Capitulo 6 Resolução de Exercícios

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1 FORMULÁRIO Cojutos Equivaletes o Regime de Juros Simples./Vecimeto Comum. Descoto Racioal ou Por Detro C1 C2 Cm C1 C2 C i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 2 m 1 2 m C Ck 1 i 1 i k1 Descoto Por Fora ou Comercial k C i C i C i C i 1 1 m m 1 1 m C 1 i C 1 i k1 k k Cojutos Equivaletes o Regime de Juros Compostos./Vecimeto Comum. Descoto Racioal Composto ou Composto Por Detro C C C C ' C ' C ' 1 2 m 1 2 ' ' ' 1 2 m i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i C m C k k 1i k1 1i Descoto Comercial Composto ou Composto Por Fora m C i C i C i C i C i C i 1 2 m 1 2 m 1 1 C i C i k1 k Vecimeto Médio C C1 C2... Cm k o caso de descoto simples por fora C1 1 C Cm C C... C 1 2 m m Compras a Prazo Descoto Racioal Simples V E R k1 1 1ki Descoto Comercial Simples ; i 1 2 V E V E R R i Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 53

2 Descoto Racioal Composto 1i 1 V E R i 1i i 1i 1i 1 ; R V E 1 1 i 1 i Descoto Comercial CompostoV E R i ; i 1 V E i R 1 i 1 Taxa Implícita a Compra a Prazo V E 1 1 * R i * * i 1i Fórmula Aproximada de Karpi (Compra a Prazo) R F ; iˆ F Caso de Prestações Decrescetes em Progressão Aritmética ; F P r Pj P1 j 1 r ; j 1,2,..., Caso de Prestações em Progressão Geométrica * r 1 ; i F j1 P1 q F Pj P1 q, j 1, 2, ; q F 2 3 ; ˆ i q Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 54

3 6.9 Exercícios Propostos 1) Determiar, sedo a taxa de juros de 3% a.m., o valor omial de um título capaz de, com vecimeto para 30 dias, substituir, a data de hoje, outro com valor omial de R$ 1.000,00, vecível em 120 dias, cosiderado: a) Descoto Racioal Simples b) Descoto Comercial Simples c) Descoto Racioal Composto d) Descoto Comercial Composto a) Descoto Racioal Simples C C C 1000 C R$ 919,64 1 i 1 i 1 0, , 03 4 b) Descoto Comercial Simples C 1i C 1i C 1 0, ,03 4 C R$ 907, 22 c) Descoto Racioal Composto C C ' C 1000 R$ 915,14 1 i 1 i ' 1 0, , 03 4 d) Descoto Comercial Composto 1 4 C 1i C 1i C 1 0, ,03 C R$ 912,67 2) Determiar, sedo a taxa de juros de 3% a.m., o valor omial de um título capaz de, com vecimeto para 30 dias, substituir, a data de hoje, uma sequêcia de 4 pagametos iguais com valor omial de R$ 1.000,00, vecedo o primeiro em 120 dias e os seguites a cada trita dias, cosiderado: a) Descoto Racioal Simples b) Descoto Comercial Simples c) Descoto Racioal Composto d) Descoto Comercial Composto a) Descoto Racioal Simples C C1 C2 C3 C4 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i C , , , , , 037 Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 55

4 C 892, , , , ,03 C 3436,32627 C R$ 3.539, 42 1,03 b) Descoto Comercial Simples C i C i C i C i C i , , , , , 037 C 0,97C 3340 C R$ 3.443,30 c) Descoto Racioal Composto C C 1 C 2 C 3 C 4 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 0,03 1 0,03 1 0,03 1 0,03 1 0,03 C 1 0,03 C C R$ 3.503, , , , , , d) Descoto Comercial Composto C i C i C i C i C i 1 0, , , , , C 0,97C , , , ,80798 C R$ 3.489,66 3) Determiar, sedo a taxa de juros de 5% a.m., o valor omial de uma sequêcia com 3 pagametos mesais e iguais, com vecimeto iicial a data de hoje, capaz de substituir, a data de hoje, uma sequêcia de 4 pagametos mesais e iguais com valor omial de R$ 1.000,00, vecedo o primeiro em 90 dias, cosiderado: a) Descoto Racioal Simples b) Descoto Comercial Simples c) Descoto Racioal Composto d) Descoto Comercial Composto a) Descoto Racioal Simples C C C 1 0, , , , , ,05 6 2,86147 C 3272,12932 C R$1.143,51 Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 56

5 b) Descoto Comercial Simples C 1 1 0, , , , , , ,85C 3100 C R$1.087, 72 c) Descoto Racioal Composto C ,05 1 0,05 1 0,05 1 0,05 1 0,05 1 0,06 2,85941C 3216, C R$ 1.124,81 d) Descoto Comercial Composto 5 6 C 1 1 0, , , , , 05 10, 05 2,85250C 3180, C R$1.115, 08 4) Determiar o vecimeto médio, para que um capital seja equivalete, a data de hoje, aos compromissos represetados por 3 títulos cujos valores omiais são R$ 1.000,00, R$ 2.000,00 e R$ 3.000,00, vecíveis o fim de 1 ao, 2 aos e 3 aos, respectivamete, se a taxa de juros correte for de 5% a.a., e adotado-se o : a) Descoto Racioal Simples b) Descoto Comercial Simples c) Descoto Racioal Composto d) Descoto Comercial Composto a) Descoto Racioal Simples , , , , , , , , , ,30791aos 268,96292 b) Descoto Comercial Simples , , , , ,333aos 300 Alterativamete, lembremos que, o caso de descoto simples por fora, tem-se: Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 57

6 m Ck k k ,333 aos m C k 1 k c) Descoto Racioal Composto ,05 1 0,05 1 0,05 1 0, , 05 1, , , , ,11318 LN 10, 05 LN 1, ,31968 aos 0, d) Descoto Comercial Composto , , , , , , , 05 0, , LN 0,95 LN 0, ,31907 aos 0, ) Certa loja de departametos vede determiada geladeira, cujo preço de tabela é R$ 1.200,00, as seguites codições: à vista, com 10% de descoto a prazo, com 4 prestações mesais, a primeira vecedo-se 1 mês após a data da compra. Dado que a loja utiliza a taxa de juros de 5% a.m., qual deve ser o valor das prestações, se a loja cosiderar a) Descoto Racioal Simples? b) Descoto Comercial Simples? c) Descoto Racioal Composto? d) Descoto Comercial Composto? a) Descoto Racioal Simples R 1 0, , , , ,56437 R 1080 R R$ 303, 00 3,56437 b) Descoto Comercial Simples Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 58

7 1080 R 1 0, , , , ,5R 1080 R R$ 308,57 3,5 c) Descoto Racioal Composto R ,54595R 1080 R R$ 304,57 3, ,05 1 0,05 1 0,05 1 0,05 d) Descoto Comercial Composto 1080 R 1 0, , , , ,52438R 1080 R R$ 306, 44 3, ) Certa loja de departametos vede determiada geladeira, cujo preço de tabela é R$ 1.200,00, as seguites codições: à vista, com 10% de descoto a prazo, com etrada de 20% mais 4 prestações mesais de R$ 250,00, a primeira vecedo-se 1 mês após a data da compra. Qual a taxa implícita mesal que está sedo cobrada pela loja, se sua determiação for efetuada com base o modelo de a) Descoto Racioal Simples? b) Descoto Comercial Simples? c) Descoto Racioal Composto? d) Descoto Comercial Composto? a) Descoto Racioal Simples i 1 2i 1 3i 1 4i , i 1 2i 1 3i 1 4i equação que só pode ser resolvida por procedimeto iterativo. Como primeira tetativa, esaiemos, arbitrariamete, i = 7,0% a.m. Para i = 7,0% a.m. o lado esquerdo da equação é igual a -0,05947; isto é, meor que zero. Como o lado esquerdo da equação cresce com a taxa, seu valor deve ser maior do que 7%. Como seguda tetativa, esaiemos, arbitrariamete, i = 8,0% a.m. Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 59

8 Para i = 8,0% a.m. o lado esquerdo da equação é igual a 0,00798; isto é, maior que zero. O que os leva a cocluir que a taxa procurada está o itervalo etre 7,0% e 8,0%. Daqui para frete, usaremos o método da bisseção, tomado como a próxima tetativa o poto médio do itervalo; ou seja. 7,5%. Para i = 7,5% a.m. o lado esquerdo da equação é igual a -0,02536; isto é, meor que zero. O que os leva a cocluir que a taxa procurada está o itervalo etre 7,5% e 8,0%. Para i = 7,75% a.m. o lado esquerdo da equação é igual a -0,00859; isto é, meor que zero. O que os leva a cocluir que a taxa procurada está o itervalo etre 7,75% e 8,0%. Para i = 7,875% a.m. o lado esquerdo da equação é igual a -0,000028; isto é, meor que zero. O que os leva a cocluir que a taxa procurada está o itervalo etre 7,875% e 8,0%. Como o erro é da ordem de 10-5 podemos dizer que a taxa implícita liear que a loja está utilizado está muito próxima de 7,875%a.m. Poderíamos utilizar a fução Solver do Excel para resolver este mesmo problema, como mostrado a plailha abaixo. Vale otar que o erro apresetado pelo algoritmo foi da ordem de b) Descoto Comercial Simples i i i i ,36 3, i i 0, 064 ou 6, 4% a. m. 10 Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 60

9 c) Descoto Racioal Composto , i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i equação que só pode ser resolvida por procedimeto iterativo. Como primeira tetativa, esaiemos, arbitrariamete, i = 7,0% a.m. Para i = 7,0% a.m. o lado esquerdo da equação é igual -0,02721; isto é, meor que zero. Como o lado esquerdo da equação cresce com a taxa, seu valor deve ser maior do que 7%. Como seguda tetativa, esaiemos, arbitrariamete, i = 8,0% a.m. Para i = 8,0% a.m. o lado esquerdo da equação é igual a 0,04787; isto é, maior que zero. O que os leva a cocluir que a taxa procurada está o itervalo etre 7,0% e 8,0%. Daqui para frete, usaremos o método da bisseção, tomado como a próxima tetativa o poto médio do itervalo; ou seja. 7,5%. Para i = 7,5% a.m. o lado esquerdo da equação é igual a 0,01067; isto é, maior que zero. O que os leva a cocluir que a taxa procurada está o itervalo etre 7,0% e 7,5%. Para i = 7,25% a.m. o lado esquerdo da equação é igual a -0,7558; isto é, meor que zero. O que os leva a cocluir que a taxa procurada está o itervalo etre 7,25% e 7,5%. Para i = 7,375% a.m. o lado esquerdo da equação é igual a 0,00127; isto é, maior que zero. O que os leva a cocluir que a taxa procurada está o itervalo etre 7,25% e 7,375%. Para i = 7,3125% a.m. o lado esquerdo da equação é igual a -0,00345; isto é, meor que zero. O que os leva a cocluir que a taxa procurada está o itervalo etre 7,3125% e 7,375%. Se cotiuássemos mais algumas iterações poderíamos chegar à taxa i = 7,3582% a.m. com valor bem próximo da taxa efetiva. Alterativamete, e de uma maeira mais eficiete, podemos combiar a aproximação dada pela fórmula de Karpi com o algoritmo de Newto-Rapso. Como a primeira aproximação será , , , , iˆ 1 0, ou 7,3556% a. m. Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 61

10 Com Vi ( ˆ 1) , iˆ 1 1 iˆ 1 1 iˆ 1 1 iˆ 1 e ˆ V( i1 ) , iˆ 1 1 iˆ 1 1 iˆ 1 1 iˆ 1 Logo Vi ( ˆ ) 0, iˆ 2 iˆ 1 0, , ou 7,3582% a. m. V( iˆ 1) 1886, Assim, como Vi ( ˆ 2) 0,000003, já é suficietemete próxima de zero, podemos cocluir que a taxa implícita expoecial que está sedo cobrada é 7,3582% a.m. Em se dispodo da HP 12C, fazedo-se caso da fução IRR, teremos [f][reg]1080[enter]240[-][chs][g][cf 0]250[g][CF j]4[g][n j][f][irr]7, Poderíamos também utilizar a fução Solver do Excel para resolver este mesmo problema, como mostrado a plailha abaixo. d) Descoto Comercial Composto Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 62

11 i i i i i i i i 3, equação que só pode ser resolvida por procedimeto iterativo. Como primeira tetativa, esaiemos, arbitrariamete, i = 7,0% a.m. Para i = 7,0% a.m. o lado esquerdo da equação é igual 0,01269; isto é, maior que zero. Como o lado esquerdo da equação cresce com a taxa, seu valor deve ser meor do que 7%. Como seguda tetativa, esaiemos, arbitrariamete, i = 6,0% a.m. Para i = 6,0% a.m. o lado esquerdo da equação é igual a -0,07493; isto é, meor que zero. O que os leva a cocluir que a taxa procurada está o itervalo etre 6,0% e 7,0%. Daqui para frete, usaremos o método da bisseção, tomado como a próxima tetativa o poto médio do itervalo; ou seja. 6,5%. Para i = 6,5% a.m. o lado esquerdo da equação é igual a -0,03089; isto é, meor que zero. O que os leva a cocluir que a taxa procurada está o itervalo etre 6,5% e 7,0%. Para i = 6,75% a.m. o lado esquerdo da equação é igual a -0,00905; isto é, meor que zero. O que os leva a cocluir que a taxa procurada está o itervalo etre 6,75% e 7,0%. Para i = 6,875% a.m. o lado esquerdo da equação é igual a 0,00184; isto é, maior que zero. O que os leva a cocluir que a taxa procurada está o itervalo etre 6,75% e 6,875%. Para i = 6,8125% a.m. o lado esquerdo da equação é igual a -0,00360; isto é, meor que zero. O que os leva a cocluir que a taxa procurada está o itervalo etre 6,8125% e 6,875%. Se cotiuássemos mais algumas iterações poderíamos chegar à taxa i = 6,85388% a.m. com valor bem próximo da taxa efetiva. Observação: A aplicação do algoritmo de Newto-Raphso No caso mais geral, de prestações periódicas e iguais a R, osso problema cosiste em determiar a taxa de juros i tal que: j1 Cosideremos a fução F(i), defiida como V E R 1 i, com 0 i 1 j1 F( i) V E R 1 i, com 0 i 1 Nosso problema é, etão, determiar a taxa i*, com 0 < i* < 1, tal que se teha F(i*)=0. j j Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 63

12 j Como F( i) R j 1 i 1 0, se i < 1 e F i R j j i j1 j2, se j1 ( ) i < 1, segue-se que o algoritmo de Newto-Raphso, tal como discutido o Apêdice 6A, é aplicável. Deste modo, partido da aproximação iicial tem-se, recursivamete 2 ˆ F(0) R V E i1 F(0) 1 R ˆ ˆ ˆ Fi ( k ) i k 1 i k F( iˆ ) Por coseguite, o caso em questão, ode V-E = 840, = 4 e R = 250, tem-se: iˆ 1 0,064 ou 6,4% a. m com Fi ( ˆ ) F(0, 064) 9, iˆ 2 iˆ 1 0, 064 0, 064 0, ou 6,8518% a. m. F( iˆ 1) F(0, 064) 2195, e Fi ( ˆ ) F(0, ) 0, , ou 6,8539% a. m. 2174, iˆ 3 iˆ 2 0, , F( iˆ 2) F(0, ) k Etão como F(0,068539)= 0,000928, já é suficietemete próximo de zero, temos que a taxa que está sedo cobrada, de acordo com o modelo de descoto composto por fora, é de 6,8539%a.m. Poderíamos, também, utilizar a fução Solver do Excel para resolver este mesmo problema, como mostrado a plailha a seguir. Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 64

13 7) Um comerciate oferece a seus clietes um esquema de compra a prazo com etrada de R$ 500,00, mais 3 prestações mesais de R$ 300,00, a primeira vecedo-se 45 dias após o pagameto da etrada, para o caso de uma mercadoria cujo preço à vista é R$ 1.000,00. Determiar a taxa efetiva expoecial implícita o plao. A taxa mesal i de juros compostos que está implícita o plao de compra a prazo em questão é tal que: ou 1 i 1 i 1 i 1,5 2,5 3, i 1 i 1 i 1,5 2,5 3,5 equação que só pode ser resolvida por um processo de tetativas. Fazedo uso do algoritmo de Newto-Raphso, sedo Fi ( ) e 1 i 1 i 1 i 1,5 2,5 3,5 Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 65

14 1,5 2,5 3,5 F( i) 300 tem-se 1 i 1 i 1 i ˆ F(0) 400 i1 0, F(0) 2250 e, recursivamete ˆ ˆ ˆ Fi ( k ) i k 1 i k F( iˆ ) Logo k 1,5 2,5 3,5 Fi ( ˆ ) 103, iˆ 2 iˆ 1 0, , F( iˆ 1) 1224, Fi ( ˆ ) 12, iˆ 3 iˆ 2 0, , F( iˆ 2) 952, Fi ( ˆ ) 0, iˆ 4 iˆ 3 0, , F( iˆ 3) 918, Como 4 F iˆ 0, já é suficietemete próximo de zero, segue-se que a taxa de juros compostos que está implícita o plao é 27,5%a.m. Alterativamete, para que possamos fazer uso da fução IRR da HP 12C, trabalharemos com o período de 15 dias. Com isto, o fluxo de caixa que caracteriza o plao de compras a prazo em questão, do poto de vista do comerciate, é: CF 500; CF CF 0; CF 300; CF 0; CF 300; CF 0; CF Logo, para determiação da taxa relativa ao período de 15 dias, teremos: [f][reg]500[chs][g][cf 0]0[g][CF j][g][cf j]300[g][cf j]0[g][cf j]300[g][cf j]0[g][cf j] 300[g][CF j][f][irr]12, Por coseguite, como a taxa relativa ao período de 15 dias é 12,915887%, temos que a taxa mesal procurada é: 2 i 1 0, , ou 27, 5% a. m. Podemos também utilizar a fução TIR do Excel, como idicado a plailha a seguir. Vale otar que o mesmo fluxo de caixa utilizado a resolução pela HP 12C foi utilizado o Excel, em que cada período é de 15 dias. Observamos, aida, que as células são apresetadas a forma percetual; isto é, os verdadeiros valores calculados são 0, e 0,275. Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 66

15 8) A De Faro Automóveis Importados está vededo um certo modelo de carro importado da Chia, as seguites codições: i. à vista, por R$ ,00 ii. a prazo, com R$ 8.000,00 de etrada, mais 10 pagametos mesais de R$ 4.500,00, cada um, com o primeiro sedo 1 mês após o pagameto da etrada. Cosiderado uma iflação mesal o período de fiaciameto à taxa de 0,5% a.m., pede-se: a) determiar a taxa aual aparete de juros compostos que está implícita o plao, fazedo uso da HP 12C. b) determiar a taxa aual real de juros compostos que está implícita o plao. a) Fazedo uso da HP 12C, e tedo em vista que o valor fiaciado é R$ ,00, tem-se que a taxa mesal é dada por: [f][reg]40000[chs][g][cf 0]4500[g][CF j]10[g][n j][f][irr]2, Logo, a taxa aual aparete de juros compostos, i, que está implícita o plao de compra a prazo em questão é: 12 i 1 0, , ou 29,8546% a. a. b) Como a taxa mesal de iflação é suposta costate e igual a 0,5% a.m., temos que a taxa mesal real é: 1 0, irm, 1 0, ou 1,6924% a. m. 1 0, 005 Logo a taxa aual real é: 12 ira, 1 0, , ou 22, 3107% a. a. Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 67

16 9) Sejam os dois seguites cojutos de pagametos, todos eles com seus respectivos vecimetos cotados a partir de uma mesma data origem: Cojuto A P R$18.000, 00 ; 45dias 1 1 P R$15.000, 00 ; 60dias 2 2 P R$25.000,00 ; 90dias 3 3 P R$22.000,00 ; 105dias 4 4 Cojuto B P R$30.000, 00 ; 30dias 1 1 P R$12.000, 00 ; 60dias 2 2 P N ; 90dias 3 3 Cosiderada a taxa de juros de 2% a.m., determiar o valor omial N do pagameto P 3 de modo que, relativamete à data origem, os cojutos A e B sejam equivaletes, se for adotado o pricípio do a) descoto racioal simples b) descoto comercial simples c) descoto racioal completo d) descoto comercial composto a) cosiderado o pricípio do descoto racioal simples, o valor N deve ser tal que: ou 18000, , , , ,02 1 0,02 1 0,02 1 0, , , 00 N ,02 1 0,02 1 0, , , , , , , ,943396N N R$37.199,89 b) cosiderado o pricípio do descoto comercial simples, o valor de N dever ser tal que: Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 68

17 , , , , , , 02 N 1 0, ou ,94N N R$37.127, 66 c) cosiderado o pricípio do descoto racioal composto, o valor de N deve ser tal que: ou ,02 1 0,02 1 0,02 1 0,02 45/30 60/30 90/30 105/ ,02 1 0,02 1 0,02 30/30 60/30 90/ , , , , , , , N N R$37.173,94 d) cosiderado o pricípio do descoto comercial composto, o valor de N deve ser tal que: N N 45/30 60/30 90/30 105/ , , , , 02 30/30 60/30 90/ , , , 02 ou 17462, , , , , , , N N R$37.156,95 10) Relativamete ao exercício aterior, supoha que o valor de N seja estabelecido de modo que a soma dos valores omiais dos pagametos do cojuto A, iguale a soma dos valores omiais dos pagametos do cojuto B. Determie, para cada um dos quatros modelos de descoto, a correspodete taxa de juros implícita. Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 69

18 Em sedo o valor omial de P 3 fixado de modo que N, N R$38.000, 00 teremos, trivialmete, qualquer que seja o modelo de descoto, que os dois cojutos são equivaletes à taxa ula. Ou seja, em qualquer um dos 4 casos, a correspodete taxa implícita é ula. 11) Aida com relação ao exercício 9, supoha-se que se teha fixado N=R$ ,00. Pedese determiar, relativamete a cada um dos quatros modelos de descoto, a correspodete taxa implícita mesal. a) descoto racioal simples. A taxa mesal de juros simples implícita deve ser tal que: ,5 i 1 2i 1 3i 1 3,5i 1i 1 2i 1 3i ou itroduzido a fução F (i), defiida como F i ,5i 1 2i 1 3i 1 3,5i 1 i 1 2i 1 3i i 11,5i 1 2i 1 3i 1 3,5i segue-se que a taxa i procurada deve aular a fução Fi. Ora, a equação Fi 0 só pode ser resolvida por um processo de tetativas. Assim, observado que, quado a taxa i foi fixada em 2% a.m., o exercício 9, tivemos N = R$ ,89, e que o valor de N decresce quado se aumeta o valor de i, tomemos como primeira tetativa i 1 2,5% a. m. Temos que: F 0, , , , , , Como Fi ( 1) 0, deveríamos, a rigor, para saber se devemos ou ão aumetar o valor da estimativa, determiar o sial da derivada de Fi (). Como isto é por demais trabalhoso, esaiemos, algo arbitrariamete, i 2 2,8% a.m. Teremos F 0, , , , , , , Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 70

19 Podemos, pois, cocluir que a taxa implícita pertece ao itervalo (2,5% ; 2,8%). Prosseguido, adotado o método da bisseção, testemos i3 2,5 2,8 2 2,65% a.m.. Temos que: F 0, , , , , , , Cocluiríamos que i 2,5% ; 2,65%, o que os levaria a tomar como 4ª tetativa i4 2,5 2,65 2 2,575% a.m. ; e assim por diate. Cocluiriamos que a taxa procurada é da ordem de 2,51% a.m. b) descoto comercial simples Agora, a taxa mesal de juros simples que está implícita é a taxa i tal que: i i i i i i i , , que se traduz em uma equação do primeiro grau em i. Logo: i i i i i i i i , ou 2,27% a.m c) descoto racioal composto A taxa mesal i de juros compostos, deve ser tal que: i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i ou 1, , , ,5 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i Para que possamos fazer uso da fução TIR da HP 12C, precisamos trabalhar com um fluxo de caixa cujo período seja um úmero iteiro. Assim, o caso, adotaremos como base o período de 15 dias (meio mês). Com isto, a taxa procurada, relativa ao período de 15 dias, será a taxa itera de retoro do fluxo de caixa: CF0 CF1 0; CF ; CF ; CF ; CF5 0; CF ; CF Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 71

20 Deste modo, teremos: f REG g CF g CF CHS g CF g CFj 3000 g CFj CHS g CFj gcf f IRR j 1, j j Ou seja, a taxa implícita de juros compostos, relativa ao período de 15 dias, é 1,357072% a.m. Logo, a taxa mesal procurada é: i 1 0, , ou 2,73% a.m. d) descoto comercial composto Neste caso, a taxa mesal de juros compostos que está implícita é a taxa i tal que: i i i i 1 1, , i 0 Alterativamete, trabalhado-se com a taxa î relativa ao período de 15 dias, esta deve ser tal que: iˆ iˆ iˆ iˆ iˆ Ou seja, trabalhado com a icógita auxiliar x 1 iˆ devemos resolver a equação 1 F x x x x x x ou ( ) ( x) 30 18x 3x 12x 22x 0 Observado que a equação ( x) 0 só pode ser resolvida por tetativas, e tedo em vista que, fazedo uso da relação (5.21), que relacioa as taxas de descoto comercial e racioal, tomaremos como primeira aproximação a taxa 1 î dada por 0, iˆ ˆ 1 0, x1 1 0, , , x 0 i 1 1 Observe-se que F(x) apreseta a raiz espúria ˆ Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 72

21 ode a taxa 1,3571% ao período de 15 dias é solução obtida o caso do descoto racioal composto. Temos que: 0, , e Portato, podemos iferir que a solução procurada está o iterior do itervalo (0,986631;1), sedo mais próxima da extremidade esquerda. Como seguda estimativa, testemos, etão, x2 0,988. Como 0,988 0,010551, podemos iferir que a raiz procurada é levemete superior à tetativa x 2. Testemos, etão, x3 0,9885. Como 0,9885 0, x 0,988 ; 0,9885. Assim, prosseguido agora com o método da bisseção, testemos o poto médio do itervalo : x4 0,988 0, , Como 0, , x 0,988; 0, x 0,988 0, , com 0, ,000243, que podemos cosiderar já suficietemete próximo de zero. Assim, com razoável precisão, a taxa de descoto comercial composto, relativa ao período de 15 dias, que está implícita quado se cosidera o modelo de descoto comercial composto, é: i0,5 10, , ou 1,1875% Por coseguite, em termos de taxa mesal, teremos: i0,5 2 2 i , , ou 2,3609% a.m. ; Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 73