 40. 6; 600/ E1. C E. D E. A E4. B E5. 9,7; 15 E7. B E8. D E9. A E10. =1 e y=0; decrescete; 0,7 E11. A E1. D E1. y= e /4 +e ;,6 E14. 0 E15. 7 e 5; 9 8 E16. D E17. B E18. 4 E19. y=1 E0. 1; E1. C E. B E. A E5. cot. esq.; ],4[ E6. B E7.D E8. A E9. 6, E0. 0; y= E1.,47 E. C E. D E4. 0,18 E5. E6. A E7. D E8. C E9. 0 E40. I E41. 0,48 E4. D E4. A E44. B E45. e / E47. D E48. A E49. C E50. e 1/ ; 5,41 E51. FFV E5. C E5. C E54. A E E56. y=0; 0 e ;,9 E57. C E58. D E59. 50; 80 (tirado de (esio profissioal) 1. O úmero de espetadores de um cocerto musical uma sala foi dado, t miutos após o iício das 1 horas, pela fução defiida por pt ( ) 0, 5t 10t 1000, t [0,60] 1.1. Calcule p(0) p (0) Iterprete o o coteto do problema. 1.. Calcule a taa média de variação de p o itervalo [0, 60] Iterprete a o coteto do problema. 1.. Calcule a taa de variação de p em t 0 e em t 50 Iterprete a o coteto do problema.. No referecial da figura está o gráfico de uma fução f.1. Em qual das opções seguites pode estar o valor da taa média de variação da fução f o itervalo [,5]? (I) 8 5 Justifique a resposta. (II) 0 (III) 4 y 1 8 A r B.. Tal como sugere a figura, a reta r passa os potos A(1,1) e B(5,8) Determie o seu declive. O f Cosidere o gráfico da fução f represetado a figura a seguir um referecial cartesiao. Idique, justificado, as proposições falsas: y f 1.1. f '(1) 0, 1.. f '() f '(4) 1.4. f '(4, 5) f '(4) O 1 4 4,5 8

9 . Uma reta r é tagete ao gráfico de uma fução g o poto de abcissa Sabedo que r passa os potos A(0,) e B(,8), determie g '( ). Numa uidade de turismo de habitação, houve ecessidade de despejar o reservatório cilídrico para se proceder a uma reparação. Admita que a água do reservatório cilídrico foi sedo retirada até ficar vazio e a altura h, em metros, da água que restava o reservatório cilídrico, t horas após ter sido começada a ser retirada, foi dada por: ht () 5 4 t 10 Calcule e iterprete a taa de variação da fução h para t = 0 e t = 1 Apresete os resultados arredodados às cetésimas. (Adaptado do Eame Nacioal de Matemática B de ª fase) 4. Quado se produzem quilogramas de um determiado produto, obtêm se os custos de fabrico dados, em milhares de euros, pela fução defiida por: C ( ) Escreva a epressão da fução derivada de C 4.. Determie a taa de variação da fução C em = 6 Iterprete este resultado o coteto do problema. 1. Cosidere o gráfico da fução f, de domíio, represetado a figura ao lado um referecial cartesiao Qual pode ser o valor de f '(1)? (A) 5 (B),1 (C) 0 (D) 1,4 y f 1.. Quais podem ser os valores de para os quais f '( ) 0? (A) e 4 (B) 1 e 5 (C) 1; e 4 (D) 1; e 5 O Em qual dos cojutos seguites se pode ter f '( ) 0? (A) ] 1, 5[ (B) ], 4[ (C) ] 0, [ (D) ],[ ] 4, [, defiida por g ( ), pode se cocluir que: (A) g'( ) 9 (B) g'( ) 9 (C) g'( ) ( ) ( ) 9 (D). Dada a fução, de domíio \ g'( ) 9 5. Supoha que, meses após o iício de 014, os lucros de uma empresa que fabrica sapatos foram dados, em milhares de euros, pela fução defiida por L () , [ 0,1] Calcule e iterprete o coteto do problema: 5.1. A taa média de variação de L o itervalo [, 6] 5.. A taa de variação de L em = 6 9 O professor: Roberto Oliveira