Prova-Modelo de Matemática

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1 Prova-Modelo de Matemática PROVA Págias Esio Secudário DURAÇÃO DA PROVA: miutos TOLERÂNCIA: miutos Cotações GRUPO I O quarto úmero de uma certa liha do triâgulo de Pascal é. A soma dos quatro primeiros úmeros dessa liha é. Qual é o maior termo dessa liha? (A) C (B) C (C) C (D) C estão em progressão aritmé- Os três primeiros coeficietes do desevolvimeto de tica. O valor de é: + (A) (B) (C) 8 (D) Na figura estão represetadas graficamete duas fuções, f e g, defiidas por e g() log. f log 9 f P g Os gráficos de f e de g itersetam-se o poto P. Qual é a abcissa do poto P? (A) (B) (C) l (D) l 9 Cosidere a fução f defiida por f() se( ) cos (). Idique qual das epressões seguites defie f, fução derivada de f. (A) cos( ) + se (B) cos( ) + cos se (C) cos( ) + se (D) cos( ) cos

2 Na figura estão represetadas partes dos gráficos de duas fuções f e g, ambas de domíio R, que têm apeas um zero cada, respetivamete e. A fução f está defiida pela epressão f() h() ode h é, tal como g, uma fução afim. Cotações f g Qual dos seguites itervalos é um subcojuto de D f + g, tal que a fução f + g é uma fução ijetiva? (A) ], [ (B) ], [ (C) ], [ (D) ], [ Seja a um úmero real superior a. Na figura está parte do gráfico de uma fução f, de domíio R, defiida por f() a. Tal como a figura sugere, os potos A e B pertecem ao gráfico de f. d B P c A f a b Qual é a ordeada do poto P, pertecete ao gráfico de f, cuja abcissa é o poto médio das abcissas de A e B? (A) c+ d (B) (cd) (C) cd (D) cd 7 Seja um úmero atural. O valor de i +, sedo i a uidade imagiária, é: (A) i (B) (C) i (D) Depede do valor de

3 8 Cosidere a imagem geométrica, o plao compleo, do cojuto {z : z }. Qual é a represetação geométrica do cojuto {w : w zi + i}? Cotações (A) (B) (C) (D) GRUPO II Cosidere o úmero compleo: i z i + + i. Represete z a forma algébrica e a forma trigoométrica.. Sabedo que z é uma das raízes de ídice quatro de um úmero compleo w, determie, sem calcular w, as restates raízes de w e represete-as graficamete. () ()

4 Seja S o espaço de resultados associado a uma eperiêcia aleatória. Sejam A, B dois acotecimetos possíveis (A S, B S).. Prove que se P(B), etão P( A B) P(A B).. O João cotraiu uma ifeção e o médico prescreveu-lhe um fármaco que tiha % de probabilidades de o curar em meos de uma semaa, caso o João o tomasse durate cico dias. No etato, o João é muito esquecido e tem % de probabilidades de ão tomar o fármaco em todos os dias recomedados. Se o João ão tomar o fármaco os cico dias recomedados, a probabilidade de recuperar em meos de uma semaa é %. Ao fim de uma semaa o João aida ão recuperou. Qual é a probabilidade de o João se ter esquecido de tomar o fármaco em todos os dias recomedados pelo médico? Nota: Se desejar, utilize a igualdade referida a alíea aterior. Cotações () () A carga de um codesador (dispositivo que possui a capacidade de armazear cargas elétricas) é dada em fução do tempo, t, medido em segudos, pela epressão t Qt () Q e ode é uma costate positiva (costate de tempo) e Q é a capacidade máima da carga.. Determie o valor de lim Qt e iterprete o seu sigificado o coteto do problema.. Mostre que t l Q () t+ Q. Q( t). Cosidere a costate de tempo igual a e determie quato tempo leva o codesador a carregar % da sua capacidade máima. Apresete o resultado arredodado às décimas.. Eplique a razão pela qual, em termos práticos, se cosidera que um codesador está carregado quado o tempo de carregameto é igual a cico vezes a costate de tempo. 8 (7) (7) (7) (7) Seja f a fução defiida em R por: f cos+ e se se < Sem usar a calculadora, resolva as três alíeas seguites.. Estude a fução f quato à sua cotiuidade.. Justifique que a fução f tem pelo meos um zero o itervalo,.. Calcule o zero cuja eistêcia garatiu a alíea aterior e determie a equação da reta tagete ao gráfico de f esse poto. () () ()

5 Cotações Um corredor com dois metros de largura iterseta-se perpedicularmete com outro, de quatro metros de largura, tal como a figura sugere. Pretede-se trasportar horizotalmete uma escada, represetada a figura A C θ B m D m pelo segmeto de reta AD, pelos dois corredores. Qual é o comprimeto máimo da escada que se pode trasportar? Apresete o resultado arredodado às cetésimas. Sugestão: comece por mostrar que o comprimeto da escada é dado, em fução de θ, pela epressão +, sedo θ a amplitude do âgulo ABC. se cos Nas figuras que se seguem estão represetadas partes dos gráficos de f, f e f de domíio R Figura Figura Figura Numa pequea composição, eplique em qual das figuras está represetado o gráfico de f, de f (primeira derivada de f) e de f (seguda derivada de f). Para além de justificar a sua escolha, eplique porque é que o gráfico de f ão pode ser ehum dos outros dois, apresetado, para cada um deles, uma razão para o rejeitar.

6 PROVA GRUPO I (págs. -). A soma dos quatro primeiros úmeros da liha do triâgulo de Pascal é dada por C + C + C + C, mas dado que o quarto úmero dessa liha é, podemos afirmar que:! + +! ( )! + + +! +! Como N,. A liha em causa será C C C 9 C, composta por úmeros. Logo, o maior valor desta liha será o que ocupa a posição cetral, ou seja, C. Opção correta: (B). Vamos começar por desevolver a potêcia do biómio dado, eplicitado os três primeiros termos, usado o biómio de Newto. + ( ) + C C + + C ( ) + ( ) ( ) + + C + ( ) ( ) C Assim os coeficietes dos três primeiros termos do desevolvimeto do biómio dado são: Como estes coeficietes estão em progressão aritmética e este tipo de progressões a difereça etre um termo e o termo aterior é costate, podemos escrever que: Se, etão + +, ou seja, o desevolvimeto do biómio teria apeas dois termos e ão três, como é suposto. Assim, 8. Opção correta: (C) + 9 C! ; e.!! Seja log. Usado a relação log a a, 9 para todo a R + \{}, R + e R, tem-se que: 9 (a fução epoecial é uma fução ijetiva) Logo, a abcissa de P é a solução da equação log. log Opção correta: (A). f se cos se cos ( ) cos cos cos cos ( )cos ( se ) cos ( )+ cos se Opção correta: (B). Seja h() m + b e g() m + b. Temos que: m+ b se f m+ b m b se < Tedo em cota que D f+g D f D g R e que f + g está defiida por duas semirretas, qualquer itervalo cotido em ], ] ou em [, + [, satisfaz as codições eigidas. Das hipóteses apresetadas, o itervalo ], [ é o úico que está cotido um dos itervalos acima referidos, desigadamete em ], [. Opção correta: (A). Note-se que f(a) a a c e f(b) a b d. A ordeada de P é igual a f a+ b. Opção correta: (C) m+ b+ m+ b se Assim, ( f + g) m b + m+ b se < ( m+ m) + b+ b se ( mm) + b b se < f a b a+ b + + a a + a a a f( a) f( b) cd a b a b a b 9

7 # Propostas de resolução 7. i + i i ( i ) i i i i Outro processo: i + i i ( i ) ( i) ( i ) i Opção correta: (C) Logo as restates raízes serão: z cis + cis z cis + cis z cis + cis 7 A, B, C e D, são, respetivamete, os afios de z, z, z e z. B 8. A imagem geométrica do cojuto origial é uma coroa circular cetrada a origem do plao compleo. O produto de um cojuto por i (uidade imagiária) é uma rotação do cojuto sobre si mesmo (o que este caso ão altera a sua represetação geométrica). A soma com i resulta uma traslação, o plao compleo, associada ao vetor (, ). Opção correta: (B) - C - π D A GRUPO II.. z i + ( i ) + i ( i) ( i) ( i ) + ( + i) ( i ) 8 + ( i i+ i ) i i + i z + cos cos se se porque θ.º quadrate. Assim, a forma trigoométrica, z cis.. As raízes de ídice quatro de um úmero compleo têm todas o mesmo módulo e o argumeto pode ser obtido do argumeto de outra raiz cosecutiva, adicioado ou subtraido. A imagem geométrica de z cis pertece ao.º quadrate.. P. ( AB) P( A B) PB PB ( \ ( AB) ) PB ( B) PB PA PB PB P A B PB ( ) PB P A B. Desigemos por R o acotecimeto o João recupera da ifeção em meos de uma semaa e por L o acotecimeto o João lembra-se de tomar o fármaco em todos os dias recomedados pelo médico. O euciado forece a seguite iformação: A probabilidade pedida é: Como P(R L),, etão Nota: X Y Y \ XY ( ) P X \ Y P X P X Y PL, PRL, PRL, PLR PLR ( ) PR PR ( L), PL () PR ( L), 8, PR ( L) 8, PRL PR PL ( R) P( R)

8 PR ( L) Por outro lado, P(R L),, ou seja,, PL () PR PR ( L),, PR 8,, PR, PL ( R) PL + PR PL ( R) PL ( R) 8, +, 8, 8, PL ( R), 8, 8 Assim, PL ( R), PR,, Outro processo: A probabilidade pedida é PLR PRL PLR ( ) PR PR ( L)+ PRL 8,, 8,,, ode: + PRL PRL PL 9,, 8,, porque PRL PRL,, 9(utilizado a alíea a) ). PRL PRL PL, 8,, porque.. lim Qt () Qe Q( e ) Q( ) Q t+ O que sigifica que com o decorrer do tempo a carga do codesador aproima-se da carga máima. t. Qt () Q e t Qt e () Q t Qt () e Q t Qt () l Q Q t l Q Q t l Q Q() t Q() t Q t l Q Qt (). Vamos substituir, a epressão obtida a alíea aterior, Q(t) por,q e por. Q Q t Q Q l l,, Q l PRL PRL,, (utilizado a alíea a) ) e PL PL,, 8., segudos.. Se t, etão Q( ) Q e Q ( e ), 99Q, ou seja, quado o tempo é igual a cico vezes a costate de tempo a carga do codesador é igual a aproimadamete 99,% da sua carga máima. Note-se que, em termos teóricos, a carga máima uca é atigida já que a fução Q aproima-se de Q sem uca atigir esse valor... A fução f é cotíua o itervalo ], + [ porque está defiida por uma composição de duas fuções cotíuas (a fução cosseo e uma fução afim) e também é cotíua o itervalo ], [ porque está defiida pelo quociete etre duas fuções cotíuas (uma fução liear e uma difereça etre fuções cotíuas). Falta-os aalisar a cotiuidade de f em. lim f lim cos+ + + lim f lim e lim e lim e Efetuado a substituição o limite aterior, obtemos: lim e e lim limite otável Como f cos, cocluímos f é cotíua em porque lim ( ) f f. Logo, f é cotíua em R.. A fução f é cotíua em R, por isso é também cotíua o itervalo,. f f + cos cos cos se se ou 7 f cos + cos,

9 # Propostas de resolução Como f f etão, pelo Corolário do Teorema de Bolzao, garatimos que eiste c <, tal que f(c), mas,,. Logo, eiste pelo meos um zero de f em,.. Seja, e k Z. f cos k, k Z + k, k Z Dado que,, coclui-se que. f cos+ se+ + f se se se A equação da reta tagete ao gráfico de f o poto de coordeadas é., +. O comprimeto da escada é igual a AD AB + BD. se AB AB se cos BD BD cos Logo, AD com se + cos, < <. Vamos desigar por f o comprimeto da escada em fução de θ, isto é, f + e derivar esta se cos fução, com o objetivo de determiar o seu míimo, o itervalo,. π De facto, quado θ tede para ou para, f tede para ifiito. Por isso, o comprimeto máimo da escada correspode ao míimo de f. + f se cos cos se + se cos Para localizar um possível miimizate desta fução, vamos determiar os zeros da sua derivada. f cos se se cos cos se, tg tg, tg 7, 9 7, rad O comprimeto máimo que a escada pode ter é, aproimadamete, f ( 7, ) + me- se 7, cos 7, 8, tros.. O gráfico da figura correspode ao gráfico de f. Sedo esta uma fução decrescete o itervalo ], ] e crescete o itervalo ], + ], a fução f é egativa o itervalo ], [ e positiva o itervalo ], + [, o que acotece o gráfico da figura. Por eclusão de partes, a figura está o gráfico de f, que é uma fução egativa o itervalo ], [ ], + [, que correspode ao itervalo ode f tem a cocavidade voltada para baio, e é uma fução positiva o itervalo ], [, que correspode ao itervalo ode f tem a cocavidade voltada para cima. Se o gráfico de f fosse o da figura, ehuma das outras figuras represetaria o gráfico de f, já que o gráfico da figura tem três etremos relativos e ehuma das outras fuções tem três zeros. Se o gráfico de f fosse o da figura, ehuma das outras figuras represetaria o gráfico de f, já que o gráfico da figura tem três potos de ifleão e ehuma das outras fuções tem três zeros. GRUPO I θ,7 f ND + ND f ND Mi. ND PROVA (págs. -). Falta sombrear um cato e temos duas maeiras de o fazer (sombrear o cato superior direito ou o cato iferior esquerdo). Para cada uma destas possibilidades, temos de sombrear aida mais três quadrículas um total de dispoíveis, ou seja, temos C maeiras diferetes de sombrear as restates quadrículas.