DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA NAVAL E OCEÂNICA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO PNV3324 FUNDAMENTOS DE CONTROLE EM ENGENHARIA

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1 DEPARTAENTO DE ENGENHARIA NAVAL E OCEÂNICA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO PNV334 FUNDAENTOS DE CONTROLE E ENGENHARIA NOTAS DE AULA* Prof. Helio itio orihita * Ete texto é um mero roteiro de etudo e ão ubtitui a referêcia bibliográfica idicada para a diciplia. 5 ANÁLISE DE RESPOSTA TRANSITÓRIA 5. INTRODUÇÃO Na Fig. 5. é motrado o diagrama de bloco de um itema de cotrole típico. A relação etre a aída e a etrada é dada por: R( Gc ( G( + G ( G( G c e ( Referêcia R( + - Cotrolador G c ( Sitema G( Saída Y( Seor G e Fig. 5. Diagrama de bloco de um itema de cotrole a malha fechada O projeto do cotrolador coite em determiar a fução de traferêcia do cotrolador de modo que o deempeho do itema em malha fechada ateda à epecificaçõe. Normalmete, uma vez projetado o cotrolador, o deempeho do itema em malha fechada o domíio do tempo é verificado atravé de tete com iai padrõe tai como impulo, degrau, rampa ou harmôico. Nete texto erá dada êfae a repota do itema para uma etrada degrau uitário.

2 Etre a divera fuçõe de traferêcia, dua dela e detacam que ão a de primeira ordem e de eguda ordem. Ito e deve ão ó à implicidade do modelo, ma também porque quado o itema é de ordem mai alta procura-e aaliar o deempeho do itema atravé de pólo domiate que recaem em itema de primeira ou de eguda ordem. O pólo domiate ão o que etão mai próximo do eixo imagiário. Aqui covém realtar que a etrutura da fução de traferêcia do itema a er cotrolado ou da fução de traferêcia em malha fechada é a mema. Ou eja, uma determiada fução de traferêcia pode correpoder tato a fução de traferêcia de um itema a er cotrolado ou como a fução de traferêcia em malha fechada de um outro itema a er cotrolado. Portato, a aálie motrada a eguir vale para a dua cofiguraçõe. 5. RESPOSTA DE SISTEAS DE PRIEIRA ORDE A fução de traferêcia típica de primeira ordem é dada por: R( S) G( T + (5.) O eu pólo é dado por. A ua repota para uma etrada degrau uitário T R( é : t / T e (5.) A velocidade da repota etá itimamete relacioada com a cotate de tempo T. Quato meor o eu valor (o pólo mai afatado do eixo imagiário) mai rápido é a repota do itema, coforme motrado a Fig. 5., que apreeta a repota do itema para T e T 5. Em vita deta repota a fução de traferêcia de primeira ordem é cohecida também como atrao de primeira ordem. A cotate T pode er etedia como o tempo em que a variável atige 63,% do valor de regime e o eu ivero como a derivada da repota para t 0. Pode-e motrar também que para t 3T e t 5T a repota do itema atige, repectivamete, 95% e 99% do eu valor fial. Para R ( a repota é: t / T e (5.3) T Já para R ( / a repota é dada por: t / T Te T + t (5.4)

3 Fig. 5. Repota de um itema de primeira ordem Aqui covém realtar que impulo é a derivada da fução degrau e que ete, por ua vez, é a derivada da fução rampa. A repota do itema para cada uma deta variávei também pode er obtida atravé da derivação. 5.3 RESPOSTA DE SISTES DE SEGUNDA ORDE x ( : Seja a equação de um itema maa-mola-amortecedor ujeita a uma força extera y + By + Ky x( (5.5) Ob. x ( tem dimeão de força A fução de traferêcia etre a força extera e o delocameto é dada por: X ( + B + K B + + K (5.6) O pólo deta equação ão dado por: B B K, ± 4 (5.7)

4 Defie-e como amortecimeto crítico o amortecimeto que aula o radicado da equação 5.7, ito é, B c K (5.8) Normalmete a fução de traferêcia de eguda ordem é aaliada coideradoe a ua forma padrão que é obtida defiido-e doi termo que ão a freqüêcia atural e o coeficiete de amortecimeto: Frequêcia atural: ω K (5.9) Coeficiete de amortecimeto: B B (5.0) B K c Subtituido 5.9 e 5.0 em 5.6 obtém-e: X ( / K ω (5.) R( + ω + ω Covém obervar que R ( tem agora a mema dimeão da aída Y ( o que ão ocorria com a equação 5.6. O pólo depedem do valor do coeficiete de amortecimeto que pode er dividida em trê regiõe: a) 0 < amortecimeto ubcrítico Nete cao o pólo podem er calculado como:, ω ± ω j (5.) ode ω d ω d que é a frequêcia atural amortecida b) amortecimeto crítico Para o amortecimeto crítico o pólo ão reai duplo, ito é,, ω (5.3) c) > amortecimeto upercrítico No cao do amortecimeto upercrítico o pólo ão reai ditito: ξ ω ± ω (5.4), A equação da repota de um itema de eguda ordem para uma etrada igual a degrau uitário ( Re( ) depede do valor do amortecimeto: a) amortecimeto ubcrítico ωt ω ( ) coω eω e t y t e dt + dt e( ωdt + φ) (5.5)

5 ode φ ta b) amortecimeto crítico ω t e ( + ω c) amortecimeto upercrítico t ω + e e ode ω ( + ) e ω ( ) t (5.6) (5.7) Na Fig. 5.3 ão motrada a repota de um itema de egudo grau para coeficiete de amortecimeto iguai a 0., 0.3, 0.5, 0.7,.0 e..8 Step Repoe From: U() Amplitude To: Y() Time (ec.) Fig. 5.3 Repota de um itema de eguda ordem A Fig. 5.3 motra que quato meor o amortecimeto maior é máximo valor de ultrapaagem, o úmero de ocilaçõe é maior embora cruze o valor fial pela primeira vez mai rapidamete. Já ao e aumetar o amortecimeto a tedêcia é reduzir o úmero de ocilaçõe, bem como o máximo valor de ultrapaagem, embora teda a demorar mai para cruzar o valor fial pela primeira vez. É difícil etabelecer o itema com melhor deempeho poi ito depede da caracterítica peculiare de cada itema.