Série Trigonométrica de Fourier

Transcrição

1 studo sobre a Série rigoométrica de Fourier Série rigoométrica de Fourier Uma fução periódica f( pode ser decomposta em um somatório de seos e seos eqüivaletes à fução dada f ( o ( ( se ( ) ode: o valor médio da fução f( e Coeficietes a determiar da série de Fourier velocidade agular da fução f( Cálculo dos Coeficietes da Série rigoométrica de Fourier o o f ( área de f ( em um período valor de um periódo o f ( ( o f ( se ( CF-MG

2 Wader Rodrigues Simplificações Possíveis Fução Par f( f(- decomposição será um somatório de fuções seoidais Fução Ímpar f( -f(- decomposição será um somatório de fuções seoidais xercícios de plicação Questão 3 págia 68 Faça a decomposição do sial pulso - represetado a figura abaixo: Período:, s f rad / s, CF-MG

3 studo sobre a Série rigoométrica de Fourier 3 Defiição da fução: 5 para t, f( para, t, Cálculo de o / o o o 5, o f (,, 5,,, 5 5 x 5 5,,, 5 o 5 t (, ), 5 o 5V, Cálculo de f ( o (, 5, ( (,, x 5 5 o,,, ( ( ( 5 (, se 5 5 se t ( ), CF-MG

4 Wader Rodrigues [ se(, ) se( ) ] ( se se ) 5 se( ) Cálculo de b f ( se (, 5 se,,, ( se(,, x 5 5 se,,, ( w se ( ( 5 se (, 5 5 t 5 ( ( )) [ (, ) ( ( ) )] 5 5 ( ) ( ), abelado os calores de e Cosiderado apeas os valores de e maiores que % do valor máximo da fução, teremos CF-MG

5 studo sobre a Série rigoométrica de Fourier 5 Valores de se 5 se 5 3 se 5 4 se 5 5 se ( ) ( ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) 5 5 [ ( ) ] [ ( ) ] 5 [ ( 3 ) ] [ ( 4 ) ] 5 [ ( 5 ) ] 5 5 screvedo a equação de f( f (,5 se t 3 5 ( se ( 3 se ( 5 ) L Coclusão Verificamos que o sial apresetado é decomposto em um valor cotíuo e uma soma de seoides de freqüêcias harmôicas ímpares da freqüêcia fudametal s amplitudes decrescem quado aumetamos a ordem da harmôica, isto é, quado o valor de aumeta, represetado que essas compoetes colaboram pouco a retituição da forma de oda do sial origial spectro de mplitude O espectro de amplitude apreseta o valor médio e as amplitudes máximas das compoetes harmôicas do sial represetado CF-MG

6 Wader Rodrigues 6 spectro de fase O espectro de fase apreseta o âgulo de fase das compoetes harmôicas, sempre tomado o sial como uma fução seoidal como referêcia (padroização) Lembrete: se ( w t ± spectro de Potêcia potêcia média de uma fução periódica é dada por P o f ( t ) Lembrado que P R P, R DC e iderado um R uitário, podemos escrever: P o CF-MG

7 studo sobre a Série rigoométrica de Fourier 7 Questão 8 págia 68 Represete a fução decomposta por meio de seus espectros de amplitude, fase e de potêcia spectro de amplitude spectro de fase spectro de potêcia CF-MG

8 Wader Rodrigues 8 o,5 P (,5) 3, 83 P 3,83,6 P3 3,6,637 P5 5,637 o P o 6, 5W P 5, 66W P, 3 563W P, 5 3W 7,455 P 7,455 P, 7 3W Simulado a fução do xemplo Utilizado para simulação o aplicativo lectroic Workech podemos trabalhar com o seguite circuito para verificarmos se a decomposição realizada, retoma a forma de oda do sial, com um míimo de distorção Para tal usaremos o seguite circuito: CF-MG

9 studo sobre a Série rigoométrica de Fourier 9 Nesse circuito de simulação utilizamos a fução three-way voltage summer somador de tesão de tesão de três etrada para fazer a adição de cada uma das parcelas que compõem o sial ssim, aos fecharmos cada uma das chaves, de a 5, estaremos adicioado a compoete cotíua, chave, as demais compoetes harmôicas do sial, chaves a 5 Fechado, sucessivamete, cada uma das chaves ecotraremos a seguites formas de odas: CF-MG

10 Wader Rodrigues Fechado a chave, aparece a tesão cotíua a saída cotíuo Fechado a chave, a freqüêcia fudametal será sobreposta ao valor CF-MG

11 studo sobre a Série rigoométrica de Fourier Fechado a chave 3, o terceiro harmôico é adicioado ao valor aterior Observe que esse poto a forma de oda resultate começa a tomar uma forma próxima ao valor do pulso CF-MG

12 Wader Rodrigues Fechado a chave 4, o quito harmôico é adicioado ao valor aterior Nesse caso tora-se mais caracterizado a forma do pulso, tedo apeas algumas odulações a parte reta do mesmo Fialmete, fechado a chave 5, temos uma forma de oda semelhate ao pulso decomposto, porém apresetado alguma odulação as partes retas do pulso sses odulações, certamete serão reduzidas se um úmero maior de harmôicas forem ideradas a retituição do mesmo É importate relembrar que a decomposição utilizado a série trigoométrica de Fourier é uma fução com ifiitas compoetes determiação do úmero máximo de compoetes resultará uma maior ou meor aproximação da forma de oda recomposta m outras palavras, o úmero de compoetes vai determiar a distorção máxima aceitável a forma de oda retituída CF-MG

13 studo sobre a Série rigoométrica de Fourier 3 Utilizado o mesmo aplicativo é possível obter cada um dos espectros de amplitude à medida que as chaves forem fechadas ou ovas compoetes forem adicioadas ssim, para a chave fechada, teremos: Fechado as chaves e : CF-MG

14 Wader Rodrigues 4 Fechado as chaves, e 3: Fechado as chaves,, 3 e 4: CF-MG

15 studo sobre a Série rigoométrica de Fourier 5 Fechado as chaves,, 3, 4 e 5: Nesse caso temos o espectro de amplitude completo, sedo que a compoete fudametal represeta a maior cotribuição a retituição do pulso origial CF-MG

16 Wader Rodrigues 6 Questão 9 figura abaixo: Faça a decomposição do sial retificado de meia oda represetado a Defiição da fução f(: f( para -/ < t < ou - < t < se ( para < t < / ou < t < Simplificação Verificado se a fução é par ou ímpar chegamos a coclusão que ela ão se ecaixa em ehuma das duas codições ssim sedo, teremos a decomposição da mesma apresetado parcelas seoidais e seoidais Período da fução rad CF-MG

17 studo sobre a Série rigoométrica de Fourier 7 Cálculo de o / o o o o / / se se ( para / < t < f( ( ( ( ( ) / / o x x x o o ( ) ( ) Cálculo de / f ( ( / / se / ( ( se ( ( / se / se ( ( / ( x se ( / [ ( ] / x x x x x x CF-MG

18 Wader Rodrigues 8 CF-MG ( ) 4 4 x Cálculo de para ( ) ( ) / se t t ( ) ( ) / se t t ( ) ( ) / o t t ( ) ( ) ( ) ( ) / t t t t ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Para ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

19 studo sobre a Série rigoométrica de Fourier 9 3 x 3 x x 6 3 x 3 Para ( 3 ) ( 3 ) 8 ( 4 ) ( ) 4 ( 3 ) ( ) ( ) ( ) Para ( ) ( ) 6 ( 3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x 3 CF-MG

20 Wader Rodrigues 4 4 x x 6 3 x 3 Para ( 5 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 4 ) 8 ( 5 ) ( ) ( ) ( ) todo ímpar Observado os valores calculados de, verificamos que para Cálculo de ( ) / / f ( se t / / ( se ( se se para / < t < ou -/ < t < f( ( se ( CF-MG

21 studo sobre a Série rigoométrica de Fourier Para / se / se ( se ( ( / / ( / / / / t se ( ( ( / se x se x se se x Para / se se ( se ( ( t ( ) se ( t ( ) / CF-MG

22 Wader Rodrigues se x x se x x se se ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) se se ( ) ( ) ( ) ( ) Para ( ) ( ) se se 6 se ( 3 ) se ( ) ( ) ( ) Para ( 3 ) ( 3 ) se se 8 se ( 4 ) se ( ) 4 ( 3 ) ( ) 3 ssim, para todo será igual a zero CF-MG

23 studo sobre a Série rigoométrica de Fourier 3 quação do sial f ( se t 3 5 ( ( ( 4 ) L Para um valor máximo de volts, temos: V (,548 (,59 ( 4,8 ( 6 ) L f ( 3,8 6se t Simulado a fução do xemplo Utilizado para simulação o aplicativo lectroic Workech podemos trabalhar com o seguite circuito para verificarmos se a decomposição realizada, retoma a forma de oda do sial, com um míimo de distorção Para tal usaremos o seguite circuito: CF-MG

24 Wader Rodrigues 4 Nessa simulação estaremos utilizado um âgulo de defasagem de 9o as fotes de siais seoidais para represetar um sial seoidal, como solicitado a decomposição lem disso, também empregamos o bloco Voltage Gai lock com o propósito de termos um gaho uitário, porém fazedo a iversão de fase de 8o caracterizado pelo sial egativo à frete das parcelas seoidais do sial decomposto ssim, aos fecharmos cada uma das chaves, de a 5, estaremos adicioado as compoetes harmôicas do sial Fechado, sucessivamete, cada uma das chaves ecotraremos a seguites formas de odas: CF-MG

25 studo sobre a Série rigoométrica de Fourier 5 Fechado a chave, aparece a tesão cotíua a saída cotíuo Fechado a chave, a freqüêcia fudametal será sobreposta ao valor CF-MG

26 Wader Rodrigues 6 Fechado a chave 3, o segudo harmôico é adicioado ao valor aterior Observe que esse poto a forma de oda resultate começa a tomar uma forma próxima ao valor do sial retificado CF-MG

27 studo sobre a Série rigoométrica de Fourier 7 Fechado a chave 4, o quarto harmôico é adicioado ao valor aterior Nesse caso tora-se mais caracterizado a forma do sial retificado, tedo apeas algumas odulações a parte reta do mesmo Fialmete, fechado a chave 5, temos uma forma de oda semelhate ao sial decomposto, porém apresetado alguma odulação as partes retas do sial sses odulações, certamete serão reduzidas se um úmero maior de harmôicas forem ideradas a retituição do mesmo É importate relembrar que a decomposição utilizado a série trigoométrica de Fourier é uma fução com ifiitas compoetes determiação do úmero máximo de compoetes resultará uma maior ou meor aproximação da forma de oda recomposta m outras palavras, o úmero de compoetes vai determiar a distorção máxima aceitável a forma de oda retituída CF-MG

28 Wader Rodrigues 8 Utilizado o mesmo aplicativo é possível obter cada um dos espectros de amplitude à medida que as chaves forem fechadas ou ovas compoetes forem adicioadas ssim, para a chave fechada, teremos: Fechado as chaves e : CF-MG

29 studo sobre a Série rigoométrica de Fourier 9 Fechado as chaves, e 3: Fechado as chaves,, 3 e 4: CF-MG

30 Wader Rodrigues 3 Fechado as chaves,, 3, 4 e 5: Nesse caso temos o espectro de amplitude completo, sedo que a compoete fudametal represeta a maior cotribuição a retituição do pulso origial CF-MG