Capítulo II - Sucessões e Séries de Números Reais

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1 Capítulo II - Sucessões e Séries de Números Reais 2 Séries de úmeros reais Sabemos bem o que sigifica u 1 + u u p = p =1 e cohecemos as propriedades desta operação - comutatividade, associatividade, etc.. Nesta secção, vamos lidar com expressões do tipo u u 1 + u u + = =1 u, o setido de atribuir um sigificado matemático rigoroso à operação de adição com um úmero ifiito de parcelas.

2 Supohamos que pretedemos calcular o valor da soma S = =1 ( 1) 1 = Associado as parcelas duas a duas, escreveríamos S =(1 1) + (1 1) + (1 1) + e seríamos levados a cocluir que S =0. Se agora destacarmos a primeira parcela e associarmos as restates duas a duas, escrevemos S =1+( 1 + 1) + ( 1 + 1) + ( 1 + 1) + e já somos levados a pesar que será S =1. E poderíamos aida destacar simplesmete a primeira parcela, resultado dode S =1/2. S =1 ( )=1 S,

3 É etão claro que estas maobras ão levaram a qualquer coclusão sobre o valor de S. Somos levados a pesar que as propriedades da adição em R, com um úmero fiito de parcelas, em particular a propriedade associativa, ão são válidas quado estedemos a adição a um úmero ifiito de parcelas. Para dar setido à expressão u 1 + u u + = =1 u, iremos recorrer à oção de limite.

4 2.1 Defiições e cosequêcias Cosidere-se uma sucessão (u ) de úmeros reais. Àexpressão u 1 + u u +, que represeta uma soma com um úmero ifiito de parcelas, chamamos série umérica de termo geral u ou série umérica gerada por u. Usamos as otações =1 u, u, 1 u, N u. Asucessão(u ) diz-se a sucessão geradora da série.

5 Dada a série gerada por (u ), costrua-se uma ova sucessão (s ), podo s 1 = u 1 s 2 = u 1 + u 2 s 3 = u 1 + u 2 + u 3. s = u 1 + u u. a que chamamos sucessão das somas parciais da série.

6 Dizemos que a série u é covergete 1 quado a correspodete sucessão das somas parciais é covergete, ou seja, quado S R : S =lims. Escrevemos e dizemos que S = 1 u S é a soma da série 1 u. Por outro lado, se a série 1 u ão é covergete, dizemos que é divergete.

7 Exemplo Cosideremos a série ( 1) 1. 1 A correspodete sucessão geradora é u =( 1) 1, N, e a sucessão das somas parciais é s =1 1+ +( 1) 1, N. Etão s 2 =0 e s 2 1 =1,peloque(s ) ão tem limite. Logo, a série é divergete.

8 Das defiições apresetadas extraem-se as seguites cosequêcias. Cosequêcia 1 Sejam u e v séries covergetes de somas s e t, 1 1 respectivamete. Etão: (a) asérie + v ) coverge e tem soma s + t; 1(u (b) asérie 1 αu coverge e tem soma αs, α R. Cosequêcia 2 Se a série u é divergete etão, dado α R\{0}, asérie αu 1 1 também é divergete.

9 Cosequêcia 3 Sejam u covergete e v divergete. Etão + v )é 1 1 1(u divergete. Observação Se as séries u e v forem divergetes, ada se pode cocluir, em 1 1 geral, sobre a atureza da série + v ). 1(u

10 2.2 Primeiros resultados sobre covergêcia Começamos com um resultado fudametal, muito útil o estudo da covergêcia de séries. Teorema [Codição ecessária de covergêcia] Se a série 1 u é covergete etão lim u =0. Corolario [Codição suficiete de divergêcia (ou teste da divergêcia)] Se a sucessão (u ) ão tem limite ou se lim série 1 u é divergete. u =, com = 0, etão a

11 Observação O recíproco do Teorema 1 é obviamete falso. Isto é, lim u =0 = 1 u covergete. Pesar o exemplo clássico da série harmóica, 1 1.

12 Teorema Sejam (u ) e (v ) duas sucessões que diferem, quado muito, um úmero fiito de termos. Etão as séries u e v têm a mesma 1 1 atureza. Observação Este teorema estabelece que se uma das séries coverge etão a outra também coverge e se uma das séries diverge etão a outra também diverge. Equivaletemete, sigifica que a atureza de uma série ão depede dos seus k primeiros termos, por maior que seja k.

13 2.3 Resultados sobre algumas séries particulares Vamos agora estudar, a partir da defiição, algumas séries clássicas de relevo. O cohecimeto da atureza destas séries será muito útil o estudo de outras séries. A-Sériegeométrica Chama-se série geométrica de razão r a uma série do tipo =1 r 1, r R. A sucessão geradora, (u ),édefiidapor u = r 1, N, easucessãodassomasparciais,(s ),édefiidapor s =1+r + r r 1.

14 Para r =1tem-ses = eparar = 1, como também rs = r + r 2 + r r, sai que dode s = s rs =1 r, se r =1 1 r 1 r se r =/ 1.

15 Da defiição de covergêcia de uma série e da codição suficiete de divergêcia, sai que: r = 1 = série divergete, porque u =1, N, e lim u =1= 0 (além disso, tem-se lim s =lim =); r > 1 = série divergete, porque lim u =lim r 1 = (além disso, como lim r =, vem lim s =); r 1 = série divergete, porque lim u =lim r 1 (este caso, também ão existe lim s );

16 1 < r < 1 = série covergete com soma s = 1 1 r, porque lim s = 1 1 r (repare-se que lim r = 0); Coclusão A série geométrica de razão r, =1 r 1, é covergete se e só se r < 1. Neste caso a sua soma é s = 1 1 r.

17 Observação Mais em geral, uma série geométrica de razão r apreseta a forma =p ar +k, a, r R, a =/ 0, p N, k Z, (1) represetado a soma ar p+k + ar p+k+1 + ar p+k+2 + = ar p+k 1+r + r 2 +, e tem a mesma atureza que as séries r +k =p e =1 r 1. Etão a série (1) coverge se e só se r <1. Em caso de covergêcia, a sua soma é s = ar p+k 1 1 r.

18 B-Sérieharmóica Trata-se da série =1 1 com sucessão geradora, (u ),defiidapor u = 1, N, e sucessão das somas parciais, (s ),defiidapor s = A séria harmóica é divergete.

19 Vejamos que (s ) é divergete, aalisado a subsucessão costituída pelos termos s 2, s 4, s 8, s 16, s 32,...,s 2,... Atededo a que s 2 = coclui-se que > = , pelo que (s ) é divergete. lim s 2 =, +

20 C-SériedeRiema Chama-se série de Riema (de expoete r > 0) aumasériedaforma =1 cuja sucessão geradora é defiida por 1 r, r R +, u = 1 r, N. A correspodete sucessão das somas parciais, (s ),édadapor s = r r r.

21 (i) (ii) Se r =1 etão a série reduz-se à série harmóica e, portato, é divergete. Se 0 < r < 1 etão s = r r r Etão > lim s = porque, como se viu para a série harmóica, lim =. A correspodete série de Riema é divergete.

22 (iii) Para r > 1, mostra-se que a sucessão (s ) é covergete verificado que (s) é m o ó t o a c r e s c e t e ; a subsucessão de (s) costituída pelos termos s 1, s 3, s 7, s 15, s 31,...,s 2 1,... é limitada (usado uma técica semelhate à usada para a série harmóica); (s) é l i m i t a d a porque é moótoa e possui uma subsucessão limitada; (s) é c o v e r g e t e porque é limitada e moótoa. Logo, a correspodete série de Riema é covergete. Coclusão AsériedeRiema(deexpoeter > 0), é covergete se e só se r > 1.

23 D-SériedeMegoli(outelescópica) Chama-se série de Megoli a uma série do tipo =1 (a a +p ), p 1, ode (a ) é u m a s u c e s s ã o q u a l q u e r. Para estas séries, é possível estudar a sucessão das somas parciais de uma forma muito simples.

24 Exemplo Cosideremos a seguite série de Megoli k=1 1 k 1. k +2 Tem-se s = = , +2

25 ou seja, dode s = , lim s =3/2 e coclui-se que a série de Megoli apresetada é covergete e tem soma S =3/2. Todas as séries de Megoli se estudam desta forma.

26 Em geral, para série vem =1 (a a +p ), p 1, s = (a 1 a p+1 )+(a 2 a p+2 )+(a 3 a p+3 )+ +(a p a 2p )+(a p+1 a 2p+1 )+(a p+2 a 2p+2 )+ +(a 2 a +p 2 )+(a 1 a +p 1 )+(a a +p ), ou seja, s = a 1 + a a p (a +1 + a +2 + a +p ), pelo que, existe lim s se e só se existe lim (a +1 + a +2 + a +p ), ou seja, se e só se existe lim a.

27 Coclusão A série de Megoli =1 (a a +p ), p 1, é covergete se e só se a correspodete sucessão (a ) também é covergete. Em caso de covergêcia, a soma da série é é precisamete S= lim a1 + a a p (a +1 + a +2 + a +p ) = a 1 + a a p p lim a.

28 Quadro resumo Coverge Diverge Série geométrica de razão r, r R r < 1 r 1 r 1 S = 1 1 r 1 Série harmóica 1 1 divergete Série de Riema α>1 α 1 de expoete α, α R + 1, α 1 Série de Megoli se (a ) coverge se (a ) diverge (a a +p), p 1 S = a a p p lim a 1

29 2.4 Séries de termos ão egativos Nesta secção, vamos cocetrar-os um tipo particular de séries, a saber u, com u 0, N, 1 para as quais a sucessão (s ) das somas parciais é moótoa crescete, já que s = s 1 + u s 1, N.

30 Cosequetemete, uma série deste tipo é covergete se e só se a correspodete sucessão (s ) é m a j o r a d a. De facto, u covergete (s ) covergete 1 (s ) limitada [porque (s ) é moótoa] (s ) majorada [porque (s ) é c r e s c e t e ] Esta coclusão é crucial para estabelecer os chamados critérios de covergêcia de uma série de termos positivos, que se baseiam, exclusivamete, a sucessão geradora da série.

31 A-Critériosdecomparação Recorredo a uma comparação com o termo geral de uma série cohecida, a aplicação de um dos seguites critérios permite cocluir, de forma muito simples, a atureza de uma vasta classe de séries uméricas. Teorema [Primeiro Critério de Comparação] Sejam u e v séries de termos ão egativos tais que 1 1 p N : p = u v. (a) Se v coverge etão u também coverge. 1 1 (b) Equivaletemete, se u diverge etão v também diverge. 1 1

32 Demostração Sejam (s ) e(t ) as sucessões das somas parciais das séries u e v, 1 1 respectivamete. Para > p, tem-se dode s = (u u p)+(u p u ) s p +(v p v ) = s p + t t p, s s p + t. (2) (a) Se v é c o v e r g e t e e t ã o ( t ) é m a j o r a d a. P o r ( 2 ), t a m b é m (s ) é majorada, sedo a correspodete série, u,umasériecovergete. (b) Supohamos agora que u é d i v e r g e t e. Se v fosse covergete, por (2), cocluir-se-ia que também u seria covergete, o que é absurdo. Logo, a série v é d i v e r g e t e.

33 O resultado seguite é um critério muito útil e obtém-se como cosequêcia do aterior, passado à formulação em termos de limite. Teorema [Segudo Critério de Comparação] Sejam u e u v séries de termos positivos tais que =lim, v 1 1 ode [0, [. (a) Se =/ 0 e =/ + etão as séries 1 atureza. (b) Se =0 e 1 u e 1 v têm a mesma v coverge etão 1 u também coverge. Equivaletemete, se =0 e u diverge etão v 1 1 também diverge. (c) Se = e v diverge etão u também diverge. 1 1 Equivaletemete, se = e 1 também coverge. u coverge etão 1 v

34 Demostração (a) Por hipótese, temos que δ >0, p N : > p = u v <δ,ou seja, δ >0, p N : > p = δ + < u <δ+. v Em particular, para δ = /2, vem que p N, > p = 2 < u dode v < 3 2, > p = 3 v < u < 2 2 v e, pelo Teorema aterior, coclui-se que as séries em causa possuem a mesma atureza. (b) Por hipótese, temos que δ >0, p N : > p = u <δ. Para v δ =1, vem que p N : > p = u < v. Pelo Teorema aterior, a coclusão é imediata. (c) Por hipótese, temos que A > 0, p N : > p = u > A. Para A =1, vem que p N : >p = u v > 1= v <u. Pelo Teorema aterior, a coclusão é imediata v

35 B - Critério de D Alembert (ou da razão) Este critério é motivado pela simplicidade das séries geométricas, a, com a = r 1 (r = 0), que apresetam a propriedade de se ter a +1 = r e que covergem quado e só quado r < 1. Vamos agora ver que, dada uma série arbitrária de termos positivos, digamos u, apesar de ão ser geométrica (a razão u +1 u a ão é costate) é tal que u +1 u c, com 0 < c < 1, para p.

36 De cocluímos que u +1 u c, 0 < c < 1, p u +1 c = u +1 c+1 u u c = u +1 c +1 u c, p, o que sigifica que a sucessão u c é ão crescete a partir da ordem p, sedo, portato, uma sucessão limitada, com todos os termos em ]0, L], ode L =max{u 1, u 2,...,u p }. Etão, dode u c L, u Lc, N, N. Usado o primeiro critério de comparação, uma vez que a série 1 c é covergete, temos que a série 1 u é também covergete.

37 Na geeralidade dos casos práticos, revela-se muito mais útil a formulação do resultado exposto em termos de limite. Teorema [Critério de D Alembert (ou da razão)] Seja (u ) uma sucessão de termos positivos e supoha-se que existe =lim u +1 u. (a) Se <1 etão a série 1 u é covergete. (b) Se >1 etão a série 1 u é divergete. (c) Se =1ada se pode cocluir quato à atureza da série 1 u.

38 C-CritériodeCauchy(oudaraíz) Este critério, de aplicação muito frequete, é também motivado pela simplicidade das séries geométricas. Por comparação com a série geométrica r, r 0 1 que coverge quado r [0, 1[, podemos cocluir que também coverge qualquer série u, u 0, que verifique ou seja, 1 u r, r < 1 ( p), u r < 1 ( p).

39 A formulação deste resultado em termos de limite coduz a um resultado de aplicação muito simples. Teorema [Critério de Cauchy (ou da raíz)] Seja (u ) uma sucessão de termos ão egativos e supoha-se que existe =lim u. (a) Se <1 etão a série 1 u é covergete. (b) Se >1 etão a série 1 u é divergete. (c) Se =1 u. 1 etão ada se pode cocluir quato à atureza da série

40 2.5 Covergêcia absoluta e covergêcia simples. Séries alteradas Cosideremos uma série u cujos termos têm sial arbitrário. Formemos a correspodete série dos módulos, u, que é obviamete uma série de termos ão egativos, para a qual valem todos os resultados apresetados a Subsecção 2.4. Teorema Se a série covergete. u é covergete etão a série u também é

41 Demostração Basta mostrar que a série (u + u ) é covergete, uma vez que, sedo (u + u ) u, u = cocluímos de imediato que a série u é covergete. Para todo N, umavezqueu u, podemos escrever 0 u + u 2 u. Mas, sedo 2 u uma série covergete, por comparação, também asérie (u + u ) é covergete.

42 Dizemos que uma série u é absolutamete covergete quado a correspodete série dos módulos, u, é covergete. Quado uma série é covergete mas ão é absolutamete covergete, dizemos que é simplesmete covergete. Observação Se uma série é absolutamete covergete etão é covergete. O recíproco é falso. Há séries covergetes que ão são absolutamete covergetes. Veremos que a série harmóica alterada ( 1) +1 = é covergete mas ão é absolutamete covergete. A correspodete série dos módulos, ( 1) +1 = 1, é a série harmóica que é divergete. 1 1

43 Exemplo (a) Uma série covergete com termos de sial costate é absolutamete covergete. (b) 1( 1) +1 1 é absolutamete covergete. 2 De facto, a sua série dos módulos, 1 covergete. 1, é uma série de Riema 2 (c) se 7 é absolutamete covergete. 1 Como 0 se 1, N, 7 7 e 1 é uma série de Riema covergete, por comparação 7 1 coclui-se que a série dos módulos da série dada é covergete.

44 Séries alteradas Etre as séries com termos de sial variável, destacam-se aquelas cujos termos são alteradamete positivos e egativos. Estas séries apresetam a forma geral ( 1) +1 a = a 1 a 2 + a 3 a 4 + a 5 ou 1 ( 1) a = a 1 + a 2 +a 3 + a 4 a ode a > 0, N, e desigam-se por séries alteradas. Quato à atureza de uma série alterada, pode acotecer que ( 1) +1 a seja absolutamete covergete, quado a corespodete série dos módulos é covergete, seja simplesmete covergete, quado a série dos módulos é divergete mas a série alterada coverge, ou seja divergete.

45 Um resultado muito útil para estudar séries alteradas, sobretudo quado a correspodete série dos módulos é divergete, é o seguite. Teorema [Critério de Leibitz (codição suficiete de covergêcia das séries alteradas)] Seja (a ) uma sucessão decrescete,istoé, a 1 a 2 a 3 a 4 a, e tal que Etão a série lim a =0. ( 1) +1 a é covergete.

46 Demostração Seja (s ) a sucessão das somas parciais da série ( 1) +1 a, s = a 1 a 2 + a 3 a 4 + +( 1) +1 a, N. Vejamos que (s ) é u m a s u c e s s ã o covergete. A ideia é a seguite: os termos da sucessão (s ) avaçam e recuam, mas a difereça etre eles é cada vez meor. a 6 0 a 2 s 2 a 4 s 4 s 6 a 5 s 5 a 3 s 3 s 1 a 1

47 Cosideremos a subsucessão (s 2 ) dos termos de ordem par, s 2 = a 1 a 2 + a 3 a a 2 1 a 2 =(a 1 a 2 )+(a 3 a 4 )+ +(a 2 1 a 2 ). Como a k a k+1 0, por ser (a ) decrescete, podemos cocluir que 0 < s 2 s 4 s 2 isto é, a sucessão (s 2 ) é de termos positivos e crescete. Por outro lado, s 2 = a 1 (a 2 a 3 ) (a 4 a 5 ) (a 2 2 a 2 1 ) a 2 e coclui-se que s 2 a 1. Ou seja, a sucessão (s 2 ) é moótoa e limitada, logo covergete. Seja S oseulimite, lim s 2 = S.

48 Para a sucessão dos termos de ordem ímpar tem-se s 2 1 = s 2 a 2. Por ser lim a =0, cocluímos que a sucessão (s 2 1 ) também é covergete e tem o mesmo limite S. Logo, lim s = S easérie ( 1) +1 a é covergete. Observação O resultado euciado este teorema cotiua válido quado a sucessão (a ) é decrescete apeas a partir de uma certa ordem p N.

49 Exemplo (a) Asérie ( 1) +1 é simplesmete covergete. 1 A série dos módulos é a série harmóica, logo divergete. Como 1 1 lim =0 e é decrescete, usado o critério de Leibitz, cocluímos que esta série é covergete. (b) Asérie 1 ( 1) +1 é simplesmete covergete. Semelhate ao exemplo aterior. (c) Asérie 1 ( 1) +1 4 é absolutamete covergete. A série dos módulos é a série de Riema covergete.

50 Observação O critério de Leibitz é uma codição suficiete de covergêcia, pelo que ada se poderá cocluir quado falha alguma das hipóteses. Saliete-se, o etato, que quado a 0, a série alterada é divergete, já que também ( 1) +1 a 0 (codição suficiete de divergêcia). Os casos mais complexos são aqueles em que a 0 mas (a ) ão é decrescete.

51 Exemplo (a) Asérie ( 1) é divergete. Basta ateder a que ão existe lim ( 1) (b) Asérie 1( 1) +1 1/ 2 se par a, com a = 1/ 3 se ímpar, coverge absolutamete. Basta ateder a que a série dos módulos, por comparação, é covergete, uma vez que 0 < a 1, N, 2 eque 1 é uma série de Riema covergete. 2 1 Repare-se que o critério de Leibitz ão é aplicável à série proposta, uma vez que a sucessão (a ) ão é decrescete a partir de ordem alguma.

52 Resto de uma série alterada Excepto em casos particulares simples, como os da série geométrica e da série de Megoli, a teoria estudada apeas os idica se a série é ou ão covergete, mas ão os forece ehum método para calcular exactamete o valor da soma (quado existe). Nas aplicações práticas, tora-se etão ecessário determiar valores aproximados da soma S, isto é, substituir o valor de S pela soma S m de um úmero fiito m de termos. Éclaroqueaaproximaçãoserátatomelhorquatomaiorform. Escrevedo u =1 S = m =1 u S m + =m+1 u R m assume especial importâcia o chamado resto de ordem m da série, R m = =m+1 u = S S m, uma vez que é o erro que se comete quado se toma o valor de S m como aproximação para o valor da soma S.,

53 No caso de uma série alterada covergete, ou =1 =1 ( 1) +1 a, com a > 0, N, ( 1) a com a > 0, N, em que lim a =0 e (a ) é d e c r e s c e t e, temos o resultado R m a m+1, ou seja, o erro que se comete é, em valor absoluto, ão superior ao primeiro termo que se despreza.

54 Basta observar que, o primeiro caso, a soma S = ( 1) +1 a verifica e, o segudo caso, para S = 0 S a 1 =1 Ou seja, podemos sempre escrever ( 1) a tem-se a 1 S 0. S a 1. =1 Orestodeordemm, sedoumasériealterada, R m = =m+1 ( 1) +1 a verifica, portato, R m a m+1.

55 Exemplo Cosideremos a série harmóica alterada ( 1) +1 1 = que sabemos ser covergete. Podemos escrever este caso R m 1 m +1. Supodo que pretedíamos obter a soma com erro iferior a , bastaria escolher m de forma que 1 m +1 < ou seja, m +1> Portato, podemos garatir que a soma 2000 =1 ( 1) +1 = aproxima a soma da série harmóica alterada com erro iferior a

56 2.6 Séries de potêcias Neste secção vamos estudar séries em que a sucessão geradora evolve um variável. Sedo a 0, a 1, a 2,... costates e x uma variável, asérieda forma =0 a x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + desiga-se por série de potêcias de x. Substituido a variável x por uma costate obtém-se uma série umérica que pode ser covergete ou divergete. Dada uma série de potêcias, o problema fudametal é pois o de determiar os valores de x para os quais a série umérica resultate dessa substituição é covergete.

57 Exemplo (a) Qualquer série de potêcias de x coverge para x =0,umavezque, este caso, a série reduz-se ao primeiro termo. (b) A série de potêcias x 1 ão coverge para mais ehum valor de x além de x =0. (c) Asérie 1 x! coverge para todos os valores reais de x. Para ver que assim acotece, apliquemos o critério de D Alembert à série dos módulos. Obtemos x +1 (+1)! 1 lim x =lim x +1 =0.! e cocluímos que a série é absolutamete covergete qualquer que seja x.

58 Teorema Se a série de potêcias =0 a x coverge para x = x 0 =0, etão coverge absolutamete para todos os valores de xtaisque x < x 0. Demostração Se =0 a x 0 coverge etão a x0 coverge (o limite é zero) sedo, portato, limitada. Ou seja, M R + : a x 0 M, N Observe-se que 0 a x = x a x0 M x. x 0 x 0

59 Temos, etão, Se temos que =0 M x x 0 0 a x M x. x < 1, x 0 x 0 é uma série geométrica covergete e, pelo primeiro critério de comparação, coclui-se que a série Logo, a série =0 =0 a x é covergete. a x é absolutamete covergete para x < x 0.

60 Observação 1. A covergêcia da série em algum poto x = x 0 =0 implica a covergêcia absoluta para x ] x 0, x 0 [, se x 0 > 0, ou x ]x 0, x 0 [, se x 0 < 0, ou seja, o cojuto de valores de x em que a série é covergete tem de ser um itervalo cetrado em x =0. 2. Se a série ão coverge para x = x 0 =0, etão ão coverge para qualquer valor x 1 tal que x 1 > x 0, como resulta do teorema aterior.

61 Corolario Dada uma série de potêcias seguites afirmações: =0 (a) asériecoverge apeas para x =0. a x,éverdadeiraumaeumasódas (b) a série coverge absolutamete para todos os valores de x. (c) a série coverge absolutamete para todos os valores de x em algum itervalo aberto ] R, R[ e diverge para x < R ex> R. Neste caso, os potos x = Rex= R asériepodeser absolutamete covergete, simplesmete covergete ou divergete.

62 Defiição O úmero real positivo R eoitervalo] R, R[ desigam-se por raio de covergêcia e itervalo de covergêcia da série de potêcias a x,respectivamete. =0 De acordo com o teorema apresetado, o itervalo de covergêcia da série =0 a x deve ser de uma das formas: (a) um poto isolado x = 0 (itervalo degeerado [0, 0]), sedo R = 0; (b) arectareal], [, sedo R =; (c) um itervalo cetrado em 0, [ R, R], [ R, R[, ] R, R] ou ] R, R[.

63 Raio de covergêcia O raio de covergêcia, R, pode usualmete ser determiado aplicado o critério de D Alembert (ou da razão) à série de potêcias. Se etão a série lim a +1 x +1 a x =0 =lim a +1 a x = a +1 lim x a a x coverge absolutamete para x tal lim a +1 a x < 1 x < 1 a +1 ode =lim a.asériediverge se x > 1. existe,

64 Assim, se a série de potêcias =lim a +1 a =0 existe ou = a x tem raio de covergêcia R = 1. (Note-se que se = 0, etão R = ese =, etãor = 0.) Os potos x = R e x = R têm de ser estudados separadamete.

65 Para além das séries de potêcias de x estamos também iteressados em séries de potêcias de (x c),istoé,sériesdaforma =0 a (x c) = a 0 + a 1 (x c)+a 2 (x c) 2 + a 3 (x c) 3 + Fazedo uma mudaça de variável dada por X = x c, obtém-se, a partir da série aterior, uma série de potêcias de X, =0 a X, à qual se podem aplicar os resultados apresetados.

66 Assim, o itervalo de covergêcia da série de potêcias de x c, =0 a (x c), deve ser de uma das formas: (a) um poto isolado x = c (itervalo degeerado [c, c]), sedo R = 0; (b) arectareal], [, sedo R =; (c) um itervalo cetrado em c, [c R, R + c], [c R, c + R[, ]c R, c + R] ou ]c R, R + c[.

67 Operações algébricas com séries de potêcias Teorema Sejam =0 a x e =0 b x séries de potêcias de x com raios de covergêcia R a e R b, respectivamete, e seja c R. Etão (a) (ca )x tem raio de covergêcia R a e, em caso de =0 covergêcia, (ca )x = c a x. =0 =0 (b) (a + b )x tem raio de covergêcia R mi{r a, R b } e, em =0 caso de covergêcia, (a + b )x = a x + =0 =0 =0 b x

68 No que diz respeito à multiplicação de séries de potêcias, a situação é mais complexa. Não faremos a demostração do resultado que vamos apresetar a seguir. Amultiplicaçãologa da forma (a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + )(b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + b 3 x 3 + )= = a 0 b 0 +(a 0 b 1 + a 1 b 0 )x +(a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0 )x 2 + +(a 0 b 3 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 3 b 0 )x 3 + leva-os à cojectura a x b x = ode =0 =0 =0 c x c = a 0 b + a 1 b 1 + a 2 b a b 0 = a j b j. j=0

69 Àsérie =0 c x chamamos o produto de Cauchy das séries =0 a x e =0 b x. Tal como a soma, o produto de Cauchy tem raio de covergêcia R mi{r a, R b }. A divisão etre séries de potêcias pode ser realizada, mas ão existe ehuma regra simples para determiar os coeficietes da série quociete.