Processamento Digital de Sinais Lista de Exercícios Suplementares 3-1 quad. 2012

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1 Processameto Digital de Siais - Lista de Exercícios Suplemetares 3- Marcio Eisecraft abril 01 Processameto Digital de Siais Lista de Exercícios Suplemetares 3-1 quad 01 1 (1041) [OPPENHEIM, p 603] Supoha que sejam dadas as seguites sequêcias com quatro potos x [ ] e [ ] h : x π [ ] cos [ ] (a) Calcule a TFD com 4 potos X [ k] (b) Calcule a TFD com 4 potos H [ k] (c) Calcule y[ ] x[ ] h[ ], 0, 1,, 3 h, 0, 1,, 3 com 4 potos faedo a covolução circular diretamete (d) Calcule y [ ] da parte (c) pela multiplicação das TFD s de x [ ] e [ ] iversa RESP: (a) [ k] { 0; ; 0; }, 0 k 3 X ; (b) [ k] { 15; 3 + j6; 5; 3 j6}, 0 k 3 H ; (c) y [ ] { 3; 6; 3; 6}, 0 3 ; (d) [ ] { 3; 6; 3; 6}, 0 3 y h e faedo a TFD (07) (HAYES, 006, p 69) Seja x[ ] a sequêcia x[ ] δ[ ] + δ[ 1] + δ[ 3] (1) A TFD de cico potos de x[ ] é computada e a sequêcia resultate é elevada ao quadrado: Y[ k] X [ k] () A seguir a TFD iversa de cico potos é calculada, resultado a sequêcia y[ ] Ecotre a sequêcia y[ ] 3 (07) (PROAKIS; MANOLAKIS, 1996, p ) Determie o sial causal x[ ] se sua trasformada- X( ) é dada por X ( ) (3) (07) (PROAKIS; MANOLAKIS, 1996, p 4) A sequêcia de Fiboacci é costituída por úmeros iteiros de forma que o seguite é a soma dos dois ateriores Assim, é dada por { 1; 1; ; 3; 5; 8; 13; 1; 35; } 1

2 Processameto Digital de Siais - Lista de Exercícios Suplemetares 3- Marcio Eisecraft abril 01 (a) prove que esta sequêcia pode ser pesada como a resposta ao impulso h[ ] do sistema descrito pela equação de difereças y[ ] y[ 1] + y[ ] + x[ ] ; (b) Determie uma fórmula fechada para h[ ] usado as técicas de trasformada- 5 (07) (INGLE; PROAKIS, 000, p 59) Um filtro passa-baixas de 3ª ordem é descrito pela equação de difereças y[ ] 0,0181x[ ] + 0,0543x[ 1] + 0,0543x[ ] + 0,0181x[ 3] + (4) 1,71y[ 1] 1,189y[ ] + 0,781y[ 3] Escreva uma sequêcia de comados Matlab que gerem gráficos do módulo e da fase da resposta em frequêcia deste filtro Não utilie o comado freq 6 (071) (HAYES, 006, p 68) Cosidere a sequêcia (a) Ecotre a TFD com quatro potos de x[ ] [ ] δ [ ] δ [ ] δ [ 3] x + + (5) (b) Se y[ ] for a covolução circular de quatro potos de x[ ] com ela mesma, ecotre y[ ] e a TFD com quatro potos Y [ k ] (c) Sedo h[ ] δ [ ] δ [ 1] δ [ 3] de x[ ] com h[ ] + +, ecotre a covolução circular de quatro potos Resposta: (a) { 4; 1 j; ; 1 j} Y k j j [ ] { 16; ; 4; } { } ; (c) ; 5; 4; 5 + ; (b) y[ ] { 5; 4; 5; } 7 (071) (LATHI, 007, p 448) Determie a trasformada Z iversa de 19 5 Resposta: f[ ] δ[ ] + 1,5( ) + ( 3) ( )( 3) (6) 8 (071) (INGLE; PROAKIS, 000, p 311) Determie a míima ordem de um filtro Butterworth aalógico que satisfaça: frequêcia de passagem Ω 0,π frequêcia de rejeição Ω 0,3π Máxima ateuação a faixa de passagem A p 7 db Míima ateuação a faixa de rejeição A S 16 db Resposta: 3 S p

3 Processameto Digital de Siais - Lista de Exercícios Suplemetares 3- Marcio Eisecraft abril 01 9 (071) (LATHI, 007, p 479) Para um sistema especificado pela equação determie: (a) a fução de trasferêcia H ( ) [ 1] 0,5 [ ] [ ] y + y x, (7) j (b) as respostas em frequêcia em módulo e fase H ( e ω j ) e H ( e ω ) π (c) a resposta do sistema à etrada seoidal cos 1000t amostrada a cada 0,5 3 T ms 1 Respostas: (a) H( ) 0,5 ; (b) j 1 H( e ω j siω ) H( e ω ) arcta 1,5 cosω cos ω 0,5 ; (c) y( t) 1,639cos( 1000t 1,951) 10 (071) (INGLE; PROAKIS, 000, p 77) Escreva uma sequêcia de comados Matlab que gere um gráfico das respostas em frequêcia em módulo e fase do sistema represetado pela equação [ ] [ ] [ 1] [ ] 0,5 [ 1] 0, 5 [ ] y x + x + x y y (8) 11 (06) (HSU, 1999, p 189) Um sistema LIT causal de tempo discreto é descrito por: 3 1 y[ ] y[ 1] + y[ ] x[ ] (9) 4 8 em que x[ ] e y[ ] são a etrada e a saída do sistema respectivamete (a) Determie a fução de sistema H( ) (b) Ecotre a resposta ao impulso h[ ] do sistema (c) Ecotre a resposta ao degrau s [ ] do sistema H Resposta: (a) ( ) 8 1 [ ] ( 0,5 ) ( 0,5 s + ), ; (b) h[ ] ( ( 0,5) ( 0,5) ) u[ ] ; (c) (06) (INGLE; PROAKIS, 000, p 59) Um filtro passa-baixas de ordem 3 é descrito pela equação de difereças: y 0,0181x + 0,0543x 1 + 0,0543x + 0,0181x 3 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] + 1, 76y 1 1,189y + 0,781y 3 [ ] [ ] [ ] (10) 3

4 Processameto Digital de Siais - Lista de Exercícios Suplemetares 3- Marcio Eisecraft abril 01 Escreva uma sequêcia de comados Matlab que gere gráficos da resposta em frequêcia deste filtro 13 (05) (HAYES, 1999, p 44) Um sistema recursivo de seguda ordem é descrito pela equação de difereças a coeficietes costates e liear (LCCDE): 3 1 y [ ] y[ 1] y[ ] + x[ ] x[ 1] 4 8 (a) Ecotre a resposta ao impulso deste sistema 1 (b) Ecotre a resposta à etrada x[ ] u[ ] Resposta: (a) [ ] ( 1 1 ) ( ) ) ( ) ( ) h 3 ; (b) y[ ] 4 4(, (05) (INGLE; PROAKIS, 000, p 101) Dado que: é um sistema causal, ecotre: (a) sua resposta em frequêcia; H ( ) (b) sua represetação por equação de difereças; (c) sua resposta ao impulso H e + 1 0,9 + 0,81 e Resposta: (a) ( ) j ω e + 1 1,5e + 0,56 ; (b) y [ ] 1,5y[ 1] + 0,56y[ ] x[ 1] + x[ ] ; (c) h[ ] 1,75857δ[ ] 4,857( 0,7) +,5( 0,8) 15 (05) (INGLE; PROAKIS, 000, p 30) Dada a seguite equação de difereças: [ ] y[ ] + 0,9 y[ ] x[ ] y 1, (a) Escreva comados Matlab que calculem e façam um gráfico da resposta ao impulso h [ ] para (b) Escreva comados Matlab que calculem e façam um gráfico da resposta ao degrau s [ ] para (051) [SOLIMAN, p 449] Dados os siais: 4

5 Processameto Digital de Siais - Lista de Exercícios Suplemetares 3- Marcio Eisecraft abril 01 x h [ ] [ ] 1; 1; ; 0; 0; 1; (a) Calcule y [ ], resultado de um período da covolução circular com 4 potos etre eles; (b) Calcule as TFDs X [ k] e [ k] H com 4 potos (c) Obteha ovamete y [ ] do item (a) utiliado as propriedades da TFD 1 Resposta: (a) [ ] { 1; 3; 0; } X k ; + j3; H[ k] { ; 1+ j; 0; 1 j} ; (c) y [ ] { 1; 3; 0; } 1 y ; (b) [ ] { 1 1; j3}, 17 (051) [OPPENHEIM, p 804] Cosidere o sistema LIT causal represetado pela equação de difereças: 7 1 y [ ] y[ 1] + y[ ] x[ ] (a) Determie a fução de trasferêcia H ( ) deste sistema; (b) Utiliado propriedades da Trasformada Z, determie y [ ] se: x 1 3 [ ] u[ ] Resposta: (a) H ( ) ; y[ ] u[ ] (051) [HSU, p 305] Cosidere o sistema LIT de tempo discreto mostrado a figura a seguir, em que a é uma costate e 0 < a < 1 (a) Ecotre a resposta em frequêcia ( e ) (b) Ecotre a resposta ao impulso do sistema H do sistema 5

6 Processameto Digital de Siais - Lista de Exercícios Suplemetares 3- Marcio Eisecraft abril 01 (c) Faça um gráfico da magitude ( e ) Resposta: (a) ( e ) ω e ω e α H ; (b) h[ ] α u[ ] j j H do sistema para a 0, 9 e a 0, 5 19 (051) [INGLE, p 114] Um filtro digital é descrito pela equação de difereças: y [ ] x[ ] + x[ 1] + 0,9 y[ 1] 0,81y[ ] (a) Escreva uma sequêcia de comados Matlab que gere gráficos do módulo e da fase da resposta em frequêcia do filtro acima π e 3 (b) Escreva comados Matlab que gerem 00 amostras do sial x[ ] si + 5cos( π) obteham um gráfico da saída do filtro y [ ] para esta etrada 0 Obteha a covolução circular dos seguites siais cosiderado uma periodicidade de: (a) 5 amostras (b) 7 amostras 1 Supoha um sial discreto o tempo e ão periódico x 1 [ ] de comprimeto 8 amostras e outro sial discreto o tempo e ão periódico x [ ] de comprimeto 15 amostras Desejase realiar a covolução circular etre esses dois siais de forma que o resultado seja o mesmo da covolução liear Quatos eros devem ser iseridos em x 1 [ ] e quatos eros devem ser iseridos em x [ ] ates de se realiar a covolução? Um filtro FIR com resposta impulsiva h [ ] foi implemetado utiliado-se 11 coeficietes Deseja-se aplicar um sial de etrada de comprimeto bastate grade (000 amostras) e esta realiação deve ser feita em tempo real, isto é, ão podemos esperar todo o sial de etrada para em seguida faer a covolução Deve-se, portato, utiliado o mé- 6

7 Processameto Digital de Siais - Lista de Exercícios Suplemetares 3- Marcio Eisecraft abril 01 todo Overlap-Add particioar o sial de etrada em blocos de comprimeto máximo L como idicado abaixo: (a) Para um comprimeto L igual a 0: i) Em quatos blocos foi realiada a divisão? ii) Qual o tamaho máximo do sial de saída y [ ]? (b) Para um comprimeto L igual a 1 observamos que a divisão ão forece um valor iteiro: i) Em quatos blocos pode ser realiada a divisão e o que faer com o último bloco? ii) Qual o tamaho máximo do sial de saída y [ ]? 3 Calcule o úmero de somas e multiplicações complexas para a DFT e a FFT para o caso N Dedua as trasformadas Z das fuções de tempo listadas a seguir Não utilie tabelas (a) e a u[ ] (b) u [ ] (c) cos ω u[ ] 5 Determiar a trasformada Z do sial degrau uitário com amplitude -5 e atrasado de cico amostras

8 Processameto Digital de Siais - Lista de Exercícios Suplemetares 3- Marcio Eisecraft abril 01 6 Determiar a trasformada Z do sial x[ ] u[ 1] 7 Para cada F ( ), obteha [ ] (a) F ( ) (b) F ( ) (c) F ( ) ( + 3)( + 5) ( 0,5)( 0,6)( 0,8) ( + 0,)( + 0,4) ( 0,1)( 0,5)( 0,8) ( + 1)( + 0,) ( 0,5)( 0,6) γ f usado expasão em frações parciais: 8 Para cada F ( ) o problema 7, obteha [ ] f, 0 5 utiliado o método das divisões logas 9 O seguite diagrama de blocos implemeta um filtro digital utiliado em um sistema de processameto de siais de vo (a) Escreva uma equação de difereças relacioado a etrada x [ ] com a saída [ ] (b) Este sistema é FIR ou IIR? Justifique (c) Obteha a fução de sistema ( ) ( ) ( ) Y H X (d) Obteha o gráfico de polos e eros deste filtro Ele é estável? (e) Qual a resposta ao impulso deste sistema? (f) Calcule a resposta ao degrau para este sistema (g) Obteha, se existir, a resposta em frequêcia deste sistema ( e ) H y 8

9 Processameto Digital de Siais - Lista de Exercícios Suplemetares 3- Marcio Eisecraft abril 01 (h) Calcule ( e ) H para em passa-baixas, passa-altas ou passa-bada π π ω 0,,, faça um esboço de H ( e ) e classifique este filtro 4 (i) Escreva uma sequêcia de comados que permita obter o Matlab a resposta ao degrau deste sistema para Um filtro digital a ser implemetado pode ser represetado pela seguite equação de difereças: y [ ] x[ ] + 0,8x[ 1] + 0,5y[ 1] 0,06y[ ] (a) Desehe um diagrama de blocos costituído por somadores, gahos e atrasadores que implemete este filtro (b) Este filtro é FIR ou IIR? Justifique (c) Obteha a fução de sistema ( ) ( ) ( ) Y H X (d) Obteha o gráfico de polos e eros deste filtro Ele é estável? (e) Qual a resposta impulsiva deste sistema? (f) Obteha, se existir, a resposta em frequêcia deste sistema ( e ) (g) Calcule ( e ) H para em passa-baixas, passa-altas ou passa-bada H π π ω 0,,, faça um esboço de H ( e ) e classifique este filtro 4 (h) Escreva uma sequêcia de comados que permita obter o Matlab a resposta ao degrau deste sistema para 0 0 9