1. Em cada caso abaixo, encontre os quatro primeiros termos da sequência: p n (c) cn = ( 1) n n:
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- Lucca Martins Sintra
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1 . SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS SÉRIES & EDO :::: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: TERMO GERAL & CLASSIFICAÇÃO. Em cada caso abaixo, ecotre os quatro rimeiros termos da sequêcia: (a) a = 2 (b) b = + (c) c = ( ) : 2. Faça um grá co que reresete os rimeiros termos da sequêcia a = ligados or segmetos + de retas e veri que quatos otos da forma (; a ) estão fora da faixa horizotal determiada elas retas y = 4=5 e y = 6=5: 3. Dê exemlo de uma sequêcia fa g ; ão costate, ara ilustrar cada situação abaixo: (a) Limitada e Crescete. (b) Limitada e Decrescete. (c) Limitada e ão Moótoa. (d) Não Limitada e ão Crescete. (e) Não Nimitada e ão Moótoa. (f) Moótoa e ão Limitada. 4. Costrua uma sequêcia limitada e ão moótoa, que ossua uma subsequêcia crescete. 5. Exresse elo seu termo geral cada sequêcia dada abaixo: (a) ; =2; =3; =4; : : : (b) ; 0; ; 0; ; : : : (c) =2; =4; =8; =6; : : : (d) 0; 2; 0; 2; 0; 2; 0; : : : (e) ; 9; 25; 49; 8; : : : (f) 0; 3=2; 2=3; 5=4; 4=5; 7=6 : : : (g) 0; 3; 2; 5; 4; : : : (h) ; 3=2; 2; 5=2; 3; : : : (i) 4; 2; 4; 2; : : : 6. Classi que as sequêcias do Exercício 5 quato à limitação e mootoia e selecioe de (e), (f) e (i) uma subsequêcia crescete. Qual daquelas sequêcias ossui uma subsequêcia costate? 7. Cosidere as fuções f (x) = cos x, g (x) = se x e h (x) = ( + x). Ecotre exressões ara as derivadas de ordem dessas fuções, o oto x = 0.
2 2 SÉRIES & EDO MARIVALDO P. MATOS 8. Determie o su e o if das seguites sequêcias: (a) a = (b) a = 2! (f) a = l (g) a = 2 + : (c) a = (d) a = (e) a = Costrua uma sequêcia fa g cuja distâcia etre quaisquer dois termos cosecutivos é igual Dê exemlo de uma sequêcia fa g com as seguites características: os termos de ordem ar estão etre 3 e 4, os termos de ordem ímar estão etre 4 e 5, mas a se aroxima do úmero 4, à medida que o ídice vai aumetado.. Cosidere a sequêcia de termo geral a = se (2+2) 3. Escreva os 0 rimeiros termos da sequêcia fa g e calcule a 20 : 2. Se a = ( ) + 2=; 2 N, calcule o valor de: 2 su (a ) + 3 if (a ) :.2. :::: ::::::::::::::::::::::::::::::::::: SEQUÊNCIAS CONVERGENTES. Falso (F) ou verdadeiro (V)? Procure justi car as a rmações falsas com um cotraexemlo. (a) Toda sequêcia covergete é limitada. (b) Toda sequêcia limitada é covergete. (c) Toda sequêcia limitada é moótoa. (d) Toda sequêcia moótoa é covergete. (e) A soma de duas sequêcias divergetes é divergete. (f) Toda sequêcia divergete é ão moótoa. (g) Se uma sequêcia covergete ossui uma i idade de termos ulos, seu limite é zero. (h) se uma sequêcia ossui uma subsequêcia covergete, ela rória coverge (i) Uma sequêcia alterada é ecessariamete divergete. (j) Toda sequêcia decrescete limitada é covergete e seu limite é zero. (k) Se uma sequêcia fa g diverge, etão fja jg também diverge.
3 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 3 (l) Se ja + a j! 0, etão fa g é covergete. () Se a sequêcia fja jg coverge ara zero, etão fa g também coverge ara zero. (o) Se a b ; 8; fa g crescete e fb g covergete, etão fa g coverge. () Se fa g é covergete, etão f( ) a g também coverge. (q) A sequêcia fa g de ida or a = e a + = a + é covergete. (r) A sequêcia fa g de ida or a = e a + = a é covergete. (s) Se a 6= 0; 8; e lim a +! a = l <, etão lim a = 0:! (t) Se ja + a j = ; 8; etão fa g é divergete. (u) Se ( ) a é covergete e a > 0; 8, etão a! 0: (v) Se fa g é decrescete e a > 0; 8 0; etão fa g coverge. 2. Dê exemlo de duas sequêcias fa g e fb g ; com lim! a = 0; e tal que fa b g seja divergete. Por que isso ão cotradiz o Critério do Limite Zero? 3. Usado a de ição de limite, rove que: (a) lim! 2 = 2 5 (b) lim = 0 (c) lim 2 + = 2:! 2 + 3! 4. Calcule o limite das seguites sequêcias: (a) + (f) + 3 (b) (c) l e (d) ! + e 2 (g) 5 (h)! e e (i) (e) + (j) (k) = (l) se (=) (m) 2 =e () 2 + (o) + () a ; a > 0 (q) 3 + ( 2) ( 2) (r)! 3 + (s) ( + ) + 5. Em cada caso veri que se a sequêcia fa g é covergete ou divergete. (t) 3 2 se 2 + 2
4 4 SÉRIES & EDO MARIVALDO P. MATOS (a) 2 + (e) (b) 2! (f)! (c) (g) 2 + (d) 3 5 ::: (2 )!2 (h) se 2 se (i) 2 + ( ) (j) Z e x dx (k)! 3 5 ::: (2 ) (l) 2 l ( + ) (m) l (e ) () cos () (o) () se (=2) 6. Prove que lim! (3 + 4 ) = = 4. Se a; b 0; mostre que lim! (a + b ) = = max fa; bg : 7. Se jrj <, use o Critério da Razão.3.7 ara mostrar que lim! r = 0: Se r >, mostre que lim! r = : E se r <? 8. Dado um úmero real r seja S = + r + r r ; 2 N: Mostre que S rs = r e se jrj < ; use essa relação e deduza que lim S =! r : Agora, ideti que a sequêcia 2; 2 q 2; 2 2 2; : : : com aquela de termo geral a = e calcule seu limite. 9. Dois rocedimetos foram usados ao calcular lim (= + = + = + + =) (soma com arcelas). Exlique qual o rocedimeto correto. (a) Simli cado a exressão: lim (= + = + + =) = lim = (b) Usado a roriedade.3.7(a): lim (= + = + + =) = lim = + lim = + + lim = = 0: 0. Mostre que lim hse(! 2 2 ) se( 3 2 ) se( 4 2 ) : : : se( i 2 ) = 0: Não use roduto de limites!. Em uma calculadora uma sequêcia é gerada itroduzido-se um úmero e ressioado-se a tecla =x. Em que codições a sequêcia tem limite?
5 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 5 2. Seja f : R! R uma fução derivável, sedo f (0) = 0: Calcule lim f(=).! Quato vale lim! 3. Seja f : R! R uma fução derivável tal que f (x) > ; 8x; e lim uma tal fução e calcule o limite da sequêcia a = l ( + f ()) : f () x! f (x) = 0: Dê exemlo de 4. Cosidere a sequêcia fa g de ida ela recorrêcia: a = e a = a + cos a ; ara 2. Mostre que fa g é moótoa limitada (covergete) e que lim a = =2: 5. Uma oulação estável de ássaros vive em três ilhas. Cada ao, 0% da oulação da ilha A migra ara ilha B, 20% da oulação da ilha B migra ara a ilha C e 5% da oulação da ilha C migra ara ilha A. Deotado or A ; B e C, resectivamete, os úmeros de ássaros as ilhas A; B e C, o -ésimo ao ates da ocorrêcia da migração e admitido a covergêcia das sequêcias fa g ; fb g e fc g, dê uma aroximação do úmero de ássaros em cada ilha aós muitos aos. RESPOSTAS & SUGESTÕES. EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMPLEMENTARES ::::. (a) ; =3; =5; =7 (b) 2 ; 3 2; 2 3; 5 2 (c) ; 2; 3; 4: 2. Os otos (; a ) ; (2; a 2 ) e (3; a 3 ) estão fora da faixa; o oto (4; a 4 ) está a froteira e a artir de = 5 todos os otos (; a ) estão detro da faixa, como sugere a gura abaixo. o 3. (a) + (b) (c) f( ) g (d) f g (e) f( ) g (f) fg : 4. A sequêcia a = ( ) é limitada e ão moótoa e a subsequêcia a 2 = 2 é crescete.
6 6 SÉRIES & EDO MARIVALDO P. MATOS 5. (a) = (b) [ + ( ) + ]=2 (c) =2 (d) + ( ) (e) (2 ) 2 (f) ( ) + = (g) ( ) + (h) + 2 (i) 3 + ( ) : 6. Limitada: (a), (b), (c), (d), (f) e (i); crescete: (e) e (h); decrescete: (a) e (c). Em (e), (f) e (i) as subsequêcias ares são crescetes e (b), (d), e (i) são as úicas que ossuem subsequêcias costates. Recorde-se que uma sequêcia ossui uma subsequêcia costate quado essa costate se reetir uma i idade de vezes. 7. f () (0) = cos(=2); g () (0) = se(=2); h () (0) = ( )! 8. Recorde-se que o í mo de uma sequêcia crescete é o seu rimeiro termo. No caso em que a sequêcia é decrescete, seu rimeiro termo é o suremo =! 2=(3 4) ( 2) = l 3 2 = 2 + su if =2 9. Cosidere sequêcia de termo geral: a = 2 ( ) : 0. Se a = 4 + ( ) + =, etão a 2 = 4 2 está etre 3 e 4, a 2 = alem dissso, lim a = 4: está etre 4 e 5 e,. a 20 = 2: 2. 2 su (a ) + 3 if (a ) = 4:.2 EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMPLEMENTARES ::::. (a) V (b) F (c) F (d) F (e) F (f) F (g) V (h) F (i) F (j) F (k) F (l) F (m) F () V (o) V () F (q) V (r) F (s) V (t) V (u) V (v) V. 2. Cosiderado as sequêcias a = = e b = 2 ; etão a sequêcia a b = é divergete com limite. Nesse caso, a sequêcia b ão é limitada, como exige o referido critério.
7 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 7 3. Vejamos o item (a), como ilustração. Temos: 2 2 < ", < ", 4 2 < ", > 4 (2 + =") : A última desigualdade sugere escolher o úmero atural 0, de modo que 0 > =2 + =4", e teremos comrovado a de ição. 4. (a) (b) 0 (c) 0 (d) 4 (e) (f) 3 e (g) /5 (h) 0 (i) 3=2 (j) e 2 (k) (l) (m) 0 () (o) 0 () (q) /3 (r) (s) 0 (t) 0 5. Recorde-se que covergir é ter limite ito. Assim, uma sequêcia (a ) é divergete quado ão tiver limite ou lim a = : (a) Divergete (lim a = ). (b) Covergete (segue do Critério da Razão que lim a = 0). (c) Covergete (lim a = 0). (d) Covergete (lim a = ). (e) Covergete (lim a = lim = =2). (f) Divergete (lim a = ). (g) Covergete (lim a = 0). (h) Covergete (lim a = 0). (i) Covergete (lim a = 0). (j) Covergete (lim a = =e). (k) Covergete (lim a = 0). (l) Divergete (lim a = ). (m) Covergete (lim a = 0). () Divergete (ão tem limite). (o) Covergete (lim a = 0). () Divergete (ão tem limite).
8 8 SÉRIES & EDO MARIVALDO P. MATOS 6. Cosiderado que lim (3=4) = 0; temos: lim (3 + 4 ) = = 4 lim + 3 = = 4: 4 7. Basta observar que: a + + a = jrj! jrj < : 8. Para comrovar a relação + r + r + + r ( r) = r é su ciete distribuir o roduto do lado esquerdo. Se jrj <, etão r! 0 e, sedo assim, lim r + r r = r r. Para r = =2, obtemos lim = e, coseqüetemete, lim a = 2: 9. O rocedimeto (b) ão está correto, orque a Proriedade.3.7(a) o úmero de arcelas é xo, isto é, ão muda com o ídice : 0. Use o Critério do Cofroto, observado que: 0 se( 2 2 ) se( 3 2 ) se( 4 2 ) : : : se( 2 ) se( 2 )! 0:. A sequêcia covergirá se o úmero x itroduzido a calculadora for igual a : 2. Usado a de ição de derivada, é fácil deduzir que lim f(=) = f 0 (0) : Para f (x) = arctg x;! temos f 0 (x) = + x 2 e daí f 0 (0) = : Assim, lim arctg(=) = :! 3. A fução f (x) = ex x 2 atede às codições exigidas e usado a regra de L Hôital ecotrase lim a = : 4. A sequêca fa g é crescete e 0 a =2. Se l = lim a, etão l = l + cos l e, assim, l = =2: 5. De acordo com o rocesso migratório, temos: A + = (0:9) A + (0:05) C ; B + = (0:) A + (0:8) B e C + = (0:95) C + (0:2) B : Deotado, resectivamete, or A; B e C os limites das sequêcias fa g ; fb g e fc g, ecotramos a ilha A, a ilha B e a ilha C.
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