4. Forças Distribuídas: Centróides de Centros de Gravidade
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- Milton Brás Neiva
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1 4. Forças Distribuídas: Cetróides de Cetros de Gravidade 4.1 Geeralidades A atracção da Terra sobre um determiado corpo é costituída por um sistema de forças distribuídas aplicadas em cada partícula do corpo. Cosiderado tratar-se de um corpo rígido, a acção gravítica pode ser substituída pela acção da sua resultate o peso P do corpo, aplicada o cetro de gravidade do corpo. Exemplos de cargas (acções) gravíticas em edifícios.
2 O mesmo se passa com outras forças distribuídas como, por exemplo, a acção do veto sobre uma superfície, a acção da pressão hidrostática sobre superfícies submersas, etc.. Acção do veto (pressão). Acção da pressão hidrostática. Substituição pela resultate.
3 Outras acções (uiformemete) distribuídas.
4 4.2 Cetro de Gravidade e Cetróide de Corpo Bidimesioal Cetro de Gravidade Cosidere-se o caso restrito de superfícies plaas ( placas ) ou de lihas ( arames ) o plao. o caso duma placa, subdividido-a em pequeos elemetos cuja posição é descrita por (x i, y i ) e cujo peso é dado por ΔP i, o peso total P da placa é: P Δ = i = 1 P i O poto de aplicação da resultate ( peso ) pode ser determiado igualado os mometos produzidos por ambos os sistemas de forças (distribuídas e cocetrada) relativamete aos eixos ordeados x e y do plao da placa, ou seja: M y = s P x Δ P x i i = i = 1 M x = s P y Δ P y i i = i = 1 o limite, decompodo a placa em elemetos ifiitesimais, terse-ia: e em que ( y ) P = dp P y = ydp P x = xdp x, descrevem as coordeadas do cetro de gravidade da placa.
5 As equações ateriores podem ser geeralizadas a um arame (este caso o domíio de itegração é a liha que descreve o arame). Cetróide Tratado-se duma placa delgada homogéea com espessura uiforme t, tem-se: ΔP = tδa γ pelo que i i P i = 1 = ΔP taγ em que as equações ateriores que permitiam a determiação do cetro de gravidade degeeram em: i = M y = s Ax Δ A x i i = i = 1 M y = s Ay Δ A y i i = i = 1 este caso, o poto de coordeadas ( y ) x, é desigado por cetróide da placa. Estes resultados podem ser geeralizados a placas decompostas em elemetos ifiitesimais. e A = da A y = yda A x = xda o caso da placa ão ser homogéea o cetróide deixa de coicidir com o cetro de gravidade.
6 As equações ateriores defiem os chamados mometos estáticos (ou mometos de primeira ordem) da superfície relativamete aos eixos ordeados. Estes são refereciados por S x e S y e determiam-se através de: S x = Ay = yda S y Ax = = xda Das equações ateriores se coclui que as coordeadas do cetróide duma superfície podem ser determiadas dividido os mometos estáticos relativamete aos eixos ordeados pela área da superfície. Como cosequêcia, se o cetróide duma superfície se situa sobre um determiado eixo, é ulo o seu mometo estático relativamete ao mesmo eixo. De igual forma se coclui que se o mometo estático relativamete a um determiado eixo é ulo, etão o cetróide da superfície situa-se sobre o eixo. As coclusões ateriores podem ser geeralizadas para o caso de lihas o plao (arames). Simetria Simetria relativamete a eixo. Quado uma superfície é simétrica relativamete a um eixo, o seu mometo estático relativamete ao eixo é ulo e o seu cetróide situa-se sobre o eixo.
7 Caso a superfície apresete dois eixos de simetria, o cetróide situa-se o poto de itersecção destes eixos. Simetria relativamete a poto. Quado uma superfície é simétrica relativamete a um poto, o seu cetróide situa-se esse poto.
8 4.3 Determiação de Cetróides por Itegração Quado se trate da determiação do cetróide de uma superfície delimitada por curvas cujas expressões aalíticas são cohecidas, tora-se possível proceder à itegração com vista à determiação dos mometos estáticos e da área. A itegração pode ser realizada por três processos diferetes: Itegração dupla em coordeadas cartesiaas Ex: triâgulo rectâgulo da = dxdy S y H = xda = xdxdy Ω B 0 By / H y = H A = da = dxdy Ω H B 0 By / H x = B x = S y A Itegração dupla em coordeadas polares Ex: quarto de círculo da = rdrdθ S y = xda = Ω π / 2 R 0 0 ( r cosθ ) rdrdθ A = da = Ω π / 2 R 0 0 rdrdθ R x = B Sy x = A
9 Itegração simples cosiderado o método das fatias (ou das faixas) H dy x = g( y ) S y = xelda = Ω H 0 g( y ) / 2 A = da = g( y )dy Ω H 0 ( g( y ) dy ) x el = g( y )/ 2 x = Sy A Exercício: determiar a posição do cetróide sob um arco parabólico pelo método das faixas. o caso de uma liha, a posição do cetróide pode aida ser determiada por itegração através de S y = xdl Ω L = dl Ω x = Sy L Cuja itegração pode ser realizada idistitamete em coordeadas cartesiaas ou polares 2 dl = dx + dy 2 2 dl = dr + ( rdθ ) 2 que podem ser explicitados em termos da variável cosiderada como idepedete (em relação à qual a itegração é realizada) dl = 2 dy 1 + dx dx dl = 2 dx dy + 1dy dl = 1 + r 2 2 dθ dr dr dl = dr dθ 2 + r 2 dθ
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11 4.4 Placas e Arames Compostos Uma forma eficiete de determiar a posição do cetro de gravidade (ou do cetróide) duma superfície cosiste em decompor esta em formas simples (triâgulos, círculos, rectâgulos, etc.) cujas características (área e cetróide ou cetro de gravidade) sejam previamete cohecidas. Com efeito, S y = Ax = xda = xda + xda xda = A1 x1 + A2 x2 +..A Ω Ω1 Ω 2 Ω x pelo que x A x A x = 1 = 1 = = A A o mesmo se passado com a determiação de y, ou seja = 1 y A y A y = 1 = 1 = = A A = 1 As equações ateriores são extesíveis, com as devidas adaptações à determiação do cetróide de curvas compostas. x L x L x = 1 = 1 = = L L = 1 y L y L y = 1 = 1 = = L L = 1 Para a determiação das áreas (ou comprimetos) e posições dos cetróides dos elemetos que compõe a superfície (ou liha) deverão cosultar-se Tabelas (por exemplo, as tabelas do Beer&Johsto, 7ª Edição, Figs. 5.8A e B, ateriormete apresetadas).
12 4.5 Teoremas de Pappus-Guldius Defiições: Superfície de revolução superfície gerada pela rotação duma curva plaa (curva geratriz) em toro dum eixo fixo (eixo de revolução) Exemplos Superfície esférica Superfície cóica Superfície de toro Corpo de revolução corpo gerado pela rotação duma superfície plaa (superfície geratriz) em toro dum eixo fixo (eixo de revolução) Exemplos Esfera Coe Toro
13 Teorema I. A área duma superfície de revolução é igual ao produto do comprimeto da curva geratriz pelo camiho percorrido pelo cetróide da curva durate o movimeto de rotação que gera a superfície. Demostração: cosiderado a superfície da gerada por um segmeto dl da curva geratriz da = 2π z dl Cosiderado agora a totalidade da superfície de revolução A = da = 2π z dl = 2πSy = 2π z L ota: a curva geratriz ão pode itersectar o eixo (geraria área egativa) Aplicações: Determiar a área duma superfície de revolução cohecida a posição do cetróide da curva geratriz; Determiar a posição do cetróide, cohecida a área da superfície de revolução.
14 Teorema II. O volume de um corpo de revolução é igual ao produto da área da superfície geratriz pelo camiho percorrido pelo cetróide da superfície durate o movimeto de rotação que gera o corpo. Demostração: cosiderado o volume dv gerado por um elemeto da da superfície geratriz dv = 2π z da Cosiderado agora a totalidade do volume de revolução V = dv = 2π z da = 2π Sy = 2π z A ota: a superfície geratriz ão pode itersectar o eixo (geraria volume egativo) Aplicações: Determiar o volume dum corpo de revolução, cohecidas a área e a posição do cetróide da superfície geratriz; Determiar a posição do cetróide da superfície geratriz, cohecido o volume do corpo de revolução.
15 ota fial: Ambos os teoremas (I e II) são aplicáveis superfícies/volumes de revolução icompletos (com rotação 0<θ<2π em toro do eixo geratriz). Exercício extraído de Egieerig Mechaics: Statics. RILEY, William F.; STURGES, Leroy. Joh Wiley ad Sos, 1996
16 4.6 Cargas Distribuídas em Vigas As vigas estão habitualmete sujeitas a cargas distribuídas p(x) devidas ao peso próprio, ao peso dos restates elemetos estruturais e ão estruturais, à acção do veto, etc.. Podemos, para efeito do equilíbrio global, substituir a carga distribuída pela sua resultate aplicada a sua liha de acção. Resultate R L L = dr = f x= 0 x= 0 ( x) dx = A Liha de Acção (igualado mometos relativamete a O) R L L ( x) dx = x R d A MO = x dr = x f C = x= 0 x= 0
17 Coclusão: uma carga distribuída actuate uma viga pode ser substituída por uma carga cocetrada; a itesidade desta carga úica é igual à área da superfície sob a curva de carregameto e a sua liha de acção passa pelo cetróide do carregameto Exemplos: carga uiformemete distribuída (rectagular), carga liear (triagular ou trapezoidal). Exercícios: Determie os valores das resultates (e localização) para os seguites carregametos distribuídos sobre vigas. Exercício extraído de Egieerig Mechaics: Statics. RILEY, William F.; STURGES, Leroy. Joh Wiley ad Sos, 1996
18 4.6 Cetro de Gravidade de Corpo Tridimesioal Cosidere-se o caso restrito de volumes ( corpos ) tridimesioais. Subdivida-se r o corpo em pequeos corpos elemetares cujo peso r r é ΔW = ΔW e 3 e cuja posição é descrita por. Pretede-se que o sistema de forças (pesos) distribuídos seja estaticamete equivalete a uma força úica resultate W e r 3, aplicada o cetro de gravidade G ( x, y, z) do corpo. Cosiderado elemetos de volume ifiitesimais, a codição aterior implica: Igualdade da resultate W = dw Igualdade do mometo resultate (relativamete a O, por exemplo) r R r r r r M W e = dw e O ( ) ( = G 3 3 )
19 Do último cojuto de equações se coclui: x W = x dw W y = y dw z W = z dw que defiem as coordeadas do cetro de gravidade do cetro de gravidade do corpo. Caso se trate dum corpo homogéeo com um peso específico γ, tem-se: e dw W = γ dv = γ V pelo que reformulado as equações ateriores se obtém x V = x dv V y = y dv z V = z dv equações que defiem a posição do cetróide, coicidete com o cetro de gravidade quado se trate dum corpo homogéeo. De igual forma as equações ateriores defiem os mometos estáticos (ou mometos de primeira ordem) relativamete aos plaos coordeados. SIMETRIA Simetria relativamete um plao. Quado volume é simétrico relativamete a um plao, o seu mometo estático relativamete ao plao é ulo e o seu cetróide situa-se o plao de simetria. Caso o volume apresete dois plaos de simetria, o cetróide situa-se a recta defiida pela itersecção destes plaos.
20 Caso o volume apresete três plaos de simetria que se itersectam um poto, o cetróide situa-se esse poto. DETERMIAÇÃO DE CETRÓIDES POR ITEGRAÇÃO Quado se trate da determiação do cetróide de um volume delimitado por curvas cujas expressões aalíticas são cohecidas, tora-se possível proceder à itegração com vista à determiação dos mometos estáticos relativamete aos plaos coordeados, assim como do seu volume. A itegração pode ser realizada por dois processos diferetes: Itegração tripla em coordeadas cartesiaas Itegração simples através do método das fatias (faixas). Cosiderado um volume de revolução obtido em toro do eixo y
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