Les 201 Matemática Aplicada à Economia. Relações entre CMg e CMe. Aulas Relações entre CMg e CMe. dct. dcme. CMe = = = =

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1 Les 0 Matemática Aplicada à Ecoomia Aulas -4 Derivadas Aplicação em Ecoomia Derivadas de Ordem Superiores Derivadas Parciais Determiate Jacobiao 9 e 0/09/06 Aplicações da a. Derivada em Ecoomia Dada a fução primitiva: y f(x), que represeta a fução total y f (x) a fução derivada é sua fução margial CT C( x) dct CMg CT CMe x CMeMg d Relações etre CMg e CMe Seja: C f() etão C( ) CMe ual a taxa de variação do CMe quado a varia? dcme? Regra do uociete d C'( ). C( ). ' C'( ). C( ). C( ) C '( ) Portato: [ CMg CMe] d [ CMg CMe] CMg > CMe CMg < CMe CMg CMe Relações etre CMg e CMe ( CMg CMe) d d d d Cosidere >0 > 0 CMe é < 0 CMe é 0 C T Relações etre Receita Média e Receita Margial 60 CMg CMe + 60 R (x) px x úmero de uidades vedidas p preço uitário Caso : MERCADOS NÃO CONCORRENCIAIS (oligopólios, moopólios): preço está relacioado com a quatidade x vedida 6 p f(x) (fução demada) A fução receita é dada por: R(x) px f(x)x OBS: a fução Receita é sempre POSITIVA

2 Receita Média Dada a fução receita total R(x), a fução receita média (receita por uidade) é defiida como: R( x) x. f ( x) RMe f ( x) p x x A curva da Receita Média e da Demada são idêticas RT: sempre positiva Ela pode aumetar ou dimiuir à medida que x aumeta Portato, a RMg pode ser positiva ou egativa Ex: Cosidere a fução demada: 5 p( q) q 4 Receita total R T 5 5 p( q). q ( q) q q q 4 4 RMg d( RT ) 5 RMg d( q q ) dq RMg q q 4 RT 5 R( q) q q 4 Receita Margial e Receita Média Dada a Receita Média: RMe 5, determie a Receita Margial (RMg) Rme RMg Geericamete RMe f ( ) R T f ( ). RMe dr T RMg f '( ). + f ( ). d RMg f '( ). + RMe RMg RMe f '( ). icliação Nível Curva RME Produção Relações etre P,Rme,RMg Caso : Cocorrêcia Perfeita Preço é costate: dado o mercado O produtor exerga sua curva de demada uma reta horizotal Receita Total R P. T RT P RMe P Receita Margial drt RMg d( P. ) d dp d RMg + P. 0 + P P d d

3 Relações etre P,Rme,RMg Sob cocorrêcia imperfeita Preço é fução da quatidade: Pf() RMe é fução decrescete da quatidade RMg RMe f '( ). < 0 RMg < RMe P icliação RMe Fução Lucro π (x) R(x) C(x) Fução Lucro Margial: mede a taxa de variação de π quado x varia de uma uidade Ex: Supoha que: C(x) 00x R(x) -0,00x + 400x a)ual a fução lucro? b) ual a fução lucro margial? c) ual o Lucro Mg para x 000? Fução Lucro a) π (x) R(x) C(x) (-0,00x +400x)-(00x+0000) π(x)-0,00x +00x-0000 b) ual a fução lucro margial? π (x)-0,004x +00 c) ual o Lucro Mg para x 000? π (000)-0,004(000) Iterpretação: Lucro adicioal com a veda da 00 uidade A derivada f de uma fução f também é uma fução. Portato, sua derivada pode também ser cosiderada Cotiuado o processo, podemos calcular a a. derivada, a a. derivada e demais derivadas de ordem superior (sempre que as mesmas existirem) Notações: f (x); f (x); f (x),, f (x) ou D f(x); D f(x); D f(x);, D f(x) ou dy d y d y ; ;... d y y f(x) a. Derivada y f (x) Fução primitiva Taxa de variação da FUNÇÃO PRIMITIVA quado x varia a. Derivada y f (x) dy d y Taxa de variação da a. DERIVADA quado x varia

4 y f(x) Fução primitiva d y a. Derivada y f (x) Ex: Determie a derivada de ordem da fução defiida por y x / Taxa de variação da a. DERIVADA quado x varia Eésima Derivada f (x) d y Taxa de variação da (-) DERIVADA quado x varia Ex: O IPC de uma ecoomia é dado pela fução: IPC(t) -0, t + t + 00 (0 t 9), ode t correspode ao iício de 998. Calcule IPC (6) e IPC (6). Iterprete os resultados Regra da Cadeia Aplicação em Ecoomia - Dada uma fução z f(y) - Por sua vez, y é fução de outra variável x: y g(x) etão a derivada de z com respeito a x é igual a derivada de z com respeito a y multiplicada pela derivada de y com respeito a x. z f ( y) y g(x) z f ( g( x)) dz dz dy f '( y). g'( x) dy Regra da Cadeia: ituição zf(y) e yg(x) Δx vai haver Δ y dado pela fução g(x) Δy irá provocar Δ z através da fução f(y) Reação em cadeia: Δx Δy Δz Via g(x) Extesão da regra da cadeia para três ou mais fuções: z f(y) y g(x) x h(w) dz/dw? dz dw Via f(y) dz dy f ( y). g ( x). h ( w) dy dw Regra da Cadeia - Exemplos Dada a fução Receita Total de uma firma R f(), ode o ível de produção é fução do isumo trabalho L, ou seja, g(l) Achar a variação da Receita por variação da uidade de trabalho, ou seja, dr dl dr dl dr d f '( ) g'( L) d dl dr dr d dl d dl Re Mg ceita do Trabalho Re Mg ceitap do roduto Trabalho 4

5 Difereciação Parcial Até agora: derivadas de fuções de uma úica variável idepedete Aálise estática comparativa: fuções com mais de uma variável Dada uma fução y f (x, x,, x ), ode todas as variáveis x são idepedetes (podem variar sem afetar as demais). Se a variável x sofre a variação Δ x, equato as demais permaecem ialteradas, ocorre variação em y Δ y Derivadas Parciais O quociete diferecial será: Δy Δx f ( x + Δx, x,..., x) f ( x, x Δx A derivada parcial de y com respeito a x f Δy lim f Δx Δx 0 f f,..., x ) Exemplos Achar as derivadas parciais a) y f ( x, x) x + xx + 4x Achar as derivadas parciais c) (u v) y u + v b) y f(u,v) (u + 4)(u + v) Derivadas parciais: Aplicação e Ecoomia Dada uma fução de produção: f(k, L), ode: quatidade produzida; K capital; L trabalho Derivadas parciais: Taxa de variação da quatidade produzida com respeito à variações ifiitesimais K quado o outro isumo(trabalho) é matido costate Produto Margial da uatidade o capital, Derivadas Parciais - Iterpretação Geométrica Derivada Parcial: é a medida da taxa de variação ifiitesimal (istatâea) de alguma curva específica Icliação de alguma curva específica L Taxa de variação da quatidade produzida com respeito à variações ifiitesimais o trabalho, quado o outro isumo(capital) é matido costate Produto Margial do Trabalho 5

6 Derivadas parciais: Aplicação e Ecoomia Aálise Estática Comparativa Derivadas Parciais Testar Depedêcia Liear ou ão liear em sistemas de equações e icógitas Determiate Jacobiao Determiate Jacobiao É utilizado para verificar a existêcia de depedêcia fucioal em cojuto de equações com variáveis (ão ecessariamete lieares) Possui como elemetos derivadas parciais de a. Ordem Dado o sistema: y f (x,x,x,...,x ) y f (x,x,x,...,x )... y f (x,x,x,...,x ), Ode f deota a eésima equação, podemos derivar um total de derivadas parciais, formado o Determiate Jacobiao J Determiate Jacobiao Determiate Jacobiao Ex: y x + x J y 4x + x x + 9x Se J 0, as equações tem depedêcia fucioal Exercicios Chiag 7.4 Dada a fução de produção abaixo, calcule as fuções Produto Margial do Capital e Produto Margial do Trabalho 0, 96K L 0,7 Exercicios Chiag 7.4 A fução utilidade de um idivíduo assume a seguite forma: U U( x, x) ( x + ) ( x + ) Ode U Utilidade Total e x e x são as quatidades das duas mercadorias cosumidas. a) Ecotre a fução utilidade margial de cada mercadoria b) Calcule o valor da utilidade margial de x quado são cosumidas uidades de cada mercadoria. 6