ELECTROMAGNETISMO E ÓPTICA

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1 ELECTROMAGNETISMO E ÓPTICA NOTAS DE CURSO Prof. Resposável: Mário J. Piheiro Istituto Superior Técico 008 1

2 O electromagetismo estuda o efeito das cargas eléctricas em repouso ou em movimeto. Eistem dois tipos de cargas, positivas e egativas, e ambas são a fote do campo eléctrico. Cargas em movimeto criam campos magéticos. Etede-se por campo uma distribuição espacial de uma dada quatidade física. Um campo pode ter uma depedêcia temporal ou ão. Algumas quatidades em electromagetismo são escalares (e: carga eléctrica, correte eléctrica, eergia, temperatura, desidade,...), equato que outras são vectoriais (e: campo eléctrico, campo magético, vector de Potig, velocidade,...). Uma gradeza escalar é defiida por apeas um valor umérico associado a uma uidade de medida. Por eemplo, podemos especificar que um dado poto do espaço e do tempo a carga eléctrica é de 1 μc, ou -1 μc. Uma gradeza vectorial é um objecto geométrico que possui uma magitude e direcção. Um vector é habitualmete represetado por um segmeto de recta que ue o poto iicial A ao poto fial B e é deotado AB. Neste curso 1 desigaremos um escalar fução do poto por U(P) e um vector fução do poto por α. 1. Itrodução matemática As quatidades físicas que ecotramos o electromagetismo depedem da posição e do tempo. Em geral, os campos escalares e vectoriais são fuções de 4 variáveis (t,u 1,u,u 3 ). O valor do campo poderá variar quado uma das variáveis adquirir um valor diferete. Veremos em seguida qual o método a seguir para determiar a taa de variação uma dada direcção de uma fução escalar um dado istate temporal. Por estes motivos, será ecessário estabelecermos o aparato matemático que os possa ajudar a compreeder o comportameto dos campos vectoriais a 3 dimesões e a caracterizar a sua taa de variação com o auílio das derivadas e operadores difereciais, objecto deste capítulo.. Supohamos que temos uma dada fução f(). Quado o argumeto varia de uma quatidade ifiitesimal d, a fução varia de uma quatidade ifiitesimal df: df df = d (1) d df é o diferecial de f, assim como d é o diferecial de. A derivada é o factor de proporcioalidade e geometricamete df/d represeta o declive do gráfico de f em fução de. Se a uma variável se der o acréscimo D de o seu domíio, a partir do valor fio, porém arbitrário =0, a fução =f() será sujeita a um acréscimo D=Df()=f(D)- f(). O quociete Df/D represeta a taa média da variação de =f() em relação a. A derivada de uma fução =f() em relação a defie-se por d f( ) f() = f'() = ' = lim = lim () d Estas otas de curso foram ispiradas em otas origiais redigidas pelo Prof. Jorge Loureiro.

3 Eemplo 1: Seja =-3 e sejam P() e Q(D,D) dois potos da curva. Achar o coeficiete agular da secate PQ. Repare que ) ( ) ( ) ( = = = = = Fig. 1 Secate.. Derivada dirigida Cosidere duas superfícies equipoteciais V 1 e V 1 dv. Para uma mesma variação dv em V, a taa de variação, dv/dl, é maior ao logo de d porque d apota a meor distâcia etre as duas superfícies. Como a magitude de dv/dl depede da direcção dl, dv/dl represeta a derivada dirigida. QN#1 P(,) Q(D,D) D D 3

4 Fig. Duas superfícies equipoteciais. O vector que represeta a magitude e a direcção da taa máima de variação espacial de um escalar chama-se gradiete do escalar e defie-se pela epressão: dv gradv u d 3. Derivada parcial: Seja z=f(,) uma fução das variáveis idepedetes e. a derivada parcial de f em ordem a é dada por QN# 4. Diferecial total A diferecial total, dz, é a soma das difereciais parciais: z z dz = d d Eemplo : a potêcia cosumida uma resistêcia eléctrica é dada por P=V/R. Se V=00 V e R=8 Ω, qual o valor da variação da potêcia se V é dimiuído de 5 Volts e R dimiuído de 0, Ω? QN# 4

5 5. Itegral defiido. Itegral de liha. Teorema fudametal do cálculo itegral Sejam F() e a sua derivada F ()=f() fuções uívocas e cotíuas defiidas o itervalo a b. Dividamos o itervalo em subitervalos de comprimeto D 1, D,, D, iserido-se os -1 potos ξ 1, ξ, ξ -1, sedo a < ξ 1 < ξ..< ξ -1 <b, e seja a=ξ 0 e b=ξ. O poto 1 ecotra-se o subitervalo (ξ,ξ 1 ), em (ξ 1,ξ ). em (ξ -1,ξ ). Façamos o somatório seguite: S = = 1 f( ) f( ) 1 1 f( ) Fazedo teder para ifiito (a prática, aumetado em grade úmero), tem-se 0, e o limite este somatório idetifica-se com o itegral de liha lim = 1 f( ) b a f()d = F() b a... f( ) = F(b) F(a) A fução f() chama-se itegrate,a e b são os limites iferior e superior de itegração. O itegral é iterpretado geometricamete como sedo uma área plaa. 6. Itegral de liha O itegral de liha é um itegral cuja fução a ser itegrada é avaliada ao logo de uma curva γ. Essa fução pode ser um campo escalar ou um campo vectorial. O valor do itegral de liha é a soma dos valores co campo em todos os potos da curva, devidamete poderados com alguma fução escalar sobre a curva. É esta poderação que distigue o itegral de liha do itegral simples defiido sobre itervalos. Um eemplo já cohecido de itegral de liha é o itegral que determia o trabalho realizado por uma força ao logo de uma dada curva γ: W = γ F ds Eemplo: Calcule o itegral de liha da fução v = u ( 1) u do poto a = ( 11,, 0) ao poto b = (,, 0), ao logo do campiho (1) e () da Fig. Qual é o valor de v dl para o camiho fechado de a para b ao logo de (1) e retora a a ao logo de ()? 5

6 Como sempre dl = du du dzu. O percurso (1) cosiste em dois troços. Ao logo da horizotal tem-se d=dz=0. dode resulta QN#3 z 7. Itegral de circulação Por vezes, o itegral de liha é efectuado ao logo de uma curva fechada γ e, esse caso, represeta-se por um símbolo apropriado, escrevedo-se γ γ α ds 6

7 Fig. 3 Camiho fechado traçado sobre um campo vectorial (represeato por flechas). A Fig. 3 mostra um campo vectorial represetado por meio de pequeas flechas e uma curva fechada (traçada a cor verde). 8. Itegral de superfície Um itegral de superfície é um itegral defiido tomado sobre uma superfície (que pode ser curva o espaço). É um itegral duplo, costruído de forma aáloga ao do itegral de liha. Veremos eemplos ao logo do curso. 9. Itegral de volume É um itegral triplo de uma fução: f(,,z)dv = lim = V 0 f(,,z )dv Estes dois últimos tipos de itegrais serão vistos ao logo do curso. 10. Operadores difereciais: 10.1 Operador gradiete Seja U um campo escalar difereciável e dp o vector deslocameto elemetar do poto P do espaço ode o campo escalar tem o valor U(P) até ao poto (P dp ) ode ele adquire o valor U(P dp ). O diferecial du é dado por QN# Sigificado físico i) direcção QN#5 7

8 ii) Setido QN#6 O gradiete é um operador que uma vez aplicado a um escalar U um poto, o trasforma um vector que goza das seguites propriedades: É um vector perpedicular à equipotecial U=Cost. que passa pelo poto P; É dirigido o setido dos poteciais crescetes. iii) Módulo QN#7 10. Epressão em coordeadas cartesiaas As coordeadas cilídricas e esféricas serão tratadas em aulas práticas. Usado o desevolvimeto em série de Talor, podemos escrever QN#8 8

9 10..3 Problemas de aplicação 11. Campo coservativo Um campo α é coservativo se eistir um escalar U tal que : α = grad U 11.1 codições ecessárias e suficietes QN#9 9

10 Problema de aplicação QN#10 1