BÁRBARA DENICOL DO AMARAL RODRIGUEZ CINTHYA MARIA SCHNEIDER MENEGHETTI CRISTIANA ANDRADE POFFAL SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS. 1 a Edição

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1 BÁRBARA DENICOL DO AMARAL RODRIGUEZ CINTHYA MARIA SCHNEIDER MENEGHETTI CRISTIANA ANDRADE POFFAL SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 1 a Edição Rio Grade 2017

2 Uiversidade Federal do Rio Grade - FURG NOTAS DE AULA DE CÁLCULO Istituto de Matemática, Estatística e Física - IMEF Bárbara Rodriguez Cithya Meeghetti Cristiaa Poffal lemas.furg.br 2 Notas de aula de Cálculo - FURG

3 Sumário 1 Sequêcias Numéricas Uma breve itrodução Sequêcias uméricas Covergêcia de sequêcias uméricas Calculado limites de sequêcias Sequêcias moótoas Sequêcia limitada Sequêcia moótoa e limitada Lista de Exercícios

4 Capítulo 1 Sequêcias Numéricas 1.1 Uma breve itrodução A palavra sequêcia é usualmete empregada para represetar uma sucessão de objetos ou fatos em uma ordem determiada. Essa ordem pode ser de tamaho, de lógica, de ordem croológica, etre outros. Em matemática é utilizada comumete para deotar uma sucessão de úmeros cuja ordem é determiada por uma lei ou fução que é chamada de termo geral da sequêcia ou lei de recorrêcia. A teoria de séries é uma ferrameta matemática importate a resolução de equações difereciais e a obteção de resultados em computação umérica. Para desevolver a teoria de séries, estudam-se primeiro as chamadas sequêcias ifiitas. Sequêcias e séries de fuções tiveram seu estudo impulsioado a partir das cotribuições de Newto ( ) e Leibiz ( ). Ambos desevolveram represetações de séries para fuções. Usado métodos algébricos e geométricos, Newto determiou as séries de potêcias para as fuções trigoométricas se(x) e cos(x) e para a fução expoecial. Ele utilizou séries para desevolver muitos resultados do Cálculo, tais como área, comprimeto de arco e volumes. Para calcular áreas, por exemplo, ele, frequetemete, itegrava uma fução, primeiramete expressado-a como uma série, e etão itegrado cada termo. 1.2 Sequêcias uméricas Uma sequêcia umérica, ou simplesmete, uma sequêcia, é uma sucessão de úmeros. Ela pode ser pesada como uma lista de úmeros escritos em uma 4

5 1.2. SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS ordem defiida a 1, a 2, a 3,..., a,.... Os valores a 1, a 2, a 3,..., a,... são chamados termos da sequêcia. úmero a 1 é chamado de primeiro termo, a 2 é o segudo termo e, em geral, a é dito o -ésimo termo. Observação Em algumas ocasiões é coveiete deotar o primeiro termo da sequêcia por a 0. Neste caso, a sequêcia tem a forma: a 0, a 1, a 2,..., a,.... Defiição Uma sequêcia de úmeros reais (a ) é uma fução a : N R que associa a cada úmero atural um úmero real a. Observação A otação (a ) é utilizada com frequêcia ao logo deste texto para deotar uma sequêcia. Também pode-se escrever (a ) N, (a 1, a 2, a 3,...), {a } ou simplesmete a, os dois últimos supõe-se que 1. Pode-se também usar quaisquer outras letras, como por exemplo (b ) ou (c ). Exemplo Iiciado em = 1, escreva os cico primeiros termos de cada uma das seguites sequêcias cujos -ésimos termos são represetados por a) a = 3 + ( 1) b) b = c) c = d) d = 1 2. Solução: a) a = 3 + ( 1) sequêcia, isto é: a 1 = 3 + ( 1) 1 = 2; a 2 = 3 + ( 1) 2 = 4; a 3 = 3 + ( 1) 3 = 2; a 4 = 3 + ( 1) 4 = 4; a 5 = 3 + ( 1) 5 = 2. Substitui-se o valor de a expressão de a para obter os termos da Assim, os cico primeiros termos da sequêcia são: 2, 4, 2, 4, 2. 5 Notas de aula de Cálculo - FURG O

6 1.2. SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS b) b = da sequêcia: b 1 = = 2 2 ; b 2 = = 4 3 ; b 3 = = 6 4 ; b 4 = = 8 5 ; b 5 = = c) c = da sequêcia: c 1 = = 1; c 2 = = 4 3 ; c 3 = = 9 7 ; c 1 = = ; c 1 = = d) d = 1 2 sequêcia: d 1 = = 1 2 ; d 2 = = 1 4 ; d 3 = = 1 8 ; d 4 = = 1 16 ; Substitui-se o valor de a expressão de b para calcular os termos Logo, os cico primeiros termos da sequêcia são: 2 2, 4 3, 6 4, 8 5, Aplica-se o valor de a expressão de c para determiar os termos Portato, os cico primeiros termos da sequêcia são: 1, 4 3, 9 7, 16 15, Na expressão de d, aplica-se o valor de para calcular os termos da 6 Notas de aula de Cálculo - FURG

7 1.2. SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS d 5 = = Cosequetemete, os cico primeiros termos da sequêcia são: 1 4, 1 8, 1 16, Exemplo Começado em = 1, determie uma expressão para o -ésimo termo das sequêcias em fução de : a) 1, 4, 7, 10,... b) 2 3, 3 4, 4 5, 5 6,... c) 2, 1, 1 2, 1 4, 1 8,... d) 2, , , , ,.... Solução: a) 1, 4, 7, 10,... Aalisado a sequêcia, observa-se que se trata de uma progressão aritmética (PA) que iicia em a 1 = 1 e tem razão 3, pois a difereça etre um termo e seguite é de 3 uidades. isto é, a = 3 2. b) 2 3, 3 4, 4 5, 5 6,... O termo geral da PA é a = a 1 + ( 1)r, logo, a = 1 + ( 1) 3, Neste caso, verifica-se que os umeradores formam uma sequêcia de úmeros aturais iiciado em 2. Os deomiadores também, etretato iicia em 3. Assim, escreve-se o termo geral da sequêcia como: a = c) 2, 1, 1 2, 1 4, 1 8,... Neste caso, percebe-se a alterâcia de siais positivo e egativo, o que acarreta a preseça do termo ( 1) +1, uma vez que a sequêcia iicia em 1. Este termo deve multiplicar 2 2 para produzir as potêcias do úmero 2. Portato, o termo geral da sequêcia é a = ( 1) , 7 Notas de aula de Cálculo - FURG

8 1.3. CONVERGÊNCIA DE SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS d) 2, , , , ,.... A partir do segudo termo, tem-se 1 + 1, como a sequêcia iicia em = 1 verifica-se que a expressão serve desde o primeiro termo. Logo, escreve-se a = Observação Nem sempre é possível represetar o termo geral de uma sequêcia por uma fórmula. Observe o exemplo da sequêcia dos úmeros primos, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53,.... Não existe uma fórmula para o termo geral da sequêcia dos úmeros primos, mas todos eles estão determiados e podem ser ecotrados, por exemplo, pelo chamado crivo de Erastóstees. 1.3 Covergêcia de sequêcias uméricas Sequêcias cujos termos se aproximam de um valor limite são ditas covergetes, equato que sequêcias que ão possuem limites são ditas divergetes. Defiição A sequêcia (a ) coverge para o úmero L se lim a = L ou a L quado +, + isto é, para todo úmero positivo ɛ existe um úmero iteiro N tal que para todo > N a L < ɛ. O úmero L é dito limite da sequêcia. Se este úmero L ão existe, dizemos que (a ) diverge. Observação Ao represetar os potos (, a ) o plao cartesiao, pode-se observar que a covergir para L sigifica que para todo ɛ > 0, existe um poto a sequêcia a partir do qual todos os termos estão etre as retas y = L ɛ e y = L+ɛ. Exemplo Cosidere a sequêcia cujo termo geral é a = lim a = Neste caso, Notas de aula de Cálculo - FURG

9 1.4. CALCULANDO LIMITES DE SEQUÊNCIAS De fato, seja ɛ > 0, observe que < ɛ < ɛ > 1 ɛ 1. A última desigualdade sugere escolher N como o primeiro atural maior do que 1 1. Observe que outro úmero atural maior do que este N estabelecido também ɛ atede a defiição de covergêcia. Exemplo Iiciado em = 1 represete graficamete a sequêcia (a ) = ( + 1), aalisado o seu comportameto. Figura 1.1: Sequêcia (a ) = ( + 1) Observado o gráfico, pode-se cofirmar que a sequêcia diverge. 1.4 Calculado limites de sequêcias Como sequêcias são fuções reais cujo domíio está restrito aos iteiros positivos, propriedades e teoremas para limites de fuções estudadas durate o curso de Cálculo Diferecial possuem versões para sequêcias uméricas. A seguir estão euciadas algumas das propriedades para o cálculo de limites. Sejam (a ) e (b ) sequêcias de úmeros reais covergetes e tais que lim (a ) = L, lim (b ) = M e L, M e c úmeros reais Regra da soma: lim + (a + b ) = L + M. 2. Regra da difereça: lim + (a b ) = L M. 9 Notas de aula de Cálculo - FURG

10 1.4. CALCULANDO LIMITES DE SEQUÊNCIAS 3. Regra do produto: lim + (a b ) = L M. 4. Regra da multiplicação por uma costate: lim (c a ) = c L. + ) 5. Regra do quociete: lim + ( a b = L, se M 0. M Teorema Teorema para covergêcia de sequêcias uméricas. a) Se c < 1, etão lim + c = 0. b) Se c > 1, etão (c ) diverge. c) Se c = 1, etão lim + 1 = 1. O teorema a seguir os permite aplicar a regra de L Hospital para ecotrar o limite de algumas sequêcias. Teorema Supoha que f(x) seja uma fução defiida para todo x > 0, ode 0 N fixo. Seja (a ) uma sequêcia de úmeros reais tal que a = f() para todo > 0. Etão, Demostração: lim f(x) = L lim a = L. x + + Supoha que lim f(x) = L. Etão, para cada úmero positivo ɛ existe x + um úmero M tal que para todo x, x > M f(x) L < ɛ. Seja 0 um úmero iteiro maior tal que 0 M. Etão, > 0 a = f() e a L = f() L < ɛ. Exemplo Se possível, calcule os limites das sequêcias cujos -ésimos termos são: a) a = 1 2 b) b = ( 1) c) c = d) d = se ( π 2). 10 Notas de aula de Cálculo - FURG

11 1.4. CALCULANDO LIMITES DE SEQUÊNCIAS Solução: a) a = 1 2 x O limite pode ser escrito como lim, cosiderado que x R. x + 1 2x x Neste caso, pode-se utilizar a regra de L Hospital, lim x + 1 2x = 1 2. b) b = ( 1) Portato, a sequêcia a coverge para 1 2. O limite lim b ão existe, pois para par, resulta 1 e para ímpar, + resulta 1. Logo, diz-se que a sequêcia diverge. c) c = O limite desta sequêcia pode ser escrito como lim c = lim + isto é: lim c = lim + ( π 2) d) d = se 2 3 = 1 3 lim + ( ) 2 = 0, pelo Teorema , Pode-se reescrever o limite desta sequêcia de modo a obter o limite se(x) fudametal lim. x 0 x ( π se Assim, escreve-se: lim d = lim 2). Multiplica-se o umerador e o deomiador da fração por π 2, defie-se a ova variável x = π é Esta ova variável tede a zero quado tede a. O ovo limite lim d x = π x 0 2 lim se(x) x 0 x = π 2. Portato, a sequêcia d coverge para π 2. Exemplo Determie o -ésimo termo da sequêcia e verifique se a mesma é covergete ou divergete. Solução: a = 2, 4 3, 8 5, 16 7, 32 9, Notas de aula de Cálculo - FURG

12 1.4. CALCULANDO LIMITES DE SEQUÊNCIAS Iicia-se com a determiação do termo geral da sequêcia através da aálise dos termos dados. Verifica-se que o umerador cotém potêcias de 2, iiciado em = 1, isto é, pode-se escrever 2. Já a sequêcia dos deomiadores é composta pelos úmeros ímpares, ou seja, 2 1. Portato, o termo geral da sequêcia é a = A covergêcia ou ão da sequêcia é obtida através do cálculo do limite do -ésimo termo quado tede a ifiito. Com o ituito de usar o Teorema 1.4.2, escreve-se para x R: lim x 2 x Logo, a sequêcia a = 2x 1 = lim 2 x l(2) x diverge. = +. Teorema (Teorema do Cofroto ou Saduíche para sequêcias) Seja 0 N. Se a b c para todo > 0 e etão lim a = lim c = L, + + lim b = L. + Demostração. A demostração é aáloga ao Teorema do Cofroto para fuções. Observação Suprimido-se de uma sequêcia (a ) um úmero fiito de seus termos, o caráter da sequêcia, com tededo ao ifiito, ão será alterado. Assim, se a sequêcia origial coverge para L ou diverge, a ova sequêcia terá o mesmo comportameto, ou seja, covergirá para L ou divergirá, respectivamete. Exemplo Aplicado o teorema do cofroto, calcule os limites das sequêcias: a) a = cos() b) b = 1 2 c) c = ( 1) 1. Solução: 12 Notas de aula de Cálculo - FURG

13 1.5. SEQUÊNCIAS MONÓTONAS a) a = cos() chega-se a: Sabe-se que 1 cos() 1, logo, dividido a desigualdade por, 1 cos() 1. 1 Como lim + = lim 1 = 0, aplicado o Teorema do Cofroto, + obtém-se que cos() lim = 0. + b) b = 1 2 Sabe-se que , logo, pelo Teorema do Cofroto, escreve- se: c) c = ( 1) 1 Portato, a sequêcia coverge para 0. lim 0 lim lim Cosequetemete, lim = 0. A sequêcia coverge para Sabe-se que 1 ( 1) 1. 1 Como lim + = lim 1 = 0, aplicado o Teorema do Cofroto, + obtém-se que ( 1) lim = 0. + Assim, a sequêcia coverge para Sequêcias moótoas Defiição Uma sequêcia (a ) é deomiada ão-decrescete se, para todo o úmero atural, a a +1, isto é, a 0 a 1 a 2 a 3... a.... Defiição Uma sequêcia (a ) é deomiada crescete se, para todo o úmero atural, a < a +1, isto é, a 0 < a 1 < a 2 < a 3 <... < a <.... Defiição Uma sequêcia (a ) é deomiada ão-crescete se, para todo o úmero atural, a a +1, isto é, a 0 a 1 a 2 a 3... a Notas de aula de Cálculo - FURG

14 FURG - IMEF - FURG - IMEF - FURG - IMEF - FURG - IMEF - FURG - IMEF - FURG - IMEF - FURG - IMEF - F FURG - IMEF - FURG - IMEF - FURG - IMEF - FURG - IMEF - FURG - IMEF - FURG - IMEF - FURG - IMEF - F 1.5. SEQUÊNCIAS MONÓTONAS Defiição Uma sequêcia (a ) é deomiada decrescete se, para todo o úmero atural, a > a +1, isto é, a 0 > a 1 > a 2 > a 3 >... > a >.... Defiição Uma sequêcia (a ) é deomiada moótoa se for ão-crescete ou ão-decrescete. Exemplo Determie se cada sequêcia é crescete, decrescete ou ão ehum dos dois. a) a = 3 + ( 1) b) b = c) c = Solução: a) a = 3 + ( 1) Aalisado os primeiros termos da sequêcia, isto é, 2, 4, 2, 4,... e assim sucessivamete, verifica-se que a sequêcia ão é crescete e em decrescete. b) b = Os primeiros termos da sequêcia são 1, 4 3, 6 4, 8 5, 10 6,... Suspeita-se que a sequêcia seja crescete. Com o ituito de cofirmar o resultado, calcula-se a difereça b +1 b, caso seja positiva, a sequêcia é crescete: a sequêcia é crescete. c) c = Calcula-se a difereça c +1 c para verificar se a sequêcia é crescete ou decrescete: b +1 b = = 2 ( + 2)( + 1). Como o resultado obtido é positivo para 1, pode-se afirmar que c +1 c = = 7 (3 + 1)(3 2). Como o resultado obtido é egativo para 1, coclui-se que a sequêcia c é decrescete. 14 Notas de aula de Cálculo - FURG

15 1.5. SEQUÊNCIAS MONÓTONAS Sequêcia limitada Defiição Uma sequêcia (a ) é limitada se existe um úmero real positivo M tal que a M, N. O úmero M é chamado de cota superior da sequêcia (a ). Teorema Se (a ) é uma sequêcia covergete, etão (a ) é limitada. Demostração. Seja (a ) uma sequêcia covergete com limite L. Pela defiição de limite: seja ɛ = 1, etão existe um valor 0 a L < 1. Aplicado a desigualdade triagular, tem-se N a partir do qual tem-se que a = a L + L a L + L < 1 + L, 0. (1.5.1) Os úicos termos da sequêcia (a ), que possivelmete, ão atedem à codição represetada pela equação (1.5.1) são: a 1, a 2, a 3,..., a 0 1. Cosiderado o úmero real C como o maior etre todos os úmeros 1+ L, a 1, a 2, a 3,..., a 0 1, tem-se a < C, N. Observação Pode-se verificar que uma sequêcia ão coverge, mostrado que ela ão é limitada. Etretato a recíproca do teorema ão é verdadeira, isto é, existem sequêcias que são limitadas e divergetes. Por exemplo, a sequêcia cujo termo geral é a = ( 1) é limitada, pois a 1, N, porém é divergete, uma vez que os valores desta sequêcia alteram de 1 para 1 idefiidamete e portato, ão existe lim a Sequêcia moótoa e limitada Teorema Toda sequêcia (a ) moótoa e limitada é covergete. Demostração. O teorema será demostrado para o caso de sequêcias ão-decrescetes, pois para o caso de sequêcias ão-crescetes a demostração é aáloga. Seja (a ) uma sequêcia ão-decrescete e com termos positivos. Como a sequêcia é limitada, existe uma cota superior M tal que a 1 a 2 a 3... a M. 15 Notas de aula de Cálculo - FURG

16 1.5. SEQUÊNCIAS MONÓTONAS O cojuto dos úmeros reais é completo, etão existe um valor L que é a meor das cotas superiores tal que a 1 a 2 a 3... a L. Para provar que a sequêcia coverge para L, toma-se um úmero ɛ > 0. Para ɛ > 0, L ɛ < L, e portato L ɛ ão pode ser uma cota superior para a sequêcia. Cosequetemete, existe pelo meos um a maior que L ɛ. Em outras palavras, L ɛ < a N para algum N iteiro positivo. Como (a ) é ão-decrescete, segue que a N todo > N. Portato, (a ) coverge para L. L ɛ < a N < a L < L + ɛ, > N. < a para Logo, a L < ɛ para todo > N o que sigifica, por defiição, que Exemplo Determie se cada sequêcia é limitada, moótoa, covergete. a) a = 1 b) b = ( 1). Solução: a) a = 1 Todos os termos da sequêcia a = 1 assumem valores meores ou iguais a 1, portato a sequêcia é limitada. A sequêcia também é moótoa decrescete, pois a difereça a +1 a = é egativa. Pelo Teorema 1.5.2, pode-se afirmar que a sequêcia a é covergete, pois é moótoa e limitada. Calculado 1, obtém-se o valor para o qual a sequêcia co- verge. Neste caso, zero. b) b = ( 1) lim + Todos os termos da sequêcia b = ( 1) assumem valores meores ou iguais a 1, portato a sequêcia é limitada. e assim por diate. A sequêcia ão é moótoa, pois os valores da sequêcia são 1, 1, 1, 1 16 Notas de aula de Cálculo - FURG

17 1.6. LISTA DE EXERCÍCIOS Neste caso, o Teorema ão pode ser usado para determiar se a sequêcia b é covergete. Como lim + ( 1) ão existe, diz-se que a sequêcia diverge. Algumas observações relevates para os exercícios Observação Seja um iteiro positivo, etão fatorial é defiido por! = ( 1). Observação Zero fatorial é, por defiição, igual a 1, isto é, 0! = Lista de Exercícios 1. Escreva os cico primeiros termos de cada sequêcia cujos -ésimos termos são defiidos por: a) a = + 1 b) b = ( 1) c) c = Iiciado com = 1, escreva uma expressão para o -ésimo termo das sequêcias: a) 1, 9, 25, 49, 81,... b) 1, 1 2, 1 6, 1 24, 1 120,... c) 1, 1, 1, 1, 1, 1, Iiciado em = 1 represete graficamete as sequêcias, aalisado o comportameto de cada uma delas: a) (b ) = ( 1) +1 b) (c ) = + 1 ( ) 1 c) (d ) = Determie se a sequêcias dadas covergem ou divergem. Calcule os limites os casos em que há covergêcia. 17 Notas de aula de Cálculo - FURG

18 1.6. LISTA DE EXERCÍCIOS { } 3 2 a) {a } = { ( π )} b) {b } = se 2 { } 2 c) {c } = { d) {d } = + 3 } { } ( 1) e) {f } = 7 { } 2 + l() f) {g } = { } ( 3) g) {h } =! { } l() h) {i } = 2 { } i) {k } = 3 1 j) {p } = { 2 4 } {( ) } k) {q } = 1 + { ( l) {r } = ) } { } + 5 m) {s } = { ( ) {t } = ) } 3 { } l(3 + 1) o) {u } = {( p) {v } = ) } { } 3 q) {z } = { } r) {α } = + 1 { } s) {β } = 2 + { } (2)! t) {φ } = (!) 2 { } + ( 1) u) {ψ } = ( 1) 18 Notas de aula de Cálculo - FURG

19 1.6. LISTA DE EXERCÍCIOS v) {σ } = { 2 ( 1) } { } l( 2 ) w) {θ } = 5. Determie se as sequêcias são moótoas. { } 4 a) {a } = + 1 { ( π )} b) {b } = se 6 { } ( 1) c) {c } = 6. Um programa goverametal, que custa atualmete R$2, 5 bilhões ao ao, vai sofrer um corte em seu orçameto em relação à verba origial de 20% ao ao. a) Expresse a quatia orçada para esse programa após aos. b) Calcule os orçametos para os quatro primeiros aos. c) Determie se a sequêcia de orçametos com esse corte coverge ou diverge. Se ela covergir, calcule o seu limite. Respostas da Lista de Exercícios 1. a) 2 1, 3 2, 4 3, 5 4, 6 5. b) 1, 2, 3, 4, 5. c) 2 3, 4 5, 8 9, 16 17, a) (2 1) 2. b) 1!. c) ( 1) a) (b ) = ( 1) Notas de aula de Cálculo - FURG

20 1.6. LISTA DE EXERCÍCIOS b) (c ) = + 1 c) (d ) = 1 + ( ) a) coverge para 3 4. b) diverge. c) coverge para 0. d) diverge. e) coverge para 0. f) coverge para 0. g) coverge para 0. h) coverge para 0. 2 i) coverge para 3. j) coverge para 1. k) coverge para e 1. l) coverge para e 1. m) coverge para 1. ) coverge para e Notas de aula de Cálculo - FURG

21 1.6. LISTA DE EXERCÍCIOS o) coverge para 0. p) coverge para e. q) coverge para 1. r) coverge para 0. s) coverge para 1 2. t) diverge. u) coverge para 1. v) diverge. w) coverge para a) a é moótoa crescete. b) b ão é moótoa. c) c ão é moótoa. 6. a) 2, 5 (0, 8) b) 2 bilhões; 1, 6 bilhões; 1, 28 bilhões; 1, 024 bilhões c) coverge para Notas de aula de Cálculo - FURG