MATEMÁTICA. Determine o conjunto-solução da equação sen 3 x + cos 3 x =1 sen 2 x cos 2 x. Resolução: Fatorando a equação dada:

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1 MATEMÁTICA 0000 Questão 0 Determie o cojuto-solução da equação se x + cos x = se x cos x Fatorado a equação dada: se x + cos x= se x cos x ( sex + cos x)( se x sexcos x+ cos x) = ( sexcos x) ( x x)( x x) ( x x)( x x) ( sexcos x)( sex+ cos x sexcos x) = 0 se + cos se cos + se cos se cos = 0 i) sexcosx = 0 sexcos x = sexcos x = sex = S = ii)sex+ cosx sexcosx = 0 ( sex+ cos x) = ( + sexcos x) se x+ sexcos x + cos x= + sexcos x+ se xcos x se x cos x = 0 sex = 0 ou cos x= 0 kπ x= 0 +, k Z Elimiado as raízes estrahas que foram itroduzidas quado elevamos ao quadrado os dois membros da equação chegaremos em: π S = { x π x= 0+ kπ ou x = + kπ, k π} De i e ii vem: π S = S S = x x= 0+ kπ ou x= + kπ, k

2 Questão 0 Ecotre o poliômio P (x) tal que Q (x) + = (x ) P (x) e Q (x) + é divisível por x 4, ode Q (x) é um poliômio do 6 grau. Q(x) + (ax + bx + c ) ( x 4 ) Q(x) = ax 6 + bx 5 + cx 4 Q(x) + ax 6 + bx 5 + cx 4 e P (x) = dx + ex + fx + g ax 6 + bx 5 + cx 4 (x x + x ) (dx + ex + fx + g ) ax 6 + bx 5 + cx 4 dx 6 +( d + e ) x 5 + ( e + f +d ) x ( g f + e d) x +( g + f e ) x + +( g f ) x g g = g f = 0 f = g + f e = 0 e = 6 g f + e d = 0 d = 0 P(x) = 0 x + 6x + x + Questão 0 Os elemetos da matriz dos coeficietes de um sistema de quatro equações lieares e quatro icógitas(x, y, z e w) são fuções de quatro costates a, b, c e d. Determie as relações etre a, b, c e d para que o referido sistema admita uma solução ão a b x y trivial, sabedo que CD= DC, ode C= e D= c d z w. Seja M 4x4 a matriz dos coeficietes do sistema de quatro equações. Usado CD = DC, temos: a b x y x y a b ax+bz ay+bw ax+cy bx+dy = c d z w z w c d cx+dz cy+dw = az+cw bz+dw Assim, o sistema em questão será: ax + bz = ax cy ay + bw = bx dy cx + dz = az cw cy + dw = bz dw Sabemos que a matriz M 4x4 será dada por: a c b 0 b a+d 0 b M 4x4 = c 0 a+d c 0 c b d Mas, para que o sistema homogêeo apresete solução ão trivial: det M=0 det M = a ( a + d ) d bc( a + d ) bc( a + d ) + c b a+ d d + b c b c + + b bc c b dc a+ d det M = 4 a + d ad a + d bc a + d Desta forma, temos: det M = 0 ( a d ) ( ad bc) 4 + = 0 a+ d = 0 ou ad bc = 0 Resposta: a = d ou ad = bc

3 Questão 04 Uma seqüêcia de quatro termos forma uma PG. Subtraido-se do primeiro termo e k do quarto termo, trasforma-se a seqüêcia origial em uma PA. Uma terceira seqüêcia é obtida somado-se os termos correspodetes da PG e da PA. Fialmete, uma quarta seqüêcia, uma ova PA, é obtida a partir da terceira seqüêcia, subtraido-se do terceiro termo e sete do quarto. Determie os termos da PG origial. As seqüêcias defiidas podem ser escritas da forma: ( ) ( ) ( ; ; ; ) ( ; ; ; 7) S a; aq; aq ; aq, uma PG, S a ; aq; aq ; aq k, uma PA, S a aq aq aq k, e, S a aq aq aq k, uma PA. 4 De S obtemos: a a- = a q + = aq q = aq q k ( I) e de S 4 : a a- = a q + = aq q = aq q k 5 ( II) Das equações (I) e (II) vem: aq q = aq q k 5 ( ( ) ) ( ) = ( ) aq q aq q k = k 5 k = E retorado em (I): aq( q ) = aq ( q ) aq( q ) = aq = q Sedo aq o segudo termo de S, que etão, pode ser escrita da forma: q q S ; ; ; q( q ) ( q ) ( q ) ( q ) E lembrado que S é uma PA: q = ( q ) ( q ) ( q ) ( q ) Que desevolvida leva a: q 7q + 8q = 0 Ode é raiz iteira, e logo, aplicado Briot-Ruffii: E fatorado a equação temos: ( x ) ( x x ) 5 + = 0 Que apreseta as raízes e (raiz de multiplicidade ). Assim, como apeas S ( 8; ; 8; 7) q = pode ser solução, a seqüêcia origial forecida é a PG:

4 Questão 05 Cico equipes cocorrem uma competição automobilística, em que cada equipe possui dois carros. Para a largada são formadas duas coluas de carros lado a lado, de tal forma que cada carro da colua direita teha ao seu lado, a colua da esquerda, um carro de outra equipe. Determie o úmero de formações possíveis para a largada. Separado em casos i) carros de uma mesma equipe em coluas diferetes 5 5!. 5 5!. K 0 K! K = 0 44=68960 Escolha dos carros da colua da esquerda Permutação dos carros da esquerda Permutação caótica dos cico carros da colua da direita ii) exatamete dois carros de uma mesma equipe a mesma colua C 5 Escolha da equipe que dobra a colua da esquerda C 4, 5!, + + Escolha da equipe que dobra a colua da direita Escolha dos demais carros da colua da esquerda Permutações possíveis para a colua da direita permutação dos carros da esquerda =8800 iii) dois grupos de dois carros de uma mesma equipe em uma mesma colua. C5, 5! C, 4 P4 = =6900 Escolha das duas equipes que dobram a colua da esquerda Escolha do outro carro da colua da esquerda Permutação dos carros da colua da esquerda Escolha das Permutações possíveis duas equipes que da colua da direita dobram a colua da direita Logo, o total de casos será de =

5 Questão 06 Determie a expressão da soma a seguir, ode é um iteiro múltiplo de 4. + i + i ( + )i Primeira solução: + + ( ) x x + x x Seja Px = x + x + x x = = x x Derivado Px temos: P' ( x) = + x + x x = + + ( + ) x ( x ) ( x x) ( x ) ( x ) + + ( x ) x x + x + x + +x P' ( x) = + x + x x = + x + x + P' ( x) = + x + x x = Fazedo x = i em P '( x ) temos a soma pedida: ( i ) i + i + S = + i+ i i = ( ) + i + i + S =, pois é múltiplo de 4. i i+ i i + ( ( + ) i) i ( + ) i S = = S = i i i Seguda solução: Separado a soma S pedida em + somas: + ( i ) + i + i+ i i = = i i i( i ) + i i i+ i i = = i i - i ( i ) + i i i i = = + lihas i i i ( i ) + i i i = = i i + + i +i+i +...+i + i S = =, pois é múltiplo de 4. i i ( ) + i i+ + i+ + i S = = i i + S = ( + ) i 5

6 Questão 07 A área de uma calota esférica é o dobro da área do seu círculo base. Determie o raio do círculo base da calota em fução do raio R da esfera. Sabe-se que a área da calota esférica é dada por: A CALOTA = π R h A CALOTA = A CÍRCULO π R h = π r Rh = r Assim, o ΔOAO : R = r + (R h) Rh = h + r r = h + r h = r R = r Resp.: r = R. Questão 08 Em um quadrado ABCD o segmeto AB, com comprimeto igual ao lado do quadrado, descreve um arco de círculo, coforme a figura. Determie o âgulo BÂB correspodete à posição em que a razão etre o comprimeto do segmetos B C e o lado do quadrado vale 6 Seja α a medida do âgulo BÂB e o lado do quadrado. No triâgulo retâgulo APB : AP = cos α e PB = se α No triâgulo retâgulo CB Q: B Q = AP = cos α = ( cos α) QC = PB = se α = ( se α) B'C = 6 B C = 6 B C = B Q + QC ( 6 ) = ( cos α) + ( se α) 6 = cos α + cos α + se α + se α 6 = se α cos α (se α + cos α) = α =5º ou α= 75º 6 se α + se α cos α + cos α = 6 4 se α + = se α = 6

7 Questão 09 Cosidere os úmeros complexos Z = seα+ icosα e Z = cos α iseα, ode α é um úmero real. Mostre que, se Z=ZZ, etão R Z e I Z ode I Z idicam, respectivamete, as partes real e imagiária de Z., R ( Z ) e e Primeiramete, calculamos Z: Z = Z Z = (seα+ icos α)(cos α ise α ) m Z = seαcos α ise α+ icos α seαcosα Z = seαcos α+ i (cos α se α ) Z = se α+ i cosα Portato, temos que: Re ( Z ) = se α e Im( Z ) = cosα Cocluímos, pois, que: α, seα e cosα R ( Z) e I ( Z) c.q. d. e m e m Questão 0 Cosidere todos os potos de coordeadas (x,y) que pertecem à circuferêcia de equação x + y 6x 6y + 4 = 0. Determie o maior valor possível de y x. x + y 6x 6y + 4 = 0 x 6x y 6y = 0 (x ) + (y ) = C(, ) e R = Dada uma reta r que passa pela origem e pelo poto P(x,y) da circuferêcia dada, teremos o máximo valor da razão y x quado o coeficiete agular da reta r for máximo, ou seja, r deve ser tagete à circuferêcia. K d C,r = R = K + K = K + 9K 8K +9 = 4K + 4 5K 8K + 5 = 0 K = ou Do exposto cocluímos que K máx = , pois a outra solução ecotrada seria o míimo valor de K. 7

8 Professores: Matemática Beradelli Maim Marcelo Moraes Moraes Ney Marcodes Digitação e Diagramação Atôio A. Vitor Deise Lara Márcia Pereira Val Piheiro Viícius Eduardo Projeto Gráfico Atôio A. Vitor Assistete Editorial Alicio Roberto Supervisão Editorial Alicio Roberto Rodrigo Beradelli Marcelo Moraes Copyright Olimpo007 A Resolução Cometada das provas do IME poderá ser obtida diretamete o OLIMPO Pré-Vestibular, ou pelo telefoe (6) As escolhas que você fez essa prova, assim como outras escolhas a vida, depedem de cohecimetos, competêcias, cohecimetos e habilidades específicos. Esteja preparado. 8

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10 8 MATRÍCULAS ABERTAS TEL.(6)

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