Prof. Celso Módulo 12 Resposta em freqüência-diagrama de Nyquist RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA-DIAGRAMA DE NYQUIST

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1 Prof. Celso Módulo Resposta em freqüêcia-diagrama de Nyquist RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA-DIAGRAMA DE NYQUIST O diagrama de Nyquist ou diagrama polar é um gráfico do módulo de G pelo âgulo de fase de G em coordeadas polares com variado de 0 até o ifiito. Existem 4 potos de iteresse para plotar o diagrama de Nyquist: - quado 0 φ 0 o - quado φ 80 o - quado φ ± 90 o I Pólo a origem Ocorre quado G s, passado para o domíio da freqüêcia: s G para imagiária egativa O módulo e a fase dessa fução são dados por: G tgφ / o 0 φ 90 Se variar de 0 até, o gaho irá variar de até 0 fig.. fig.. - Diagrama de Nyquist para um pólo II Zero a origem Ocorre quado G s s, passado para o domíio da freqüêcia: G O módulo e a fase dessa fução são dados por: G tgφ o 0 φ 90 Se variar de 0 até, o gaho irá variar de 0 até fig.. fig.. -Diagrama de Nyquist para um zero

2 Prof. Celso Módulo Resposta em freqüêcia-diagrama de Nyquist 4 III Pólo real Ocorre quado G s, passado para o domíio da freqüêcia: Ts G T T T O módulo e a fase dessa fução são dados por: G tgφ T T T φ arctg T Substituido algus valores de freqüêcia as equações acima, temos: rad/s G φ 0 0 Poto de cruzameto com o eixo real /T / -45 o 0-90 o Poto de cruzameto com o eixo imagiário Variado de 0 até, o diagrama de Nyquist será um semicírculo coforme mostra a figura.: fig.. - Diagrama de Nyquist para um pólo real 4

3 Prof. Celso Módulo Resposta em freqüêcia-diagrama de Nyquist 5 IV Zero real Ocorre quado G s Ts, passado para o domíio da freqüêcia: G T O módulo e a fase dessa fução são dados por: G tgφ T T φ arctg T Substituido algus valores de freqüêcia as equações acima, temos: rad/s G φ 0 0 Poto de cruzameto com o eixo real /T 45 o 90 o Variado de 0 até, o diagrama de Nyquist será uma reta coforme mostra a figura.4 : fig Diagrama de Nyquist para zero real V Par de pólos complexos Ocorre quado G s s ζ s domíio da freqüêcia:, passado para o G ζ 5

4 6 6 Prof. Celso Módulo Resposta em freqüêcia-diagrama de Nyquist G G ζ ζ ζ ζ ζ O módulo e a fase dessa fução são dados por: [ ] [ ] / / / / tg G ζ φ ζ Substituido algus valores de freqüêcia as equações acima, temos: rad/s G φ 0 0 Poto de cruzameto com o eixo real /ζ -90 o Poto de cruzameto com o eixo imagiário 0-80 o Poto de cruzameto com o eixo real Pela tabela ota-se que o gráfico irá depeder do valor do coeficiete de amortecimeto ζ. Além disso, o poto ode o gráfico cruza o eixo imagiário é a freqüêcia atural ão amortecida. A figura.5-a mostra o diagrama de Nyquist para direferete valores de ζ: fig Diagrama de Nyquist para um pólo complexo A figura.5 B mostra que o poto mais distate da origem o diagrama de Nyquist correspode à freqüêcia de ressoâcia r. O valor de pico de ressoâcia é obtido pela relação etre o módulo do vetor a freqüêcia de ressoâcia pelo módulo do vetor em 0.

5 Prof. Celso Módulo Resposta em freqüêcia-diagrama de Nyquist 7 VIPar de zeros complexos Ocorre em s ζ s G s, passado para o domíio da freqüêcia: G ζ ζ / O módulo e a fase dessa fução são dados por: G ζ / tgφ / [ / ] [ ζ / ] Substituido algus valores de freqüêcia as equações acima, temos: rad/s G φ 0 0 Poto de cruzameto com o eixo real ζ 90 o Poto de cruzameto com o eixo imagiário 80 o Poto de cruzameto com o eixo real A figura.6 mostra o diagrama de Nyquist para um zero complexo: fig.. 6 Diagrama de Nyquist para um zero complexo ********************************************************************** Para obter o diagrama de Nyquist de uma fução deve-se, - colocar a fução da forma x y, - calcular a equação do módulo e fase da fução - variar a freqüêcia de 0 até lembrar dos âgulos ± 90 o e ± 80 o 7

6 Prof. Celso Módulo Resposta em freqüêcia-diagrama de Nyquist 8 Exemplo : Traçar o diagrama de Nyquist para a seguite fução: G s s s s Solução: Passado para o domíio da freqüêcia e deixado a forma de x y G Calculado o módulo e a fase: G φ arctg Variado : Para 0 G e φ 0 Para G 0 e φ 90 o : / φ arctg arctg / / arctg arctg 0 Os potos de cruzameto com o eixo real são dados por φ0 ou φ±80 o Para φ-80 o tg φ -0, portato 0 0 ou,rad / s para este valor o gaho será: G. -0, Os potos de cruzameto com o eixo imagiário são dados por φ±90 o Para φ-90 o tg φ -, portato: 0 0,6rad / s para este valor o gaho será: G. -0,7 8

7 Prof. Celso Módulo Resposta em freqüêcia-diagrama de Nyquist 9 A figura.7 mostra o gráfico de Nyquist para esta fução. Para auxiliar o esboço do gráfico outros valores podem ser calculados: Para G 0,4 e φ -5 o Para 0, G 0,95 e φ -4 o fig Diagrama de Nyquist do exemplo Exercício : Plote o diagrama de Nyquist para a fução: G s ss 9

8 Prof. Celso Módulo Resposta em freqüêcia-diagrama de Nyquist 0 CARTA DE NICHOLS DIAGRAMA DE MÓDULO EM db PELO ÂNGULO DE FASE A carta de Nichos é uma outra forma de represetar graficamete a resposta em freqüêcia. O eixo X represeta são plotados os âgulos equato que o eixo Y são plotados o módulo em db da fução. A vatagem dessa represetação é que a estabilidade relativa de um sistema de malha fechada pode ser determiada rapidamete e a compesação pode ser feita facilmete. A figura.8 mostra a carta de Nichols para algumas fuções: fig Exemplos da carta de Nichols para algumas fuções 0

9 Prof. Celso Módulo Resposta em freqüêcia-diagrama de Nyquist CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE NYQUIST A resposta em freqüêcia de um sistema pode ser facilmete obtida experimetalmete. H. Nyquist desevolveu, em 9, um critério para aalisar a estabilidade de um sistema tedo como base a teoria das fuções de variáveis complexas de Cauchy. Cosiderado o sistema de malha fechada da figura.9, sua fução de trasferêcia é: fig Sistema de malha fechada C s G s R s G s H s Para um sistema ser estável sua equação característica: G s H s deve possuir todas suas raízes o semiplao esquerdo do plao s. O critério de Nyquist relacioa a resposta em freqüêcia da malha aberta GsHs ao úmero de zeros e pólos da equação característica localizados o semiplao direito do plao s. O critério de Nyquist realiza o mapeameto de uma fução Fs do plao s para o plao Fs. Cosiderado a seguite equação característica; F s o poto s seria mapeado o plao Fs como: s F, 0,5 A figura.0 mostra algus mapeametos: fig Mapeametos de algus cotoros fechados o plao s

10 Prof. Celso Módulo Resposta em freqüêcia-diagrama de Nyquist Pela figura aterior fig..0 ota-se que quado o cotoro evolve um pólo o plao s, o cotoro o plao Fs evolve a origem o setido ati-horário. Se o cotoro evolve um zero o plao s, o cotoro o plao Fs evolve a origem o setido horário. Se o cotoro o plao s coter o mesmo úmero de pólos e de zeros ou ão coter em pólo e em zero, o cotoro do plao Fs ão evolvera a origem. Se o cotoro do plao s evolver N pólos ou N zeros o cotoro do plao Fs evolverá N vezes a origem o setido ati-horário ou horário. Teorema de Cauchy Sea Fs uma relação de poliômios em S. Sea um cotoro C em S mapeado um cotoro B o plao Fs. Se Fs é aalítica detro do cotoro C, exceto para um úmero fiito de pólos e se Fs ão possui pólos e zeros sobre C, etão: N Z P ode: Z úmero de zeros de GsHs o semiplao direito do plao s. P úmero de pólos de GsHs o semiplao direito do plao s. N úmero de evolvimeto do poto -0 o setido horário. Se N>0 setido horário Se N<0 setido ati-horário Como a equação característica é G s H s, o cotoro dessa fução é o mesmo da fução G s H s deslocada de - o eixo real. Portato ao ivés de verificar o úmero de voltas que um cotoro B realiza a origem de G s H s, pod-se verificar o úmero que voltas que o cotoro realiza o poto -,0 de G s H s. Nyquist mapeou todo o semiplao direito do plao s, com isso todas as raízes com parte real positivas do plao S são evolvidas pelo cotoro C. Para um sistema ser estável o úmero de zeros Z deve ser igual a 0. Exemplo : Dado o diagrama de Nyquist abaixo, determiar se o sistema é estável ou ão: fig.. - Exemplo Neste exemplo o mapeameto evolve o poto -, vezes o setido horário, portato N Z N P P 0 o sistema é istável.

11 Prof. Celso Módulo Resposta em freqüêcia-diagrama de Nyquist Exemplo : Um sistema tem a seguite fução de trasferêcia: 50 G s H s. Utilize o diagrama de Nyquist para determiar se o s s 0 sistema é estável ou ão. - Passado para o domíio da freqüêcia: 50 G H 0 deixado a forma x y G H 0 0 obtedo o módulo e a fase: [ 500 ] [ 50 ] [0 ] G H se 0 GH 5 ou [ 500 / / ] [ 50/ ] [0 / / / ] G H se GH 0 φ arctg 0 poto de cruzameto com o eixo real ocorre quado φ 0 ou φ ± 80 o. Para φ ± 80 o : 0 0 ou 4,58 0 substituido a fórmula do módulo GH 0,066. Como o diagrama ão evolve o poto -, e ão tem pólos em malha aberta do lado direito Z N P 0 sistema estável. ou A figura ao lado mostra o diagrama de Nyquist desse sistema o diagrama está fora de escala. fig.. -Diagrama de Nyquist do exemplo

12 Prof. Celso Módulo Resposta em freqüêcia-diagrama de Nyquist 4 Exercício : A figura seguite mostra o diagrama de Nyquist em malha aberta de um sistema. Complete o diagrama supodo que Nyquist eglobe todo semiplao direito do plao s e respoda: a se a fução de trasferêcia de malha aberta ão possui pólos o semiplao direito do plao s, o sistema de malha fechada é estável? b se a fução de trasferêcia de malha aberta possui um pólo e ehum zero o semiplao direito do plao s, o sistema de malha fechada é estável? c se a fução de trasferêcia de malha aberta possui um zero e ehum pólo o semiplao direito do plao s, o sistema de malha fechada é estável? Exercício : Cosidere os diagramas de Nyquist abaixo, sabedo que para ambos o sistema ão possui pólos do lado direito do plao s, respoda se os sistemas em malha fechada são estáveis ou ão. 4

13 Prof. Celso Módulo Resposta em freqüêcia-diagrama de Nyquist 5 Estabilidade Relativa pelo mapeameto. Um sistema em malha fechada será mais estável quato mais afastados os pólos domiates estiverem do eixo imagiário. Estabilidade relativa é quato os pólos domiates estão próximo ao eixo imagiário. Cosidere os seguites mapeametos o plao s: fig.. - Dois sistemas de malha fechada com dois pólos Na figura., o sistema a é mais estável do que o sistema b porque seus pólos domiates estão mais distates do eixo imagiário. Mapeado esses sistemas temos: fig Diagrama de Nyquist dos sistemas da figura. Pelas duas figuras ateriores, coclui-se que quato mais próximo do eixo imagiário estiver os pólos domiates mais próximo do poto - 0 estará o lugar geométrico de G. A figura ao lado fig..5 mostra o critério de estabilidade de Nyquist para um sistema em malha aberta. Pela figura para um âgulo de fase de 80 o, o módulo de GH ão deve exceder de. fig Sistema estável e istável por Nyquist 5

14 6 6 Prof. Celso Módulo Resposta em freqüêcia-diagrama de Nyquist Exemplo 4: Dada a fução de trasferêcia de malha aberta abaixo, qual a codição para que o sistema sea estável? s s s s H s G Resolvedo de duas maeiras: - Passado para domíio da freqüêcia: H G H G - O módulo e a fase são dados por: 4 4 φ arctg H G PRIMEIRA SOLUÇÃO: Como o módulo ão pode ser maior do que para 80 o, a codição limite o âgulo φ deve ser 0: ou ou substituido a equação do módulo e fazedo o módulo ser meor do que : < < < H G SEGUNDA SOLUÇÃO: Utilizado o gráfico ormalizado de Nyquist do sistema, temos p/ 0 GH p/ GH 0 p/ GH 0,5 Como P0 ão há pólos o lado direito do plao s: ZNP ZN ou N0 para ser estável Como G ão pode evolver o poto - e sedo o poto crítico -0,5 pelo diagrama, etão o poto -0,5 vezes o gaho deve ser maior do que a codição limite poto -: -0,5>- 0,5< <

15 Prof. Celso Módulo Resposta em freqüêcia-diagrama de Nyquist 7 Exercício 4: Determie o valor de para que os sistemas abaixo seam estáveis: a G s H s s s b G s H s s s s Resp.: < 0 7

16 Prof. Celso Módulo Resposta em freqüêcia-diagrama de Nyquist 8 Exercício 5: Determie o valor de para que os sistemas abaixo seam estáveis: a G s H s s Ts b G s H s s s s Resp: > 0 Resp: <.5 8

17 Prof. Celso Módulo Resposta em freqüêcia-diagrama de Nyquist 9 SEÇÃO MATLAB O comado para traçar o diagrama de Nyquist o MatLab é: yquistum, de yquist um,de,w w é o espaçameto etre décadas Pode-se, também, utilizar argumetos: [re,im,w] yquist um, de [re,im,w] yquist um, de,w ode: re é uma matriz que cotém a parte real da resposta im é a matriz que cotém a parte imagiária da resposta w vetor de freqüêcias Exemplo: Esboçar o o diagrama de Nyquist para: G s s 6 4s 6 Fazedo um 6 um [0 0 6] e de s 4s 6 de [ 4 6] um [0 0 6 ]; % umerador de Gs de [ 4 6]; yquistum,de % gráfico de Nyquist title Diagram de Bode % usado o mesmo sistema aterior especificado frequecias w 0.:0.:00 % freqüêcias de 0. até 00 de 0. em 0. yquist um,de,w % gráfico de Nyquist. title Diagram de Nyquist Como exercício: faço todos os gráficos desta apostila utilizado o matlab. 9