Cap. 7 - Parte I Root Locus

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1 CONTROLO º emetre 0/03 Traparêcia de apoio à aula teórica Cap. 7 - Parte I Root Locu Maria Iabel Ribeiro Atóio Pacoal Todo o direito reervado Eta ota ão podem er uada para fi ditito daquele para que foram elaborada (leccioação o Itituto Superior Técico) em autorização do autore /Cap.7

2 Root Locu: O que é? Root Locu Lugar da Raíze Root Locu método do Lugar Geométrico da Raíze diagrama de Eva (Eva 948, 950) Que raíze? Do poliómio deomiador da fução de traferêcia em cadeia fechada O que é? Como fução do pólo e do zero da fução de traferêcia em cadeia aberta. Sem factorizar o poliómio deomiador da fução de traferêcia em cadeia fechada. Repreetação gráfica da localização do pólo de um itema em cadeia fechada como fução de um parâmetro do itema Uualmete, ete parâmetro é um gaho da cadeia aberta Para que erve? Para apoio à ítee de cotroladore Suporte à avaliação da caracterítica da repota o tempo do itema em cadeia fechada como fução da variação de parâmetro /Cap.7

3 Eemplo Motivador itema de cotrolo de temperatura de uma ala r _ e / m c Gc () cotrolador proporcioal itegral () pólo a origem e zero Gc Eemplo vito a propóito de erro em regime etacioário com cotrolador I com cotrolador PI com cotrolador P Como dimeioar o valor do gaho por forma a atifazer epecificaçõe: relativa ao erro em regime etacioário e à repota o tempo do itema em cadeia fechada? pólo do itema em c.f Qual é a localização do pólo da f.t.c.f como fução do valor do gaho? 3/Cap.7

4 Root Locu: Formulação f.t.cadeia de acção R() _ G() C() H() f.t.cadeia de retroacção f.t.cadeia aberta (f.t.c.a.) G()H( ) f.t.cadeia fechada (f.t.c.f.) G() G()H() Como variam o pólo do itema em cadeia fechada como fução do gaho? repota Hipótee : Calcular eplicitamete a f.t.c.f e factorizar o poliómio deomiador Hipótee : a partir do cohecimeto da f.t.c.a. uado o Root Locu Dado Pólo e zero da f.t.c.a Root Locu Pólo da f.t.c.f Sem factorização do poliómio deomiador da f.t.c.f E o zero da f.t.c.f? 4/Cap.7

5 Pólo e Zero da f.t.c.f R() _ G() H() C() G() N D G G () () H() N D H H () () C() R() G() G()H() NG() DG() NG()N D ()D G H H () () C() R() D G NG()D H() ()D () N ()N H G H () { zero da f.t.c.f } { zero de G() } { pólo de H() } ão variam com pólo da f.t.c.f. variam com ão podem er cohecido imediatamete O Root Locu é um método gráfico que permite avaliar a localização do pólo da f.t.c.f. em factorizar o poliómio deomiador dea f.t. 5/Cap.7

6 Eemplo CameraMa Preeter Camera Sytem Cotrol Sytem Egieerig Norma Nie poição do objecto R() eore _ amplificador Faz o eguimeto automático de objecto Motor e camâra ( 0) poição da câmara C() D(), pólo da f.t.c.f ± 5 R () C() 0 jw 0 0, 0 > 5 5, > 5, 5 ± j 5 " O root-locu é empre imétrico relativamete ao eio real " Como varia a repota do itema em c.f. a uma etrada ecalão para valore crecete de, com >5? > > < 6/Cap.7 σ

7 Pricípio ubjacete T() G() G()H() R Se é pólo de T() G()H() 0 G()H() equação caracterítica G()H() arg(g()h()) (k )80º, k Z Root-Locu cojuto do valore de que atifazem imultaeamete Comado MATLAB rlocu codição de módulo G ()H() arg( G()H()) codição de argumeto (k )80º, k Z 7/Cap.7

8 Pricípio ubjacete G()H() codição de argumeto m i i ( zi) ( p ) i arg(g()h()) arg() m arg( zi) arg( p i) i i (k ) π >0 m arg(g()h()) arg( zi) arg( p i) (k ) π <0 i m arg(g()h()) arg( zi) arg( p i) (k) π i i i A codição de argumeto permite determiar o poto do plao que pertecem ao root-locu 8/Cap.7

9 Pricípio ubjacete G()H() codição de módulo m i i ( zi) ( p ) i m i i z p i i i m i p z i i A codição de módulo permite calcular o valor de correpodete a cada localização particular da raíze obre o lugar geométrico 9/Cap.7

10 Root Locu - eemplo " O poto j3 pertece ao root-locu? " Se pertecer atifaz a codiçõe do módulo e de argumeto codição de argumeto arg( G( )H( )) arg() [arg( 3) arg( 4)] [arg( ) arg( arg( G( )H( )) arg() [ θ θ] [ θ4 θ3] arg( G( )H( )) arg() 7.57º 56.3º 08.43º 90º arg( G( )H( )) arg() 70.55º Nuca pode er um )] múltiplo impar de 80º " j3 NÃO é pólo do itema em c.f. 0/Cap.7

11 Root Locu - eemplo - ( 3) [( ) 4]( 5) " O poto - pertece ao root-locu? > 0 " arg(g( ))(k)π? θ 4 j θ -5 θ o -3 - θ 3 arg( G( )) θ ( θ θ3 θ4 θ5) θ 5 -j Soma zero 0º 0º 80º arg( G( )) 80º pertece ao root-locu " Qual é o valor do gaho para o qual o itema em c.f. tem um pólo em -? Para - a codição de módulo tem que er verificada /Cap.7

12 Root Locu - eemplo - ( 3) [( ) 4]( 5) codição de módulo > 0 aplicada em - G ( ) M M 4 j -5 o -3 M - M 3 θ 3 M 5 M 4 -j M G( ) MM3M 4M5 4 ( ) 0 /Cap.7

13 Regra para a cotrução REGRA Número de ramo N() G ()H() D() grau de N() m grau de D() aume-e m G()H() 0 D () N() 0 Ramo lugar geométrico defiido por um pólo do itema em c.f. quado varia Nº de Ramo úmero de pólo do itema em cadeia fechada REGRA Simetria O pólo de itema realizávei (itema fíico) ão, v Reai, ou v Compleo ocorredo ao pare compleo cojugado O root-locu é imétrico relativamete ao eio real 3/Cap.7

14 Regra para a cotrução REGRA 3 Troço obre o eio real >0 São troço do root-locu o poto do eio real que teham à ua direita um úmero ímpar de pólo e/ou zero da f.t.c.a. codição de argumeto Se Root Locu m ( zi) i G()H() >0 ( p ) m i arg(g()h()) arg( zi) arg( p i) (k ) π i i i θ 80º 0º -z i -z i θ θ θ 0 para pólo é idêtico 80º 0º -p i -p i θ θ θ 0 θ para pólo é idêtico 4/Cap.7

15 Regra para a cotrução cotiuação REGRA 3 Troço obre o eio real Root Locu Pólo e zero (f.t.c.a.) à equerda de cotribuem com 0º Pólo e zero (f.t.c.a.) à direita de cotribuem com 80º A cotribuição de um par de pólo e ou de zero compleo cojugado é ula Eemplo troço do eio real ó etão idicado o troço do eio real ó etão idicado o troço do eio real Não tem troço o eio real 5/Cap.7

16 Regra para a cotrução REGRA 4 Poto de partida do ramo ode e iicia cada ramo do root-locu (0)? N G() D G G () () NH() H() D () H f.t.c.a. N G()H() D G G ()N ()D H H () () f.t.c.f. T() G() G()H() D G NG()D H() ()D () N ()N H G H () pólo da f.t.c.f. { : D ()D () N ()N () 0} G H G H grau(n G ()N H ())m grau(d G ()D H ()N G ()N H ()) m lim 0 pólo da f.t.c.f. { :D ()D () 0} G H pólo da f.t.c.a. o poto de partida (0) do ramo do rootlocu coicidem com o pólo da f.t.c.a. 6/Cap.7

17 Regra para a cotrução REGRA 5 Poto de chegada do ramo ramo ode termia cada ramo do root-locu ( )? T() G() G()H() D G NG()D H() ()D () N ()N H G H () Quado G()H() 0 para er atifeita a codição G()H() 0 G()H() NG()N H() 0 { zero de NG()N H() } D ()D () G H m zero m ramo do root-locu tedem para o zero da f.t.c.a. -m ramo do root-locu tedem para ifiito m ramo tedem para o zero da f.t.c.a. -m ramo tedem para ifiito Ete -m ramo tedem para ifiito egudo aímptota Regra 8 âgulo que a aímptota fazem com o eio real 7/Cap.7

18 Regra para a cotrução Eemplo G()H() ( )( ) um[0 0 0 ]; de[ 3 0]; ytf(um,de); rlocu(y) Alguma cocluõe: Para pólo reai 0 o itema em cadeia fechada tem todo o eu Qual é o valor de? Regra poto de etrada e aída do eio real Para 0 < o itema em cadeia fechada é etável Para o itema é margialmete etável Qual é o valor de? Para > o itema apreeta uma obreelevação a repota ao ecalão. Uar o root-locu Uar o critério de Routh-Hurwitz Qual é o valor aproimado de que coduz a uma obreelevação de 0%? 8/Cap.7

19 Regra para a cotrução Eemplo G()H() jβ ( )( ) θ 3 θ θ eja o poto de cruzameto com o eio imagiário v pertece ao root-locu v a codição de argumeto é atifeita para arg( G( )H( )) (k ) π arg( G( )H( )) ( θ θ ) θ 3 90º arctg( β) arctg( β ) (k ) π β j v a codição de módulo é atifeita para G (jβ)h(j β) β β 4 G( j ) H ( j ) β β 4 β β 9/Cap.7

20 Regra para a cotrução Eemplo um[ 7 ]; de[ 3 ]; rlocu(um,de); ai([ ]); G()H() ( 3)( 4) ( )( ) o o?? G()H() ( 3) ( )( )( 4) o 0/Cap.7

21 Regra para a cotrução REGRA 6 Poto de etrada e de aída do eio real Poto de etrada o eio real break-i poit Poto de aída do eio real breakaway poit o o o break-i poit breakaway poit O poto de aída do eio real ocorre para um máimo relativo do gaho O poto de etrada o eio real ocorre para um míimo relativo do gaho meor valor de que já coduz a pólo reai maior valor de que aida coduz a pólo reai /Cap.7

22 Regra para a cotrução REGRA 6 Poto de etrada e de aída do eio real G()H() ( ) > máimo? relativo > - > todo o R do root-locu atifazem 0 ( ) > ( ) cálculo do máimo relativo d d 0 4 breakaway poit equiditate do doi pólo da f.t.c.a. aalogia com um itema de carga eléctrica repulão pelo pólo atracção pelo zero valor do gaho correpodete ao breakaway poit /Cap.7

23 Regra para a cotrução REGRA 6 Poto de etrada e de aída do eio real equação caracterítica G()H() 0 Para σ R e Root Locu G( σ)h( σ) 0 cáculo de máimo e míimo relativo G( σ)h( σ) d dσ 0 codição eceária ma ão uficiete v todo o poto de aída/etrada o eio real atifazem eta relação v em toda a oluçõe deta equação ão empre poto de aída ou de etrada o eio real v é precio cofirmar e a oluçõe ecotrada etão obre troço que pertecem ao root-locu " Valore (do eio real) do poto do root-locu que ão breakaway e break-i poit " O valore correpodete de 3/Cap.7

24 Regra para a cotrução REGRA 6 Poto de etrada e de aída do eio real Eemplo ( 3)( 5) G()H() ( )( ) o o ( 3)( 5) G()H() 0 ( )( ) ( )( ) ( 3)( 5) 0 d d ( )( ) ( 3)( 5) ( 6 6) 0 ( 8 5) break-i poit breakaway poit?? 4/Cap.7

25 Regra para a cotrução REGRA 7 Âgulo de partida e de chegada ao eio real α º de ramo que e cruzam um poto do eio real O âgulo etre doi ramo adjacete que e aproimam (ou que e afatam) do memo poto do eio real é dado por: 360º λ ± α O âgulo etre doi ramo adjacete, um chegado e outro partido do memo poto do eio real é dado por: Eemplo 80º θ ± α o o o 5/Cap.7

26 Regra para a cotrução REGRA 7 Âgulo de partida e de chegada ao eio real Eemplo > > > > 6/Cap.7

27 Regra para a cotrução REGRA 8 Comportameto aimptótico âgulo da aímptota com o eio real cetro aimptótico Quado -m ramo tedem para ifiito ao logo de aímptota -m aímptota A aímptota cruzam-e um poto do eio real (cetro aimptótico) σ a pólo de G()H() i i m m zero de G()H() O âgulo da aímptota com o eio real é dado por φ a ± (k ) π, m k 0,,,..., m 7/Cap.7

28 Regra para a cotrução REGRA 8 Comportameto aimptótico âgulo da aímptota com o eio real - demotração O âgulo da aímptota com o eio real é dado por φ a ± (k ) π, m k 0,,,..., m Demotração: G()H() Para referêcia. Leitura opcioal m i i ( z ) ( p ) i i G()H() m Como pertece ao Root-Locu G()H() m codição de módulo m m codição de argumeto arg( ) arg( ) arg( ) ( m)arg() Para >0 e >0 ( k ) π ( m)arg() (k ) π arg() ( m) 8/Cap.7

29 Regra para a cotrução REGRA 8 Comportameto aimptótico âgulo da aímptota com o eio real cetro aimptótico Eemplo G()H() ( )( ) " 3 ramo, todo a termiar em ifiito " 3 aímptota " âgulo da aímptota com o eio real ± (k ) π φ a, k 0,,,..., m 60º,80º, 60º m " cetro aímptótico σ a pólo de G()H() i i m m zero de G()H() 60º 9/Cap.7

30 Root-Locu - Eemplo G()H() ( ) ( )( 6) 3 ramo ramo a termiar o ifiito aímptota Âgulo da aímptota com o eio real 90º, -90º Cetro aimptótico σ a (0 6) ( ) 3?? o Poto de aída do eio real G()H() 0 d d 3 ( -)( 6) ( ) 30/Cap.7

31 Root-Locu Eemplo (cot) Poto de aída do eio real G()H() 0 d d ( -)( 6) ,. ± j. 4 ( ) breakaway poit Não pertecem ao root-locu Não podem er poto de aída de ramo do eio real Calcule o gaho correpodete Poto de cruzameto com o eio imagiário e gaho correpodete Método critério de Routh-Hurwitz Método Root-Locu Poto de cruzameto - Codição de âgulo Gaho correpodete Codição de módulo eq.caracterítica 3 ( )( 6) ( ) 0 5 ( 6) 0 5( 6) a a 0 ±j liha de zero a Q() /Cap.7

32 Root-Locu Eemplo (cot) Poto de cruzameto com o eio imagiário e gaho correpodete Método critério de Routh-Hurwitz Método Root-Locu Poto de cruzameto - Codição de âgulo Gaho correpodete Codição de módulo G()H() ( ) ( )( 6) j α o codição de argumeto α arg( G( )H( )) arctg( α ) 80 arctg( α ) 90º arctg( ) 6 α 3 3 j tgα tgβ tg(α β) tgα. tgβ? codição de módulo E para ete valor de qual é o pólo real em cadeia fechada? 3/Cap.7

33 Regra para a cotrução REGRA 9 Soma do pólo N() G ()H() grau N() m D() grau D() Se -m i pólo da f.t.c.a pólo da f.t.c.f, i Se -m Soma do pólo em cadeia aberta Soma do pólo em cadeia fechada Demotração: Para referêcia. Leitura Opcioal cadeia aberta G()H() N() N() D() r r... r r r... r i ( λ ) i r i λ i λ i pólo da f.t.c.a. cadeia fechada N() G()H() 0 0 r r... r r d r d... r... d d p i i Se -m d r N() 0 0 i ( p ) p i i p i i pólo da f.t.c.f. i λ i 33/Cap.7

34 Regra para a cotrução Eemplo REGRA 9 Soma do pólo G()H() ( ) ( )( 6) j 3 7.5? o Para 7.5 ode etá o outro pólo da f.t.c.f? 3 i pólo da f.t.c.a pólo da f.t.c.f, 3 i (0 6) j 3 j 3 p3 p /Cap.7

35 Regra para a cotrução REGRA 0 Âgulo de partida de um pólo e de chegada a um zero Eemplo ( ) G()H() ( 4)[( 4) 4 ] ó troço do eio real o cetro aimptótico σ a ( j 4 4j) ( ) âgulo da aimptota com o eio real 60º, 80º,-60º Como aem o ramo do pólo compleo cojugado? uar a codição de argumeto 35/Cap.7

36 Regra para a cotrução Eemplo REGRA 0 Âgulo de partida de um pólo e de chegada a um zero ( ) G()H() ( 4)[( 4) 4 ] ó troço do eio real que e admite pertecete ao root-locu Circuferêcia de raio ε ε 0 θ 5 θ 3 o θ θ θ 4 arg( G( )H( )) θ ( θ θ3 θ4 θ5) arg( G( )H( )) (80 arctg) (35º 90º 90º θ5) (k ) π θ5 8.4º icógita 36/Cap.7

37 Regra para a cotrução REGRA 0 Âgulo de partida de um pólo e de chegada a um zero Eemplo ( ) G()H() ( 4)[( 4) 4 ] -8.5º 37/Cap.7

38 Root-Locu Eemplo G ()H() ( )[( ) 4] cetro aimptótico 0 j j σa 4 âgulo da aímptota com o eio real ± (k ) π φ a 4 φa 45º,35º,5º, 45º breakaway poit ( ) d 3 (4 d 8 0) 0 j.5 j.5? > > breakaway poit > > > > INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Cotrolo 006/007 38/Cap.7

39 Root-Locu Eemplo G ()H() ( )[( ) 4] breakaway poit ( ) d 3 (4 d 8 0) 0 4 j.5 j.5 4? breakaway poit 39/Cap.7

40 Root-Locu Eemplo G ()H() ( 8)[( 4) ] cetro aimptótico j 4 j σa 4 4 âgulo da aímptota com o eio real ± (k ) π φ a 4 φa 45º,35º,5º, 45º breakaway poit ( ) d 3 (4 48 d 6 36) ? 6? < < < < < < 40/Cap.7

41 Root-Locu Eemplo G ()H() ( 8)[( 4) ] breakaway poit ( ) d 3 (4 48 d 6 36) ? 6? breakaway poit break-i poit breakaway poit 4/Cap.7

42 Root-Locu Eemplo 3 [(.5) ] G()H() ( 0.5)( 8)( 9) cetro aimptótico ( ) (.5 j.5 j) σa âgulo da aímptota com o eio real ± (k ) π φ a 3 φa 60º,80º, 60º etabilidade 0 < <, < < etável > itável itável margialmete etável o o 4/Cap.7

43 Root-Locu v qualquer parâmetro R() - C() k Perguta: Para fio, como é que o pólo da f.t.c.f. variam com k? 5 C() R() 5 ( ) 5 ( k ( ) ) C() R() 5 ( 5k ) 5 Perguta: Pode uar-e o Root-Locu? ( 5k ) 5 0 ( 5) k5 0 k Root-locu como fução de k o 43/Cap.7

44 Root-Locu para Gaho Negativo R() _ G() C() < 0 H() Equação caracterítica Codição de módulo G()H() 0 G()H() G ()H() é idepedete do ial de Codição de argumeto arg( G()H()) kπ, k Z Apea ão alterada a regra a quai itervém a codição de argumeto Regra que ão alterada troço do eio real pertecem ao root-locu e tiverem à direita um úmero par de pólo e/ou zero da f.t.c.a. âgulo da aímptota com eio real ± kπ, m o âgulo de partida e chegada atifazem a ova codição de argumeto e diferem, portato, de 80º do calculado para poitivo. Φ a k 0,,..., m 44/Cap.7

45 Root-Locu para egativo Eemplo R() C() _ ( ) retroacção egativa Root-locu retroacção egativa >0 Root-locu retroacção poitiva <0 <0 >0 > > > > 45/Cap.7

46 Cacelameto pólo-zero o Root-Locu R() - C() Root-Locu como fução de α G() R() - C() α H() G ()H() ( α ) ( ) Para α H() tem um zero igual a um pólo de G() Pode cacelar-e? Se houver cacelameto Root-Locu tem um úico ramo G()H() o 46/Cap.7

47 Cacelameto pólo-zero o Root-Locu f.t.c.a. G ()H() ( α ) ( ) f.t.c.f. C() R() C() R() G() ( ) G()H() ( ) ( ) ( ) ( )[( ) ] ( ) ( ) Pólo fio idepedete de ão é zero da f.t.c.f o - o Pólo da f.t.c.f. Para α Pode cacelar-e? Pólo da f.t.c.f. idepedete de H() tem um zero igual a um pólo de G() NÃO 47/Cap.7