Cálculo I Caderno de exercícios Três
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- Vitorino Amarante Caminha
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1 Uiversidade Nova de Lisboa Faculdade de Ecoomia Uiversidade Nova de Lisboa Semestre de Primavera 0/0 Cálculo I Cadero de exercícios Três Sucessões Todos os exercicios ão resolvidos as aulas são cosiderados trabalhos de casa, edo os aluos covidados a resolverem-os com o apoio dos docetes, se ecessário. Maria Helea Almeida Claudia Adrade Guilherme Pereira Eresto Freitas Claudia Alves
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45 4. SÉRIES Exercícios Resolvidos: - Averigúe se as seguites séries uméricas são séries geométricas. Em caso afirmativo, calcule a sua razão e, sempre que possível, a soma da série. a) " Resolução: " = u + Trata-se de uma série geométrica de razão: r = = = = + u Sigifica que a costate pela qual temos de multiplicar um termo para obter o seguite é, ou seja, o termo seguite é sempre metade do aterior. Como r = " ] ; [ u soma pela fórmula: S = = = r, a série geométrica é covergete e é possível calcular a sua b) " = Resolução: " = + = "
46 Para a série ser geométrica, teremos de ecotrar a respectiva razão, que será a u+ + costate resultate da seguite fórmula: r = = =. Como se u + obteve uma expressão que depede de ão se trata de uma costate, logo ão é uma série geométrica. O úmero pelo qual multiplicamos um termo para obter o seguite ão é sempre o mesmo, ão é fixo [ ] c) 4. ( ) " Resolução:. / [ 4. ( ) ] = 4. ( ) ' - * [ [ ] ] = % 4. + ( " = / / %&, ) " Se a série for geométrica a razão resultará da fórmula: ( ( ) ( ) + ) u+ 4. ( ) r = = = ( ) = u 4. Trata-se de uma série geométrica de razão r = geométrica é covergete e é possível calcular a sua soma: u 4 S = = = = r ' % " & 3 3 Como " ] ; [ 4 8, a série [ ] d) 7. ( ) " Resolução: " [ 7. ( ) ] = Se a série for geométrica a razão (costate) resultará da fórmula: ( ) ( ) + u r = = = ( ) = u 7. "%
47 Trata-se de uma série geométrica de razão Como r = "]; [, a série geométrica é divergete e ão é possível calcular a sua soma (ão terá soma fiita). Nota: pelo Critério Geral de Covergêcia via-se logo que esta série umérica ão era covergete pois o termo geral ( ) u = 7. ão tem limite 0. - Idique, justificado, quais das seguites séries uméricas são séries geométricas covergetes. a) ( & ' + % " + Resolução: Ates de estudar se a série é geométrica, verifiquemos à partida se o Critério Geral de Covergêcia é respeitado. Parece ser uma boa ideia Se ão for respeitado temos o trabalho facilitado pois podemos imediatamete cocluir que a série ão é covergete. Estudemos assim o limite do termo geral. + & +, + ), ), - ) = lim* ' = lim* - ' = lim * + ' = = - ( e ) lim u + + ( + + ( % + + ( " e Como limu = 0, a série ão é covergete. Logo uca será uma série e geométrica covergete. Não são ecessários cálculos adicioais de modo a perceber se a série é, ou ão, geométrica. + 8 b) " Resolução: Verifiquemos à partida se o Critério Geral de Covergêcia é respeitado. + 8 & 8 lim u = lim = lim + = % " Como lim u = 0, a série ão é covergete. Logo uca será uma série geométrica covergete. "&
48 c) ( " + ) Resolução: Verifiquemos à partida se o Critério Geral de Covergêcia é respeitado. lim u = lim = = 0 ( + ) + Como o limite do termo geral é 0 o critério é respeitado, logo ada podemos cocluir à partida sobre a atureza da série. Tato pode ser covergete ou divergete. Verifiquemos etão se a série é geométrica. u r = u + = ( + ) ( + + ) ( + ) = ( + ) ( + )( + 3) Não é série geométrica. A expressão depede de. Logo é falso que esta série umérica seja uma série geométrica covergete. d) ( 7.5) " Resolução: Verifiquemos à partida se o Critério Geral de Covergêcia é respeitado. " 5 5 (.5) = lim = 0 lim u = lim 7 =, logo a série tato pode ser covergete 7 + como divergete. Não foi muito coclusiva a aplicação do Critério Geral de Covergêcia, mas poderia ter sido Verifiquemos se é série geométrica. u r = u = 7 + = + ( + ) = 7 = 7 Trata-se de uma série geométrica de razão Como r = " ] ; [, a série 7 7 geométrica é covergete. Seria até possível calcular a sua soma, mas tal ão é pedido o exercício. "'
49 "( Exercícios Propostos: - Averigúe se as seguites séries uméricas são séries geométricas. Em caso afirmativo, calcule a sua razão e, sempre que possível, a soma da série. a) " b) " 4 3 c) +" = % & ' ( ) 5 d) = " 6 3 k k e) " = k f) " + 6 g) " h) " e i) " + ) ( j) +" = + ) ( 7 4 k) " 3 ) ( l) +" = e m) +" = ) +" = 8 ) ( 5 o) +" = 3 5 p) ( ) +" = + ) ( 3 5
50 q) ( cos" ), com " k, k iteiro % 0 se r) x "0 s) cos( ) " 4 t) ( ) % + cos& + ) ' " 3 - Cosidere as seguites séries. Determie os valores de x para os quais as séries são covergetes. a) " x = 4 b) c) ( x + ) " = 3 " = d) " 5 = ( x 3) + x e) ( tg x) " " = 0 f) ( ), 0 x x 3- Será possível garatir que as séries são covergetes? Se sim, idique as suas somas. a) +" = b) + " = c) + " = ( 9 ) e 9 )
51 4- Mostre que as seguites séries divergem. a) +" 3 = 5 + b) +" = c) + " ( % & 3 = ' d) +" = l( ) e) +" e 5 = e + 5- Sedo a e b duas séries covergetes de termos positivos, mostre ' porque razão se pode afirmar que a série " % + & a b diverge. *
52 "%&'()*+,-&./0,- "%&%'()*) &./0,3,'4.5/067/8 79':;,/3,:5,7&'48 < &./0,3,'4.5/067/8 79':;,/3,:5,7&'48= 6 &./0,3,'4.5/067/8 79':;,/3,:5,7&'48 >?@'.-./0,3,'4.5/06, &./0,:@'3,'4.5/06 A &./0,3,'4.5/067/8 79':;,/3,:5,7&'48 " 3 &./0,3,'4.5/067/87B0;,/3,:5, C &./0,3,'4.5/067/8 79':;,/3,:5,7&'48 0 &./0,3,'4.5/067/8%7B0;,/3,:5, D &./0,3,'4.5/067/8 79':;,/3,:5,7&'48 " E &./0,3,'4.5/067/8% 79':;,/3,:5,7&'48% ( &./0,3,'4.5/067/8 79':;,/3,:5,7&'48 4 &./0,3,'4.5/067/8 " 79':;,/3,:5,7&'48 " : &./0,3,'4.5/067/8 79':;,/3,:5,7&'48 ' &./0,3,'4.5/067/8 79':;,/3,:5,7&'48 F &./0,3,'4.5/067/8% " 79':;,/3,:5,7&'48" " G &./0,3,'4.5/067/8" 79':;,/3,:5,7&'48 " " / &./0,3,'4.5/067/8 " 79':;,/3,:5,7&'48 " - &./0,3,'4.5/067/8%7B0;,/3,:5, 5 &./0,3,'4.5/067/8 7B0;,/3,:5, "
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4 SÉRIES DE POTÊNCIAS Por via da existêcia de um produto em C; as séries adquirem a mesma relevâcia que em R; talvez mesmo maior. Isso deve-se basicamete ao facto de podermos ovamete formular as chamadas
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Exercícios Complementares 1.2
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Método alternativo para calcular a constante de Apéry
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(def) (def) (T é contração) (T é contração)
CAPÍTULO 5 Exercícios 5 (def) (T é cotração) a) aa Ta ( ) Ta ( 0) aa0, 0 Portato, a a aa0 (def) (def) (T é cotração) b) a3a Ta ( ) Ta ( ) TTa ( ( ) TTa ( ( 0)) (T é cotração) Ta ( ) Ta ( ) 0 aa0 Portato,
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Teorem.9 Sej e b i) (div.) ii) b º Critério de Comprção séries de termos positivos e b, N b (div.) (cov.) (cov.) Estude turez d série = sbedo que,! Ν! Teorem.0 º Critério de Comprção Sejm 0, b > 0 e lim
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5n 3. 1 nsen(n + 327) e)
Exercícios 1 Mostre, utilizado a defiição, que as seguites sucessões são limitadas: 2 4 50 a) b) 3 +16 1 5 3 2 c) 1 4( 1) 8 5 d) 100 5 3 2 + 2( 1) 1 4( 1) 8 1 se( + 327) e) f) 5 3 2 4 4 2 2 Mostre, utilizado
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Alguns autores também denotam uma sequência usando parêntesis:
Capítulo 3 Sequêcias e Séries Numéricas 3. Sequêcias Numéricas Uma sequêcia umérica é uma fução real com domíio N que, a cada associa um úmero real a. Os úmeros a são chamados termos da sequêcia. É comum