Proposta de teste de avaliação

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1 Proposta de teste de avaliação Matemática A. O ANO DE ESCOLARIDADE Duração: 90 miutos Data:

2 Grupo I Na resposta aos ites deste grupo, selecioe a opção correta. Escreva, a folha de respostas, o úmero do item e a letra que idetificam a opção escolhida.. Selecioa-se, ao acaso, uma letra de uma palavra. Sejam A, I e V os seguites acotecimetos: A : A letra selecioada é a A. I : A letra selecioada é o I. V : A letra selecioada é uma vogal. Em qual das seguites palavras se verifica que P ( A I ) (A) CARNAVAL (B) PASCOA (C) JESUS (D) CONSOADA V =?. Seja C p um elemeto de uma liha do Triâgulo de Pascal, com, p N 0 e p. Sabe-se que a soma dos elemetos da liha é 4 e que C =. Etão: (A) p = p = (B) p = p = (C) p = p = 4 (D) p = p = 4 p C p. Sejam a e b dois úmeros reais (com a > 0 e b > ) tais que a log a =. Qual é, para esses valores de a e b, o valor de log b a? (A) a (B) a b (C) (D) a a Proposta de teste de avaliação Matemática A,. o ao Págia

3 4. Cosidere a sucessão ( u ) defiida por Seja h uma fução de domíio Sabe-se que lim h u =. R. u =. Qual das epressões seguites pode defiir a fução h? (A) l (B) l (C) (D) l l. Cosidere a fução f, de domíio \{ } R, represetada graficamete abaio. O gráfico de f admite como assítotas as retas de equações: = e y = Qual é o valor de (A) 0 (B) (C) (D) e lim f? Proposta de teste de avaliação Matemática A,. o ao Págia

4 Grupo II Na resposta aos ites deste grupo apresete todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações ecessárias.. O Adré tem o bolso seis moedas: duas de euro e quatro de 0 cêtimos... O Adré retira, simultaeamete e ao acaso, três moedas do bolso. Seja X a quatia, em euros, correspodete às moedas retiradas pelo Adré. Costrua a tabela de distribuição de probabilidades de X, apresetado a forma de fração irredutível... O tio do Adré deu-lhe quatro moedas de euro. O Adré jutou estas moedas às que já tiha. Seguidamete, retira, sucessivamete e sem reposição, duas moedas do bolso. Cosidere os acotecimetos: A : a moeda retirada em primeiro lugar é de 0 cêtimos B : a moeda retirada em segudo é de euro Calcule o valor da probabilidade P( A B ). Apresete o resultado em percetagem arredodado às uidades.. No referecial Oy da figura está represetado um triâgulo [ ABC ] e parte dos gráficos das fuções f e g. Sabe-se que: f ( ) = e g ( ) = log ( ) o poto B pertece ao gráfico de f e tem abcissa igual a ; o poto A pertece ao gráfico de g e tem ordeada igual à do poto B ; o poto C pertece ao gráfico de g e ao eio O... Calcule a medida da área do triâgulo [ ABC ]... Determie, por processos aalíticos, o cojuto-solução das codições:... f ( ) = 0... log ( ) g ( ).. Caracterize g, fução iversa da fução g. Proposta de teste de avaliação Matemática A,. o ao Págia 4

5 . Num laboratório, duas substâcias A e B estão a uma temperatura cotrolada. No dia um do correte mês, a temperatura de cada uma dessas substâcias, em graus Celsius, t horas após as zero horas, era dada, para determiado valor de k, por: 0,t = 0 e, [ 0, 4[ A t t t kt = 9, e, [ 0, 4[ B t t t.. Sabe-se que às 4 horas desse dia a substâcia A atigiu a temperatura máima e que a substâcia B atigiu a mesma temperatura uma hora depois. Determie o valor de k... Cosidere k = 0, 4. Houve um istate, depois das zeros horas, em que as duas substâcias estiveram à mesma temperatura. Determie esse istate e apresete o resultado em horas e miutos com os miutos arredodados às uidades. 4. Cosidere a fução f, de domíio R, defiida por: se 0 < < k f ( ) = e se = l ( 4) se > Para um certo valor de k sabe-se que lim f ( ) f ( ) Mostre que k = l ( 80). 4.. Determie lim f ( ) 4.. Cosidere a sucessão Qual é o valor de lim. =. w defiida por w =. f w? FIM Cotações Grupo I Total Grupo II Total Proposta de teste de avaliação Matemática A,. o ao Págia

6 . CARNAVAL P ( A I ) PASCOA P ( A I ) V = = Falso Proposta de resolução Grupo I V = Falso 0 JESUS P ( A I ) V = Falso CONSOADA P ( A I ) V = = Verdadeiro 4 Resposta: (D). A soma dos elemetos da liha de ordem é. = 4 = = Como C C =, vem, para = : p p C C C = = ( Cp = C p ) p p p C p = Cp = C = p = p = p = p = p Resposta: (A). a logb a = logb a = a = = = = a a a logb log log b a b a Resposta: (C) 4. u = lim h u = ; lim u = lim = lim = e h h u = l u. Se = l, etão ( ) ( ( )) ( ) lim h u = lim l u = l lim u = l e = = = Resposta: (B). f ( ) lim = e lim e = 0 e 0 lim = = = 0 f Resposta: (D) Proposta de teste de avaliação Matemática A,. o ao Págia

7 Grupo II.. X : Quatia, em euros, correspodete às moedas retiradas pelo Adré Moedas de Moedas de 0, 4 Valor de X 0,,0, 4 = = C = = (,) P X C 4 C 4 0 C C P ( X = ) = = = 0 C C 4 P ( X =,) = = = 0 4 C A distribuição de probabilidades da variável aleatória X é: i,,0, P( X = i ).. Moedas de Moedas de 0, 4 A : A moeda retirada em primeiro é de 0 cêtimos. B : A moeda retirada em segudo é de euro A A B B B 4 9 B ( ) P A B P A P B A P ( A B) = = = P B P A P B A P A P B A ( ) ( ) = = = = 44% Proposta de teste de avaliação Matemática A,. o ao Págia 7

8 AB h.. Área de [ABC] = Poto B: B (, f ) f = = = Logo, B (, ). Poto A: A(, ) g Assim, = log = log = = = = A,. AB = = A altura h do triâgulo [ABC] é igual à ordeada de B: h = AB Área de [ABC] = h = = u.a f ( ) Fazedo = 0 = 0 = 0 = 0 y = : 0, R ± 8 y y = 0 y = y = y =. 4 Assim: = 0 = = S = { 0} = = log ( ) g ( ) log ( ) log ( ) Domíio da codição: { R : 0 0 } { R : } ], [ D = > > = > > = ( ) ( ) log log ( ) ( ) log log ( )( ) ] [ log, ] [, ] [ 0, (] ] [, [) ], [ ], ] [, [ S = ], ] [, [ > 0, R Cálculo auiliar = 0 ± 8 = = = Proposta de teste de avaliação Matemática A,. o ao Págia 8

9 .. g ( ) = log ( ) { R : 0} ], [ D = > = g g, g ] [ D = D = Epressão da correspodêcia iversa: g log g = y = y log = y ( ) log = y = = y y ] [ : R, 0,t. A( t) = 0t e, t [ 0, 4[ kt = 9, e, [ 0, 4[ B t t t.. A B e 9, e k 0, 4 = = k k 480e = 480e e = e k = k = A t = B t 0t e = 9, t e 0, 0,4.. t t 0, 0,4 0 e t t t = 9, t e 0, 0,4 0 e t t t 9, t e = 0 9, 0 0,t 0,4t 0t e e = 0 0, 0,4 0 0 e t t t = 0, 4e = 0 0,t e t = 0 = 0,4 0,4t e 0,t t = 0 e = 0, 4 t = 0 0,t = l 0, 4 t = 0 t = 0l 0, 4 t = 0 t 4, 4 87 t 4, 487 h 4 h 8 mi As duas substâcias estiveram à mesma temperatura às 4 h e 8 mi. Proposta de teste de avaliação Matemática A,. o ao Págia 9

10 4.. lim f ( ) = f ( ) ; f = k e lim f ( ) = lim = lim ( ) ( ) ( ) = lim = = k k = = = k e l l k = l k = l k = l 80 = 4.. f ( ) ( ) ( ) ( ) l 4 l 4 lim = lim = lim = 0 ( y ) ( y ) l 4 l = lim = lim = y y 0 y = = 4.. lim w = lim = 0 lim f ( w ) = lim f ( ) = lim = 0 0 = lim 0 ( ) ( ) = Mudaça de variável: y = = y y 0 Proposta de teste de avaliação Matemática A,. o ao Págia 0