Análise Infinitesimal II LIMITES DE SUCESSÕES

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1 -. Calcule os seguites limites Aálise Ifiitesimal II LIMITES DE SUCESSÕES a) lim + ) b) lim c) lim + + ) d) lim e) lim + ) + 3 f) lim ) g) lim + ) h) lim + 3 i) lim + 4 ) j) lim ) k) lim si π) l) lim si m) lim si ) lim o) lim 3 + ) / p) lim cos + q) lim 3 si ) r) lim ) / s) lim / t) lim / + 3 u) lim xe x ) dx 0 -. Dê exemplos de sucessões {u } e {v } tais que u +, v e a) limu + v ) = 0 b) limu + v ) = 0 c) limu + v ) = + d) limu + v ) = e) limu + v ) ão existe. -3. Dê exemplos de sucessões {u } e {v } tais que u 0, v + e a) limu v ) = a, com a R \ {0} b) limu v ) = 0

2 c) limu v ) = + d) limu v ) = e) limu v ) ão existe. -4. Cosidere a sucessão {a } defiida por a = 0.3, a = 0.33, a 3 = et cetera. a) Determie o mais pequeo iteiro N tal que a 3 < 0.0 para toda a ordem N. b) Determie o mais pequeo iteiro N tal que a 3 < 0.00 para toda a ordem N. c) Dado ɛ > 0 determie pɛ) tal que a 3 < ɛ para toda a ordem pɛ). -5. Cosidere a sucessão de termo geral a = 0.5, a = 0.55, a 3 = et cetera. a) Determie o mais pequeo iteiro N tal que a 5 9 < 0.00 para toda a ordem N. b) Dado ɛ > 0, ecotre pɛ), tal que a 5 9 < ɛ para toda a ordem pɛ). -6. As sucessões {a }, ode a é defiido por cada uma das seguites expressões, covergem para 0. a) a =! b) a = c) a = d) a = e) a = log Para cada uma das sucessões {a }, ecotre o mais pequeo iteiro N, tal que a 0 < 0.00 para toda a ordem N. Qual das sucessões acima idicadas coverge mais rapidamete para zero? -7. Mostre usado a defiição de limite de uma sucessão a) lim = 0 b) lim + 3 = c) lim 5 ) = 5 si a d) lim = 0 a R

3 e) lim + + cos = 0 f) lim + = 0-8. Prove que para qualquer sucessão {a }, lim a = 0 se e só se lim a = Prove que lim log = Seja {a } uma sucessão tal que lim a 3 = 8 a) Determie uma fução fx) tal que x 3 8 = x fx). b) Determie o valor míimo de fx). c) Ecotre uma costate C tal que x C x 3 8. d) Mostre que lim a =. -. Cosidere as sucessões {a } defiidas recursivamete por a) a = a + = + a ) b) a = 0 a + = 3a + ) a + 3 c) a = a + = 3 + a ) Mostre que cada uma das sucessões {a } coverge e determie o seu limite Cosidere a sucessão { u = u + = + u a) Calcule os três primeiros termos da sucessão. b) Prove por idução que. u, para todo o N.. u ) é crescete. c) Prove que u ) é covergete e determie o limite. -3. Sejam{a } e {b } sucessões de termos positivos, tais que, para a + = a + b ) b + = a b a) Prove que para, {a } é moótoa decrescete e {b } é moótoa crescete. b) Mostre que lim a = lim b.

4 4-4. Chama-se proporção de um rectâgulo à razão etre os comprimetos dos seus lados maior e meor. A razão de um rectâgulo é sempre um úmero maior ou igual a um. Chama-se razão de oiro à proporção de um rectâgulo que possa ser decomposto um quadrado e outro rectâgulo exactamete com a mesma proporção. a) Mostre que a razão de oiro λ é solução da equação x = + x. b) Veja que as raízes desta equação são λ = + 5 = e λ = 5 = c) Mostre que quaisquer que sejam os úmeros a, b R, a sucessão x = a + 5 satisfaz a equação recursiva ) + b 5 ), x = x + x, para todo o. d) Determie os coeficietes a e b de modo que a sucessão da alíea aterior satisfaça as codições iiciais x 0 = x =. Como relacioa a sucessão obtida com a sucessão de Fiboacci? e) Mostre que a sucessão de Fiboacci, f = f + f, f 0 = f =, satisfaz f lim = + 5. f -5. Cosidere o úmero de oiro λ = + 5 =.68034, e a sucessão {r } defiida recursivamete por r =, e r = + r, para >. Mostre que: a) Sedo f a sucessão de Fiboacci, r = f f, para todo o.

5 5 b) Para todo o, r. c) Para todo o, r λ λ r λ. Sugestão: r λ = + r λ = d) Para todo o, e) lim r = λ. r λ λ +. r λ -6. Seja a = ). Idique uma subsucessão de {a } que seja covergete e uma subsucessão ão covergete. -7. Seja a = ) +. Idique uma subsucessão covergete. -8. Cosidere as sucessões {a } defiidas por a) a = ) b) a = cosπ) Mostre, usado subsucessões, que cada uma das sucessões acima idicadas ão tem limite. -9. Para cada uma das sucessões {a } determie os seus sublimites e os potos de acumulação do seu cojuto de termos A = {a : N}. a) a = b) a = cos π + 5 c) {a } = {, 5, 6,, 7,,,... } 8-0. Cosidere a sucessão {a } cujo termo geral é dado pela expressão a = + + ) N) a) Prove que {a } tem dois sublimites: e. b) O que pode cocluir sobre o limite desta sucessão? -. Mostre que a sucessão de termo geral a dado por a = ) si + ) ) possui uma subsucessão covergete..

6 6 -. Seja {a } uma sucessão arbitrária de úmeros reais. Para as sucessões {b } abaixo idicadas idique as que, idepedetemete da sucessão {a } cosiderada, possuem sempre uma subsucessão covergete. a) b = b) b + si a = a + c) b = cos a d) b = + a -3. Cosidere a sucessão de termo geral a =. Usado a defiição, prove que {a } é uma sucessão de Cauchy. -4. Seja {a } uma sucessão cujo termo geral a satisfaz a propriedade a a + Prove que {a } é uma sucessão de Cauchy. -5. Seja {a } uma sucessão cujo termo geral a satisfaz a propriedade a a + a a Prove que {a } é uma sucessão de Cauchy. -6. Cosidere a sucessão de termo geral a, defiida recursivamete por a = a + = ) a + Mostre que {a } coverge e determie o seu limite. -7. Idique o supremo, ifímo, máximo e míimo, caso existam, de cada um dos { seguites cojutos: } { } + a) : N b) : N c) { x R : x 3 } d) { } 5 : N e) { N : = 3 } f) N. -8. Mostre que / lim x dx) = 0