==Enunciado== 2. (a) Mostre que se h(t) é uma função seccionalmente contínua e periódica, de período T, que admite transformada de Laplace, então

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1 Departameto de Matemática - Escola Superior de ecologia - Istituto Politécico de Viseu Complemetos de Aálise Matemática Egeharia de Sistemas e Iformática Euciado e Resolução da a. Frequêcia de 5/6 Duração: h Euciado Ates de iiciar a resolução da prova leia atetamete todo o euciado iclusivé os Dados apresetados o fim.. Determie a covolução das fuções e at e e bt e obteha a trasformada de Laplace dessa covolução.. a Mostre que se ht é uma fução seccioalmete cotíua e periódica, de período, que admite trasformada de Laplace, etão 3. e s e st ht dt. b Use o resultado da alíea a para mostrar que a trasformada de Laplace da oda quadrada qt, que é uma fução periódica de período a tal que qt para < t < a/ e qt para a/ < t < a, é e as/ s e as. Na figura um corpo de massa m está ligado a uma corda elástica com costate de elasticidade k e a um amortecedor que resiste ao movimeto do corpo com uma força umericamete igual a c vezes a velocidade do movimeto. A força extera aplicada é dada por ft e o deslocameto do corpo da sua posição de equilíbrio por x. Uma equação diferecial do movimeto pode ser escrita a forma com d x dt + αdx dt + α + β x m ft, k c ft m x k m ω, α c m, β ω α. Assumido que a massa está iicialmete em repouso a sua posição de equilíbrio, e que ela actua uma força extera costate f, determie a expressão do movimeto, cosiderado β como um úmero real positivo. 4. a Desevolva 3 x em série de potêcias de x, idicado o raio de covergêcia da série. Apresete os coeficietes dos termos de ordem e 3 sob a forma de fracção de iteiros. b Desevolva a fução gt si t, t [, ] em série de cosseos. c Supodo que c x é a série obtida a alíea a e que d + d cost é a série obtida a alíea b, diga, justificado, qual a atureza das séries seguites, e, em caso de covergêcia, idique a respectiva soma: i ii c + d cos ; d cos 4.

2 Série biomial: + x k k x, ode Dados k kk k...k +!, para k R e x < ; O desevolvimeto em série de Fourier de uma fução ft de período, caso exista, é dado por: ode e A + A B 3 cosa + bt siax cosbx dx a + b A cos t + B si t, ftdt, A ft cos t dt ft si t dt para ; cosa bt, para a b. a b Cotação Resolução. Determiação da covolução de e at e e bt : e at e bt t eaτ e bt τ dτ t ebt+a bτ dτ e bt t ea bτ dτ { [ ] e bt e a bτ t a b, se a b e bt t se a b e bt ea bt, se a b a b e bt t se a b

3 A covolução de e at e e bt é a fução dada pela expressão e bt ea bt, t, se a b, e é a fução dada a b pela expressão e bt t, t, se a b. Cálculo da trasformada de Laplace dessa covolução: L{e at e bt } L{e at }L{e bt } s as b usado a abela das rasformadas de Laplace.. a e st ht dt e st ht dt + e st ht dt. Cosiderado, para o segudo itegral da última soma, a mudaça de variável u t obtém-se pelo que obtemos: t u, t u e du dt e st ht dt + e su+ hu + du. e st ht dt + e su s hu du, por h ser periódica de período, Obtemos assim a igualdade e st ht dt + e s e su hu du e st ht dt + L{ht}. dode se coclui que ou seja, e st ht dt + e s L{ht}. e s e st ht dt e s e st ht dt. 3

4 b Usado o resultado da alíea a, tem-se: 3. Vamos resolver a equação diferecial a L{qt} e sa e st qt dt a/ a e sa e st dt e st dt a/ [e ] st a/ [ ] e st a e sa s s a/ e sa/ e sa e sa/ e sa s e sa/ s e sa + + e sa e sa/ s e sa e sa/ e sa/ + s e sa e sa/ e as/ s e as sujeita às codições iiciais d x dt + αdx dt + α + β x m f x, x Etão Ora, L { d x dt } + α dx dt + α + β x L { m f } s Xs sx x + αsxs x + α + β Xs f m s s + αs + α + β Xs f m s Xs f m Isto leva-os à igualdade ss +αs+α +β xt L {Xs} L { f m ss + αs + α + β }. ss + αs + α + β } A s + Bs + C s + αs + α + β. As + αs + α + β + Bs + Cs dode se obtêm os seguites valores para as cotates A, B e C: Assim, A α +β B C α α +β α +β xt L { α +β s α +β α +β L { s s+α s +αs+α +β } s+α s+α +β α s+α +β } + e αt cos βt α α +β β e αt si βt 4

5 4. a O desevolvimeto de 3 x em série de potêcias de x é uma série biomial: 3 x x /3 /3 /3 x x Este desevolvimeto é válido para x <, ou seja, x <. Isto é, o raio de covergêcia é igual a. O coeficiete do termo de ordem é: /3 /3/3! /3 /3 3 O coeficiete do termo de ordem 3 é: /3 3 3 /3/3 /3 3! /3 /3 5/ b Cosidere-se a fução par de período que o itervalo [, ] coicide com gt. Neste caso, cosiderado as fórmulas dadas para os coeficietes de Fourier, temos que B, para todo o, visto a fução ser par. Resta calcular os coeficietes A. A gtdt si t dt [ cos t] cos + cos + Para usado o Dado 3: A t gt cos dt t gt cos dt si t cos t dt [ ] si t, se [ cos + t + ] cos t, se > 5

6 si si, se cos + +, se cos cos + + ] + + +, se >, se + + +, se > +, se +, se >, se é ímpar 4, se é par ] cos, se > Assim o desevolvimeto da fução gt si t em série de cosseos o itervalo [, ] é ou seja, + + par + + k 4 t cos 4 k cos kt c A série da alíea a é covergete para x < e divergete para x >. Logo a série + c é divergete tem-se x. A série da alíea b é covergete para todo o t R, sedo covergete para si t quado t ], [. Logo a série + d cost é covergete para todo o t, em particular, a série + d cos é covergete tem-se t. Assim: i Sedo a soma de uma série divergete com uma covergete, a série apresetada, é divergete. ii Pelo exposto, a série + d cos com t. c + d cos, d cos 4 é covergete e coverge para si 4, pois trata-se da série 6