( ) ( ) Novo Espaço Matemática A 12.º ano Proposta de Teste [abril 2018] CADERNO 1 (É permitido o uso de calculadora gráfica)

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1 Proposta de Teste [abril 08] Nome: Ao / Turma: N.º: Data: - - Não é permitido o uso de corretor. Deves riscar aquilo que pretedes que ão seja classificado. A prova iclui um formulário. As cotações dos ites ecotram-se o fial do euciado da prova. CADERNO (É permitido o uso de calculadora gráfica). Na figura está represetado, em referecial o.. Oyz, um octaedro regular [OABCDE]. Sabe-se que:. os vértices O e E pertecem ao eio Oz;. o plao BCE é defiido pela equação y + z = 0 ;, y, z = 3,0,3 + k 0,,0 ; k R.. a reta AB é defiida pela equação.. Determia as coordeadas do poto B... Cosidera todas as sequêcias de seis elemetos formadas pelas letras O, A, B, C, D e E, que represetam os vértices do octaedro. Quatas dessas sequêcias começam por uma cosoate e têm as vogais jutas? (A) 08 (B) 360 (C) 60 (D) 0.3. Escolhem-se, ao acaso, dois vértices do octaedro. Determia a probabilidade de ser escolhido o vértice A, sabedo que a reta defiida pelos vértices escolhidos ão é paralela ao plao Oy. Apreseta o resultado a forma de fração irredutível.. Em C, cojuto dos úmeros compleos, cosidera z = 3 i. Seja S a região do plao compleo defiida pela codição: A z z 3i Im z Im z A O perímetro da região S, arredodado às cetésimas, é igual a: (A),7 (B), (C) 5, (D) 8,85 A

2 Proposta de Teste [abril 08] 3. Numa casa houve uma rutura a istalação de água, tedo sido detetada uma macha uma das paredes da casa. A área da superfície da macha foi aumetado até ao mometo em que a rutura foi reparada. A partir desse mometo a macha foi dimiuido até desaparecer. Admite que a área da macha, t horas após ter sido detetada, é dada em metros quadrados, pela fução t + 0,7 f t =. t e defiida por: 0,3 Recorre às capacidades gráficas da calculadora e resolve o seguite problema: Quato tempo decorreu, após a reparação da rutura, até a área da macha atigir 5% da área detetada iicialmete? Na tua resposta deves:. Equacioar o problema.. Reproduz um referecial o(s) gráfico(s) da(s) fução(ões) que visualizares a calculadora e assialar potos relevates para a resolução do problema e as respetivas coordeadas.. Apresetar a resposta a forma h mi (os miutos arredodados às uidades). FIM (Cadero ) Cotações Total Questões Cadero Potos

3 Proposta de Teste [abril 08] CADERNO (Não é permitido o uso de calculadora). Na figura, em referecial o.. Oy, está represetada uma região sombreada do plao costituída por um triâgulo retâgulo e um semicírculo. Sabe-se que:. OB =. a reta AB é paralela a Oy e o poto A pertece ao semieio positivo O;. α é a amplitude, em radiaos, do âgulo AOB, com α 0,. Seja f a fução, de domíio região sombreada. 0,, que a cada valor de α faz correspoder a área da região da.. Mostra que 0, f α = si α + si α. α,.. Recorre ao resultado obtido em. e idica o valor de lim α 8 f f 8. α 8 ( α ) (A) (B) (C) (D) +. Um poto P desloca-se uma reta umérica o itervalo de tempo I = [ 0, ] segudos. medido em A abcissa de P, em cada istate t, é dada por.. Mostra que t t = 5cos +. t t t =,5 cos si... Respode às questões seguites, atededo ao resultado obtido em... a) Determia [ 0, ] t tal que a distâcia de P à origem seja igual a 5. 3

4 Proposta de Teste [abril 08] b) Determia o valor de k de modo que '' ( t) = k ( t ). c) Calcula t lim t t. d) O valor da frequêcia deste oscilador harmóico é: (A) 5 (B) (C) (D) 3 3. Na figura estão represetados, o plao compleo, os potos P, Q, R, S e T. Sabe-se que:. o poto P é o afio de um úmero compleo z ;. w = z i Qual dos potos assialados a figura pode ser o afio do úmero compleo w? (A) R (B) T (C) S (D) Q. Em C, cojuto dos úmeros compleos, cosidera: 5i z = + i 3i e z = z.. Represeta a forma a + bi; a, b R o úmero compleo z... Represeta o plao compleo o cojuto de potos defiido pela codição: z z z 3 FIM (Cadero ) Cotações Cadero (com calculadora) Questões Potos Total 70 Cadero (sem calculadora) Questões a).. b).. c).. d) Potos Total 30 Total 00

5 Proposta de Teste [abril 08] FORMULÁRIO GEOMETRIA Comprimeto de um arco de circuferêcia: α r (α amplitude, em radiaos, do âgulo ao cetro; r raio) Áreas de figuras plaas Polígoo regular: Semiperímetro Apótema Setor circular: α r (α amplitude, em radiaos, do âgulo ao cetro; r raio) Áreas de superfícies Área lateral de um coe: rg (r raio da base; g geratriz) Área de uma superfície esférica: r (r raio) Volumes Pirâmide: Área da base Altura 3 Coe: Área da base Altura 3 3 Esfera: r (r raio) 3 PROGRESSÕES Soma dos primeiros termos de uma progressão (u): u Progressão aritmética: + u Progressão geométrica: r u r µ = p + + p p ( ) σ = p µ + + µ Se X é N ( µ, σ ), etão: ( µ σ < < µ + σ ) P X, ( µ σ µ σ ) P < X < + 0, 955 ( µ σ µ σ ) P 3 < X < + 3 0, 9973 REGRAS DE DERIVAÇÃO ( u + v )' = u' + v' ( u v )' = u' v + u v' u u' v u v' = v v ( u )' = u u' ( R ) ( si ) ( cos ) u ' = u' cos u u ' = u' si u u' cos u ( ta u )' = u e = u' e u u u ( a ) = u' a I a ( a R + \{ } ) ( I u) u' = u = u' R u I a + ( log u) a \{ } a TRIGONOMETRIA si cos a + b = si a cos b + si b cos a a + b = cos a cos b si a si b sia sib sic = = a b c a = b + c bccosa COMPLEXOS iθ ( ) iθ ρ cis θ = ρ cis θ ou ρe = ρ e LIMITES NOTÁVEIS lim + = e si lim = 0 e lim = 0 I lim = 0 + e lim = + R + p ( p ) ( N ) θ + k i cis θ + k θ cis ou e e ρ θ = ρ ρ = ρ ( k { 0,..., } e N ) PROBABILIDADES 5

6 Proposta de Resolução [abril 08] CADERNO (É permitido o uso de calculadora gráfica).. Qualquer poto da reta AB é do tipo ( 3, k,3 ) ; k R. Em particular, o poto B é do tipo ( k ) 3,,3 ; k R e pertece ao plao BCE. Etão, k + 3 = 0. Daqui resulta que k = 3. k =, etão ( 3, 3, 3 ) Se 3 B. Resposta: B ( 3, 3, 3 ).. Para a primeira letra da sequêcia há três possibilidades. O grupo das vogais e as restates duas cosoates podem permutar etre si de 3! maeiras. As vogais etre si podem permutar de 3! maeiras. No total, o úmero de sequêcias a começar em cosoate e as vogais jutas é dado por: 3 3! 3! = = 08 Opção: (A) Sejam R e S os seguites acotecimetos: R: É escolhido o vértice A 3 3! 3! S: A reta defiida pelos potos escolhidos ão é paralela ao plao Oy Pretede-se obter o valor da seguite probabilidade codicioada: P ( R S ) P R S C = = 5 = = P ( R S ) C 6 P ( S ) C C 6 C Resposta: 9

7 Proposta de Resolução [abril 08]. A codição dada defie um semicírculo de raio 3, tal como está represetado a figura. Assim, o perímetro da região S é dado por: r r + = r + r = , Opção: (C) 5, 3. Área da macha o mometo em que foi detetada: f 0,7 0 = = 0,7 e 0 O mometo em que se procedeu à reparação correspode ao máimo da fução. Após iserir a epressão da fução a calculadora, idetifica-se o istate em que esta atige o valor máimo, cosiderado uma jaela com m í = 0, uma vez que t 0. Verifica-se que esse istate ocorre para t,9833. Pretede-se resolver a equação f ( ) = 0,5 0,7. Para isso, isere-se a fução defiida por 5% da área detetada iicialmete, ou seja, g ( ) = 0,5 0,7 e idetifica-se o poto de iterseção dos gráficos de f e g, fazedo o ajuste ecessário à jaela de visualização. Idetifica-se o poto de coordeadas: ( 3,8; 0,09 ) O tempo decorrido após a reparação é dado por: 3, 8, 983 = 0, 30. 0, = 8, 06 Após a reparação decorreram, aproimadamete, 0,30 horas, ou seja, 0 h 8 mi. Resposta: 0 h 8 mi

8 Proposta de Resolução [abril 08] OA.. cosα = OA = cosα AB siα = AB = siα Área do triâgulo [OAB]: Raio do semicírculo: CADERNO (Não é permitido o uso de calculadora gráfica) si OA AB cos α α = = si cos = si AB siα = = siα Área do semicírculo de raio r = siα : r si = Área da região sombreada: f ( α ) si ( α ) = + ( α) si ( α ) ( α) ( α) ( α).. lim α 8 f f 8 = f α 8 8 ( α ) si ( α ) f ( α ) = si ( α ) + = cos ( α ) + si ( α ) cos ( α ) = cos ( α ) + si ( α ) f = cos + si = + = + 8 Opção: (D) +.. t t t 5 cos + = 5 cos cos si si = t t t t = 5 cos si =, 5 cos si = t Assim, tem-se t t = 5cos +. 3

9 Proposta de Resolução [abril 08] = 5 t t = 5 cos + = cos + = t + = k, k Z t [ 0, ] t + = k, k Z t [ 0,] k t =, k Z t [ 0, ] t =, 5 t = 3, 5 t = 5, 5 t = 7, 5 t = 9, 5 t =,5.. a) ( t) ( t ) Soluções:,5; 3,5; 5,5; 7,5; 9,5 e,5 b) ( t ) t = 5cos + t t ' ( t ) = 5cos + = 5 si + ' ' t t t '' ( t ) = 5 si + = 5 cos + = 5cos + '' t = t Daqui resulta que = k. Resposta: t 0 5 cos 5 cos + 5cos 0 y + + y + lim = lim = lim = lim t t t y 0 y y 0 y t Fazedo t = y, tem-se: ( t ) c) t 0 5 cos 5cos + 5 cos 5si 0 y + + y + y lim = lim = lim = lim = t y 0 y y 0 y y 0 t y si 5 y 5 5 = lim = = y 0 y 5 Resposta:

10 Proposta de Resolução [abril 08] d) ( t ) t = 5cos + Período da fução: T = = Frequêcia do oscilador harmóico: T = Resposta: 3. Se = + i z a b, etão (, ) P a b. w = z i = a bi i = ai + b = b a i Etão, o afio de w é o poto de coordeadas ( b, a). O poto S é o úico que pode ter coordeadas ( b, a). Opção: (C) S z = + i 3i = + i 3i = 3 + i.. z 5i( 3 i) 5i 5i i 3 = = = = = + i z 3 i 3 i 3 + i 0 Resposta: z 3 = + i.. z z z 3 z z Represeta um círculo de cetro o poto ( 3, ) e raio. z 3 Represeta a parte eterior do círculo de cetro ( 0,0 ) e raio 3, icluido a froteira. 5