Capítulo I Séries Numéricas

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1 Capítulo I Séries Numéricas

2 Capitulo I Séries. SÉRIES NÚMERICAS DEFINIÇÃO Sedo u, u,..., u,... uma sucessão umérica, chama-se série umérica de termo geral u à epressão que habitualmete se escreve u u... u... u ou simplesmete u Para determiar a soma de uma série, usa-se a chamada sucessão de somas parciais. DEFINIÇÃO Associada a uma série, eiste a sucessão de somas parciais defiida por s u... s u u s u u u s u u u... u. DEFINIÇÃO Uma série u quato à sua atureza, pode ser covergete ou divergete. Será Covergete se a sucessão das somas parciais a ela associada for covergete, e isto sucede quado lim S for um valor fiito e determiado. Será Divergete se a sucessão das somas parciais a ela associada for divergete, e isto sucede quado lim S ifiito ou idetermiado. for um valor No caso da série ser covergete, o valor de lim S é a soma da série. No caso da série ser divergete, ão eiste soma da série, como é obvio. Aálise Matemática II Curso de Egª Electromecâica

3 Capitulo I Séries EXEMPLO Dada a série soma., determie a sua atureza e, caso seja covergete, calcule a sua ( ) : A Sucessão associada à série é: s s 6 s 6 s s Efectuado as operações acima idicadas, obtemos: s s s 4 4 s s Vejamos etão se eiste e é fiito o lim S. Aálise Matemática II lim S lim. Como o lim S eiste e é fiito, podemos afirmar que a série é covergete e portato é possível determiar a sua soma que será o valor do lim S, ou seja. Curso de Egª Electromecâica

4 Capitulo I Séries 4 EXEMPLO Dada a série, determie a sua atureza e, caso seja possível, determie a sua soma. : A Sucessão associada à série é: s s s s s 4... Efectuado as operações acima idicadas, obtemos: s s s s soma dos primeiros termos de uma p. a. s u u Vejamos etão se eiste e é fiito o lim S.Temos: lim S lim. Etão, podemos afirmar que a série é divergete e que ão é possível determiar a sua soma. EXEMPLO Dada a série, determie a sua atureza e, caso seja possível, determie a sua soma. Aálise Matemática II Curso de Egª Electromecâica

5 Capitulo I Séries 5 : A Sucessão associada à série é: s s s s s. Soma dos primeiros termos... 4 de uma progressão geometrica de razão Vejamos etão se eiste e é fiito o lim S.Temos: lim S lim. Etão, podemos afirmar que a série é covergete e que a sua soma é lim S, ou seja. EXEMPLO 4 Dada a série, determie a sua atureza e, caso seja possível, determie a sua soma. : A Sucessão associada à série é: Aálise Matemática II Curso de Egª Electromecâica

6 Capitulo I Séries 6 s s s s s Soma dos primeiros termos. de razão 4... de uma progressão geometrica Vejamos etão se eiste e é fiito o lim S.Temos: lim lim S. Etão, podemos afirmar que a série é divergete e que por isso ão é possível calcular a sua soma.. ALGUMAS PROPRIEDADES DAS SÉRIES Se duas séries u e v covergem e têm somas respectivamete U e V, etão: i) u v, soma de u e v, coverge e tem soma U+V. ii), u, coverge e tem soma U. Se a série b, u for covergete e a série u b, é divergete. b for divergete, a soma de u e Se duas séries divergir. a e b divergem, a b, soma de a e b, pode ão Aálise Matemática II Curso de Egª Electromecâica

7 Capitulo I Séries 7. EXEMPLOS DE ALGUMAS SÉRIES.. SÉRIE GEOMÉTRICA Chama-se Série geométrica a u, ode 0 geométrica represeta-se, habitualmete, por: u é uma progressão geométrica. A série A Sucessão associada à série é: s a s a ar s a ar ar s a ar ar ar 4... s a ar ar ar... ar Vê-se facilmete que razão r, que será portato: 0 ar S é a soma dos primeiros termos de uma progressão geométrica de S a ar r a r r r Para idetificar a atureza da série, teremos que aalisar o lim S, que depede de r. Vejamos: i) Se ii) iii) iv). a r r, temos lim S lim r a r a r, temos lim S lim r r a r r, temos lim S lim r a r, temos lim S lim ão eiste. Aálise Matemática II Curso de Egª Electromecâica

8 Capitulo I Séries 8 Cocluímos etão que a série geométrica a a sua soma é S. r 0 ar é covergete se e só se r e este caso EXEMPLO 5 a) Determie a atureza da série. b) Determie, caso seja possível a sua soma. Podemos usar dois métodos: º método: a) Usado as propriedades das séries, temos: =. Ora, covergete. é uma série geométrica de razão, logo a b) A soma de uma série geométrica de razão r e cujo primeiro termo é a, é. No osso r caso, teremos etão a soma da série igual a. Como a série que os é dada é, a sua soma será. º Método: a) A Sucessão associada à série é: Aálise Matemática II Curso de Egª Electromecâica

9 Capitulo I Séries 9 s s s 4... s Ora,... 4 S ada mais é do que a soma dos primeiros termos de uma progressão geométrica de razão. Etão S. Calculemos lim S : lim S valor fiito) logo, a série é covergete. lim ( b) A sua soma será: lim S lim....série DE DIRICHLET OU SÉRIE DE RIEMMAN Chama-se série de Dirichlet à série. Esta série é uma série divergete, se e covergete se. Se, a série toma o ome de série harmóica. EXEMPLO 6 Determie a atureza da série. Aálise Matemática II Curso de Egª Electromecâica

10 Capitulo I Séries 0 A série dada é covergete, pois é uma série de Dirichlet, com... SÉRIE DE MENGOLI OU SÉRIE TELESCÓPICA Cosideremos a série a. Se for possível decompor o termo geral uma difereça tal que a u u p, à série u u p dá-se o ome de Série de Megoli ou Série Telescópica. A série de Megoli u u p será covergete se a sucessão u o for, ou seja se lim u k, sedo k um valor fiito e determiado. Neste caso a soma da série será dada por: s u u... up p limu. EXEMPLO 7 Determie a soma da série. Vamos tetar decompor o termo geral uma subtracção de duas fracções, usado a seguite regra: Na primeira fracção colocamos todos os factores do deomiador da fracção origial meos o último e a seguda colocamos todos os factores do deomiador da fracção origial meos o primeiro. A B Aálise Matemática II Curso de Egª Electromecâica

11 Capitulo I Séries Deste modo, vem: A( ) A( ), logo A e B. Etão: = Ora, ada mais é do que uma série de Megolli, ode p=. Já sabemos que uma série de Megolli é covergete se a sucessão u for. Neste caso cocreto temos lim u = lim série dada será etão: =0, logo a sucessão u é covergete e a soma da u. lim. EXEMPLO 8 Caso seja possível, determie a soma da série,. 6 Vamos tetar decompor o termo geral uma subtracção de duas fracções, usado a seguite regra: Na primeira fracção colocamos todos os factores do deomiador da fracção origial meos o último e a seguda colocamos todos os factores do deomiador da fracção origial meos o primeiro. A B 6 6 Aálise Matemática II Curso de Egª Electromecâica

12 Capitulo I Séries Deste modo, vem: A( 6) B, logo A e B 6 6. Temos etão: = Ora, ada mais é do que uma série de Megolli, ode p=. Já sabemos que uma série de Megolli é covergete se a sucessão u for. Neste caso cocreto temos lim u = lim série dada será etão: 6 =0, logo a sucessão u é covergete e a soma da u u u. lim ou seja CONDIÇÃO NECESSÁRIA DE CONVERGÊNCIA DE UMA SÉRIE A Codição ecessária para que a série sigifica que: u seja covergete é que lim u 0. Isto Aálise Matemática II Curso de Egª Electromecâica

13 Capitulo I Séries Dada a série u, se: lim u 0, a série é divergete lim u 0, a série poderá ser covergete ou divergete EXEMPLO 9 Determie a atureza da série 5 6. Calculemos lim u lim u lim 0. Uma vez que ão obedece à codição ecessária de covergêcia podemos afirmar que a série é divergete. EXEMPLO 0 Determie a atureza da série. Calculemos lim u. lim u lim 0. Nada podemos cocluir pela aálise do termo geral. Mas, se falou ateriormete e já se afirmou ser divergete. é a série harmóica, de que já Aálise Matemática II Curso de Egª Electromecâica

14 Capitulo I Séries 4.4 SOMA OU SUBTRACÇÃO DE UM NÚMERO FINITO DE TERMOS A UMA SÉRIE Não se altera a atureza de uma série, somado-lhe ou subtraido-lhe um úmero fiito de termos. EXEMPLO Determiar a atureza da série +++. Cosideremos apeas a série covergete.. É uma série geométrica de razão r, logo A soma da série é. Adicioado a este valor os restates termos da série dada, ou seja, e, vamos obter +++=7, um valor fiito. Podemos etão dizer que a série +++ também é covergete..5 CONVERGÊNCIA DE SÉRIES DE TERMOS NÃO NEGATIVOS Vamos em seguida estudar vários critérios de covergêcia de séries. Cosideraremos apeas séries de termos ão egativos, ou seja séries de termos ulos ou positivos. Aálise Matemática II Curso de Egª Electromecâica

15 Capitulo I Séries 5.5..CRITÉRIO GERAL DE COMPARAÇÃO (º CRITÉRIO DE COMPARAÇÃO) Se, para qualquer N, se tem 0 a b, i) Se b é covergete, a ii) iii) Se a é divergete, b também é covergete. também é divergete.5. COROLÁRIO DO CRITÉRIO GERAL DE COMPARAÇÃO ( º CRITÉRIO DE COMPARAÇÃO) Sejam as séries S a e S b a i) Se lim k 0,, as séries são da mesma atureza. b a ii) Se lim 0, e se a série b é covergete, também a série S é covergete. b a iii) Se lim b, e se a série b é divergete, também a série S é divergete. Para se aplicar o critério geral de comparação assim como o seu corolário, é ecessário relacioar a série dada com qualquer outra série da qual se coheça a atureza. As séries que se utilizam habitualmete para fazer essa comparação são as Séries Geométricas, Séries de Megoli e Séries de Dirichlet, já ateriormete mecioadas. EXEMPLO 5 Estude a atureza da série. Aálise Matemática II Curso de Egª Electromecâica

16 Capitulo I Séries 6 Sabemos que: 5 e que a série (série harmóica) é divergete. Etão, aplicado o critério geral de comparação( º critério de comparação), podemos imediatamete cocluir que 5 também é divergete. EXEMPLO Estude a atureza da série. Sabemos que. Cohecemos também a atureza da série de Dirichlet com, por isso covergete. Etão, covergete. que é uma série EXEMPLO 4 Determie a atureza da série. l Sabemos que Como é covergete pois é uma série de Dirichlet com. lim l 0,pelo corolário do critério geral de comparação cocluimos que a série é também covergete. l EXEMPLO 5 Determie a atureza da série u u, sabedo que a série u é covergete. Aálise Matemática II Curso de Egª Electromecâica

17 Capitulo I Séries 7 Se a série u é covergete, etão obrigatóriamete lim u 0 ( pela cod. ec. de covergêcia).usado o corolário do critério geral de comparação, temos que : u u lim lim 0, u u Sedo assim, as séries são da mesma atureza, logo covergetes..5. CRITÉRIO DA RAZÃO OU CRITÉRIO DE D ALEMBERT Cosideremos a série u, de termos ão egativos. Se: u lim u, u e covergete, u e divergete, u e divergete, ada se pode cocluir O critério de D Alembert está especialmete idicado quado o termo geral da série aparecem factoriais, potêcias ou produtos sucessivos. EXEMPLO ( ) Determie a atureza da série ( ) Aálise Matemática II Curso de Egª Electromecâica

18 Capitulo I Séries 8 No termo geral da série estão presetes produtos sucessivos, estado portato idicada a utilização do critério de D Alembert. Temos etão: u Logo, a série é Divergete lim lim lim u..... EXEMPLO 7 Determie a atureza das séries dadas abaio, aplicado o critério de D Alembert. a) b) c)!!!! a) Aplicado o critério de D Alembert temos: u! 0. lim lim lim u! Logo, a série dada é covergete. b) Aplicado o critério de D Alembert temos: u!! 0 u!! lim lim lim lim Logo, a série dada é covergete. Aálise Matemática II Curso de Egª Electromecâica

19 Capitulo I Séries 9 c) Aplicado o critério de D Alembert temos: u lim lim lim!! u!! Logo, a série dada é divergete CRITÉRIO DA RAIZ Cosideremos a série u, de termos ão egativos. Se: lim u, u e covergete, u e divergete, u e divergete, ada se pode cocluir O critério da raiz está especialmete idicado os casos em que todos os factores do termo geral estão elevados pelo meos ao epoete. EXEMPLO 8 Determie a atureza da série. Aplicado o critério da raiz, temos: lim u lim lim lim 0 Logo, a série é covergete. Aálise Matemática II Curso de Egª Electromecâica

20 Capitulo I Séries 0 EXEMPLO 9 Determie a atureza da série 8 9. Aplicado o critério da raiz, temos: 9 lim u lim lim Logo, a série é covergete. EXEMPLO 0 Determie a atureza da série. Aplicado o critério da raiz, temos: lim u lim lim lim e Logo, a série é covergete..5.5.critério DO INTEGRAL u Seja f:, f. uma fução Cotíua e Decrescete ode para cada, A série de termo geral u e o itegral f d são da mesma atureza. Aálise Matemática II Curso de Egª Electromecâica

21 Capitulo I Séries OBSERVAÇÃO Este critério permite cocluir que a série de Dirichlet mesma atureza. e o itegral d são da EXEMPLO Estude a atureza das séries abaio, recorredo ao critério do itegral. a) 4 b) 4 a) Cosideremos a fução f. Esta fução é cotiua e decrescete em,, etão a série 4 é da mesma atureza que o itegral 4 qual é a atureza do itegral: d. Vejamos etão d lim d lim 4 4 t 4 4 t t t O itegral é covergete e etão, pelo critério do itegral, cocluimos que a série 4 também é covergete. b) Cosideremos a fução f. Esta fução é cotíua e decrescete em,, etão a série é da mesma atureza que o itegral d. Vejamos etão qual é a atureza do itegral t t d t d lim d lim t Aálise Matemática II Curso de Egª Electromecâica

22 Capitulo I Séries O itegral é divergete e etão, pelo critério do itegral, cocluímos que a série também é divergete..6 SÉRIES ALTERNADAS DEFINIÇÃO 4 Chama-se série alterada a toda a série cujos termos são alteradamete positivos e egativos. A sua forma é u, u , e 4 5 Por eemplo, alteradas. cos são séries Para fazer o estudo da covergêcia deste tipo de séries é muito útil o critério de Leibiz, que diz o seguite:.6. CRITÉRIO DE LEIBNIZ Dada a série alterada etão a série é covergete. u, u 0, se u for decrescete e se 0 lim u, EXEMPLO Determiar a atureza da série. : A série dada é uma série harmóica alterada afirmar que é covergete, pois :. Pelo critério de Leibiz, podemos Aálise Matemática II Curso de Egª Electromecâica

23 Capitulo I Séries a) b )lim 0 EXEMPLO Verifique se a série é covergetes ou divergete. 4 É uma série alterada, por isso, para estudar a sua atureza, vamos recorrer ao critério de Leibiz. Verificamos que a ª codição deste ão é satisfeita, ou seja lim Etão, por este critério, ada podemos cocluir. Mas, se recorrermos à codição ecessária de covergêcia, vemos que lim 4 ão eiste, logo a série é divergete..6. CONVERGÊNCIA ABSOLUTA E CONVERGÊNCIA SIMPLES Cosideremos as séries u e u. TEOREMA Se u coverge também u coverge. DEFINIÇÃO 5 Se uma série u u e a série dos seus módulos, diz-se ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE. u, são ambas covergetes, a série Aálise Matemática II Curso de Egª Electromecâica

24 Capitulo I Séries 4 DEFINIÇÃO 6 Se a série dos módulos, diz-se SIMPLESMENTE CONVERGENTE. u, é divergete e a série u é covergete, a série u EXEMPLO 4 Verifique se as séries são absolutamete covergetes, ou simplesmete covergetes a) b) a) Vamos aalisar a série dos módulos: Sabemos que Vamos ver se e já vimos que esta série é divergete ( série harmóica). lim 0 e é covergete ou divergete, aplicado o critério de Leibiz. Ora, u é decrescete pois, u u, etão é covergete. Podemos etão cocluir que é simplesmete covergete, pois a série dos módulos diverge e coverge. b) Vamos aalisar a série dos módulos: Sabemos que. Esta série é covergete (série de Dirichlet com. Como a série dos módulos é covergete, pelo teorema.7.., podemos afirmar que a série dada é covergete. Aálise Matemática II Curso de Egª Electromecâica

25 Capitulo I Séries 5 Coclusão: A série como ela própria são covergetes. é absolutamete covergete, pois tato a série dos módulos OBSERVAÇÃO Série Absolutamete Covergete Série Covergete. MAS A RECÍPROCA NÃO É VERDADEIRA.7. CRITÉRIO DA RAIZ E CRITÉRIO DE D ALEMBERT PARA SÉRIES DE TERMOS POSITIVOS E NEGATIVOS.7.CRITÉRIO DA RAIZ Cosideremos a série u, de termos positivos e egativos, mas ão alterada. Se: lim u u e divergete, u e absolutamete covergete u e divergete.7..critério DE D ALEMBERT Cosideremos a série u, de termos positivos e egativos, mas ão alterada. Se: Aálise Matemática II Curso de Egª Electromecâica

26 Capitulo I Séries 6 u e divergete, u e divergete, u e absolutamete covergete lim, u u ESTRATÉGIAS NA ESCOLHA DO CRITÉRIO A EFECTUAR PARA DETERMINAR A NATUREZA DE UMA SÉRIE Foram epostos aqui vários critérios para determiar a atureza de uma série. A destreza em escolher e aplicar os vários critérios, cosegue-se apeas com a prática. A seguir serão apresetados um cojuto de procedimetos para escolher um critério adequado. A estratégia deverá ser a seguite: ) O -ésimo termo da série tede a zero? Se ão tede, a série é divergete (Codição ecessária de covergêcia) ) A série é uma série cohecida? ( geométrica, Megolli, Dirichlet) ) É uma série alterada? 4) Pode-se comparar com uma das séries cohecidas? 5) Pode-se aplicar o critério de D Alembert, da raiz ou do itegral? Aplicado as estratégias para determiar a atureza das séries, determie a covergêcia ou divergêcia das séries abaio: a) b) 5 5 c) e d) 5! f) 5 5 g) 5 e) Solução a) Codição ec. de Covergêcia: lim b) Série geométrica: razão meor que, logo covergete. Aálise Matemática II Curso de Egª Electromecâica, logo a série é Divergete

27 Capitulo I Séries 7 c) Critério do Itegral. Série covergete d) Teste de Comparação: Comparar com a série harmóica: séries são da mesma atureza, por isso, divergetes. 5 lim 0, 5, logo as e) Série alterada(aalisar a série dos módulos, que é div. E em seguida aplicar o critério de Leibiz), cocluido fialmete que é Covergete. f) Critério de D Alembert (o termo geral tem factoriais). Divergete. g) Critério da raiz ( o termo geral está elevado ao epoete ). Covergete. EXERCÍCIOS I Determie a sucessão das somas parciais e, caso seja possível, a soma de cada uma das seguites séries: a) b) c) l d) 5 4 e) - Cosidere a série umérica C. a) Mostre que é covergete qualquer que seja o valor da costate C. b) Determie o valor da costate C de modo que a série teha por soma. a) Verifique se 5, para b) Cosidere u uma série geométrica de razão a que a soma da série é, calcule o termo geral da série. com a \0. Sabedo 4 Diga para que valores de a e b as séries 5 e a b calcule a soma de cada uma das séries para os valores ecotrados. são covergetes e Aálise Matemática II Curso de Egª Electromecâica

28 Capitulo I Séries 8 5 Usado as propriedades das séries, determie, caso seja possível, a atureza das séries abaio: a) b) c) 4 6- Determie a atureza das séries de Megoli: a) b) c) d) 54 e) 9 f) 4 g) Determie a atureza das séries, aalisado o seu termo geral: a) b) c) 7 4 d) e) f) 4 8 Aplicado o º critério de comparação, classifique as séries abaio a) l comparar com b)! comparar com c) comparar com d) comparar com l e) comparar com 5 5 f) d, d comparar com 9 Estude, aplicado o º critério de comparação, a atureza das séries abaio: a) 5 b) 4 c) 5 5 d) Aálise Matemática II Curso de Egª Electromecâica

29 Capitulo I Séries 9 e) se 4 f) g) h) i) j) k) l) 5 5 l m) 5 4 ) o) se p) 6 0- Mostre que a série covergete. a é covergete, sedo a o termo geral de uma série O que pode cocluir quato à atureza da série a? a) a lim 7 b) a a lim c) a a lim a d) a lim a Estude a atureza das seguites séries: a) b). c) d) Recorredo ao critério de D Alembert, determie a atureza das seguites séries: a)!! b) c) ! d) b, 0 b e) d!, d 0 f)! Aálise Matemática II Curso de Egª Electromecâica

30 Capitulo I Séries 0 Aálise Matemática II Curso de Egª Electromecâica g) 0 h)!! i) j)! 4 Aplicado o critério da raiz, determie a atureza das séries abaio a) b) 5 c) 4 4 d) e) 5 f) 4 5 Discuta a atureza da série k, k. 6 Recorredo ao critério do itegral, mostre que a série abaio é divergete Recorredo ao critério de Leibiz determie a atureza das séries abaio: a) b) c) 8 -. Utilize a série 0 para mostrar que uma série pode ser simplesmete covergete e ão ser absolutamete covergete. 9 - Estude quato à covergêcia simples e absoluta as séries a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) e) 4 f) 6

31 Capitulo I Séries Aálise Matemática II Curso de Egª Electromecâica 0- Determie a atureza das séries abaio idicadas: a) ) 5 ( se b) se c) d) e)! 5 f) g) ta( ) se h) ) l ( i)! 5 j) k)! l) ) ( m) e ) log o) 5 p)!! q) l r) s) 5! t) 4 ( ) u) 0 4 ) 4 y) z) a) 4 cos b) 4 c) d), d d d) d)! e). f) g) 5 h) i)! j) k) l) 0 5 m) e ) e o) 0

32 Capitulo I Séries - Determie os valores iteiros positivos de K que toram a série! covergete. k! - Cosidere a série umérica k. a) Mostre que a série é covergete para todo o valor da costate k. b) Determie o valor da costate k de modo que a série teha soma. Aálise Matemática II Curso de Egª Electromecâica

33 Capítulo II Séries de Potêcias

34 Capitulo II Séries de potêcias 4. SÉRIES DE POTÊNCIAS DEFINIÇÃO 7 Uma série de potêcias de (-a) é uma série da forma: 0 a a = a a ( a) a a... a ( a)... 0 DEFINIÇÃO 8 Uma série de potêcias de, é uma série da forma: 0 a = a a a... a... 0 ( É o caso particular das série de potêcias de (-a) ode se cosidera a = 0). SÉRIE DE POTÊNCIAS DE X Já vimos que uma série de potêcias de é uma série da forma 0 a = a a a... a... 0 Para que valores de será a série de potêcias 0 a covergete? Não há qualquer dúvida que para = 0 a série é covergete, vejamos: 0 a = a0 a 0 a 0... a 0 a0, reduzido-se ao primeiro termo. Aálise Matemática II Curso de Egª Electromecâica

35 Capitulo II Séries de potêcias 5 Para determiar para que outros valores de a série covergirá, pode aplicar-se o critério de D Alembert ou o Critério da Raiz à série dos módulos. Vejamos o eemplo abaio: EXEMPLOS 5 Determiar a atureza da série de potêcias 0 Vamos cosiderar a série dos módulos: 0. Aplicado o critério de D Alembert, temos: lim lim lim lim, Se, a série 0 é absolutamete covergete. Se a série 0 é divergete. Se = teremos que fazer uma aálise potual. Se = temos 0 que é uma série divergete (compara-se com ). Se =- temos ( ) que é uma série alterada simplesmete covergete pelo critério 0 de Leibiz. Coclusão: A série é covergete para, Aálise Matemática II Curso de Egª Electromecâica

36 Capitulo II Séries de potêcias 6 EXEMPLO 6 Determiar a atureza da série de potêcias. 0! Vamos cosiderar a série dos módulos: 0!. Aplicado o critério de D Alembert, temos ( )!! lim lim lim lim 0 ( )!! Coclusão:, a série é covergete, pois 0<. EXEMPLO 7 Determiar a atureza da série de potêcias! 0. Vamos cosiderar a série dos módulos:! 0. Aplicado o critério de D Alembert, temos ( )!! lim lim lim lim!! Coclusão: A série é divergete. Só é covergete quado =0 (este caso, reduz-se ao primeiro termo). Aálise Matemática II Curso de Egª Electromecâica

37 Capitulo II Séries de potêcias 7 TEOREMA Para toda a série de potêcias 0 a eiste um úmero real r, chamado raio de covergêcia (que pode ser zero, qualquer outro úmero fiito, ou ifiito), tal que: - A série é absolutamete covergete se r - A série é divergete se r - Em r a série pode ser covergete ou divergete. OBSERVAÇÃO O raio de covergêcia pode ser determiado da seguite forma: r a lim a ou aida r lim a EXEMPLO 8 Determiar o raio de covergêcia da série de potêcias 4. 0 Segudo a defiição aterior, r lim a. No caso presete temos r lim 4 4. O raio de covergêcia será etão 4. Aálise Matemática II Curso de Egª Electromecâica

38 Capitulo II Séries de potêcias 8 DEFINIÇÃO 9 Chama-se Itervalo de Covergêcia da série 0 a ao cojuto de potos para os quais a série de potêcias coverge. Habitualmete é represetado por I(r). O Itervalo de covergêcia pode ser: se r 0 se r = 0 r,r ou r,r ou r,r ou r,r, se r 0, EXEMPLO 9 Determiar o itervalo de covergêcia da série de potêcias 4. 0 Já vimos o eemplo aterior que o raio de covergêcia é 4.Etão pelo teorema aterior a série será covergete para : 4. Aalisemos agora os etremos do itervalo: Vejamos quado = 4, temos que o limite do termo geral é diferete de zero. que é uma série divergete uma vez Vejamos quado = -, temos vez que o limite do termo geral ão eiste. 4 0 que é uma série divergete uma Aálise Matemática II Curso de Egª Electromecâica

39 Capitulo II Séries de potêcias 9 CONCLUSÃO: O INTERVALO DE CONVERGÊNCIA DA SÉRIE 4 É 0, 4 4. EXERCÍCIOS II. a) Defia série de potêcias de. b) Defia raio e itervalo de covergêcia de uma série de potêcias de e diga como se calculam.. Determie o raio de covergêcia e o itervalo de covergêcia das seguites séries de potêcias: a) 0 b) 5 c) d)! 0 0 e) f)! g) h)! log i) j) 0 0 k)! l)!! 0 m) ) p) log q) ! r) o) Provar que se a série de potêcias 0 c tem raio de covergêcia r, etão a série c 0 tem raio de covergêcia r. 4 Se c 4 for covergete, as séries que se seguem são covergetes? 0 a) c b) c Aálise Matemática II Curso de Egª Electromecâica

40 Capitulo II Séries de potêcias Prove que a série se é absolutamete covergete para. 6- Se k for um iteiro positivo, ecotre o raio de covergêcia da série k!. 0 k!.. SÉRIES DE POTÊNCIAS DE (-a) Já vimos que uma série de potêcias de (-a) é uma série da forma: 0 a a = a a ( a) a a... a ( a)... 0 Para séries de potêcias de (-a) a a, os teoremas e propriedades ateriormete apresetados para as séries de potêcias de são adaptados substituido por (-a). Assim: TEOREMA Para toda a série de potêcias 0 a a eiste um úmero real r (que pode ser zero, qualquer outro úmero fiito, ou ifiito), tal que: - A série é absolutamete covergete se a r - A série é divergete se a r - Em a r a série pode ser covergete ou divergete. Aálise Matemática II Curso de Egª Electromecâica

41 Capitulo II Séries de potêcias 4 OBSERVAÇÃO 4: Chama-se Itervalo de Covergêcia da série 0 a ( a) ao cojuto de potos para os quais a série coverge. Habitualmete é represetado por I(r). O itervalo de covergêcia pode ser: se r a se r = 0 a r, a r ou a r, a r ou a r, a r ou a r, a r, se r 0, EXEMPLO 0 Determiar o raio de covergêcia e o itervalo de covergêcia da série de potêcias 0 4 Partido da defiição de a r lim a, temos: r lim lim 4. CONCLUSÃO: O RAIO DE CONVERGÊNCIA É. Aálise Matemática II Curso de Egª Electromecâica

42 Capitulo II Séries de potêcias 4 Vejamos agora qual é o itervalo de covergêcia. Pelo teorema.., a série será absolutamete covergete para, etão temos : < -< e portato 0 < <. Podemos etão afirmar que a série é absolutamete covergete o itervalo 0,. Temos que aalisar agora a atureza da série os etremos do itervalo: Se = a série ficará 0 4 que é uma série divergete (comparação com a série divergete ). Se = 0 a série ficará 0 4 que é uma série alterada. Para estudar a sua atureza teremos que recorrer ao critério de Leibiz uma vez que a série dos módulos diverge. Aplicado o critério de Leibiz, cocluímos que a série é simplesmete covergete em = 0, pois i) lim 0 4 ii)a é decrescete pois, ( a 0 ). a Estado satisfeitas estas duas codições, podemos afirmar que a série é simplesmete covergete quado =0. Coclusão: o itervalo de covergêcia é 0,. Aálise Matemática II Curso de Egª Electromecâica

43 Capitulo II Séries de potêcias 4 EXEMPLO Determiar o raio de covergêcia e o itervalo de covergêcia da série de 0. potêcias Partido da defiição de r temos: a r lim. a Como a, temos r lim. CONCLUSÃO: O RAIO DE CONVERGÊNCIA É. Passemos à determiação do itervalo de covergêcia: Pelo teorema.. a série será absolutamete covergete para, portato, < - <, logo < <4. Se = a série ficará 0 que é uma série alterada divergete..se = 4 a série ficará 0 que é uma série divergete(cod. ec. cov) Podemos etão afirmar que a série é absolutamete covergete o itervalo,4. Aálise Matemática II Curso de Egª Electromecâica

44 Capitulo II Séries de potêcias 44 EXERCÍCIOS III.a) Defia série de potêcias de (-a). b) Defia raio e itervalo de covergêcia de uma série de potêcias de (-a) e diga como se calculam.. Determie o raio de covergêcia e o itervalo de covergêcia das seguites séries de potêcias: a)! b) 0 4 c) 0 d) e) 0! 0 4 f) 5 g) h) 0! 0 5 i) j) k) 0 l)! m) 0! 4 k ) o) q) 0 p) r) 4 s) t) 0 u) 0 5 Aálise Matemática II Curso de Egª Electromecâica

45 Capitulo II Séries de potêcias 45. REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÕES POR MEIO DE SÉRIES DE POTÊNCIAS Há fuções que podem ser represetadas por séries de potêcias, como por eemplo f ( )..., para ( 0 represeta a soma da série de potêcias, para ). 0 Se uma determiada fução admitir represetação em série de potêcias, em toro de um poto a, etão ela será da forma 0 a f f ( ) a, para a r ( raio de covergêcia da série )! A esta série chama-se Série de Taylor da fução f cetrada em a. OBSERVAÇÃO 5: 0 f a! a represeta f() por uma série de potêcias de (-a), cujo domíio é o itervalo de covergêcia,i(r), da série. 0 f a! a diz-se desevolvimeto de f segudo as potêcias de (-a) em I(r). Para o caso especial de a=0, a série de Taylor ficará: 0 f 0 f ( ), para r ( raio de covergêcia da série )! que tem o ome de Série de Mac-Lauri. Aálise Matemática II Curso de Egª Electromecâica

46 Capitulo II Séries de potêcias 46 OBSERVAÇÃO 6 0 f 0! represeta f() por uma série de potêcias de, cujo domíio é o itervalo de covergêcia, I(r), da série. 0 f 0! diz-se desevolvimeto de f segudo as potêcias de em I(r). TEOREMA 4 Uma fução que admite represetação em série de potêcias o itervalo r,r é cotíua esse itervalo, assim como uma fução que admite represetação em série de potêcias em a r, a r é também cotíua esse itervalo. EXEMPLO Cosidere a fução f em que itervalo é válido esse desevolvimeto.. Represete-a através de uma série de potêcias de e diga RESOLUÇÂO Vamos achar a derivada de ordem da fução f 0 f()=, para r.! 0 f, pois já sabemos que Aálise Matemática II Curso de Egª Electromecâica

47 Capitulo II Séries de potêcias 47 f f f f... f 6 4! agora facilmete calculamos 0 f : f 0!. Etão temos f()= f f 0, ou seja 0! f 0, que será o desevolvimeto de em série de potêcias de. Falta saber agora qual é o itervalo em que este desevolvimeto é válido. Vejamos: O itervalo de covergêcia da série desevolvimeto acima é válido é,. é, 0, logo o itervalo em que o CONCLUSÃO: O DESENVOLVIMENTO DE VÁLIDO PARA,. f, EM SÉRIE DE POTÊNCIAS DE X É:, f 0 TEOREMA 5 i) Se a série 0 at dt 0 0 a tem raio de covergêcia r, etão as séries terão raio de covergêcia r. a e Aálise Matemática II Curso de Egª Electromecâica

48 Capitulo II Séries de potêcias 48 ii) Se a série 0 a ( b) tem raio de covergêcia r, etão as séries a (t b) dt terão raio de covergêcia r. 0 0 a ( b) e Ou seja: Se derivarmos ou primitivarmos todos os membros de uma série de potêcias de itervalo I(r), obtemos uma série de potêcias cujo iterior do itervalo é o mesmo. EXEMPLO Desevolver em série de potêcias de a fução f ( ) l( ). Sabemos de um eemplo aterior que 0, para, e sabemos também que f f ( ) l( )., etão f (válido para ). Pelo teorema.4. temos que 0 0 ( itegraram-se todos os termos da série 0 ),válido para EXERCÍCIOS IV. Desevolva em série de potêcias de as fuções de epressões aalíticas idicadas e determie os itervalos de covergêcia das séries obtidas. a) b) c) d) e) f) ( ) g) ( ) h) 4 i) Aálise Matemática II j) e k) l) l Curso de Egª Electromecâica

49 Capitulo II Séries de potêcias 49. Desevolva a) l() segudo potêcias de (-) b) c) e segudo potêcias de e segudo potêcias de (+) Aálise Matemática II Curso de Egª Electromecâica