ESTABILIDADE. Pólos Zeros Estabilidade

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Matilde Gama Sabrosa
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1 ESTABILIDADE Pólo Zero Etbilidde

2 Itrodução Um crcterític importte pr um item de cotrole é que ele ej etável. Se um etrd fiit é plicd o item de cotrole, etão íd deverá er fiit e ão ifiit, ito é, umetr em limite ft ().4 ft () t t 5

3 ESTABILIDADE Etável Qudo ujeito um etrd impulo íd tede zero à medid que o tempo tede ifiito. Itável Qudo ujeito um etrd impulo íd tede ifiito à medid que o tempo tede ifiito. Criticmete etável Qudo ujeito um etrd impulo íd ão vi pr zero em ifiito, m tede um vlor fiito diferete de zero. Etável Criticmete etável Itável

Itável Qudo ujeito um etrd impulo íd tede ifiito à medid que o tempo

4 Pólo e Zero Fução de trferêci () ( ) ( ) b b b b K m m m m m K K Se ríze do deomidor e do umerdor ão cohecid: () ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m p p p z z z K K K z m z z K, ão chmdo zero São o vlore de pr o qui fução de trferêci é zero p p p K, ão chmdo pólo São o vlore de pr o qui fução de trferêci é ifiit

K K z m z z K, ão chmdo zero São o vlore de pr o qui fução de trferêci é

5 ZEROS ão o vlore de pr o qui fução de trferêci é zero PÓLOS ão o vlore de pr o qui fução de trferêci é ifiit, ito é, ele fzem o deomidor torr-e zero Eemplo: () Pólo 4 e ( ) ( 6 8) Zero ( ) ( 4) ( ) Pólo e zero podem er qutidde comple ou rei () Pólo j e j ( ) ( ) ( ) ( j) ( j) Zero σ jω

torr-e zero Eemplo: () Pólo 4 e ( ) ( 6 8) Zero ( ) ( 4) ( ) Pólo e

6 Eemplo: Determir o pólo e o zero d Fução de Trferêci. () O pólo ão:,, 3, e 4. O zero ão: 5 e. ( 5)( ) ( ) ( ) ( 3) ( 4) Eemplo: Determir o pólo e o zero d Fução de Trferêci. () 4 3 ( 4) (,5 j,7 ) (,5 j,7 ) O pólo ão:,5 j,7 e,5 j,7. O zero é: 4. σ jω

( 5)( ) ( ) ( ) ( 3) ( 4) () 4 3 ( 4) (,5 j,7 ) (,5 j,7 ) O pólo

7 DIARAMA DE PÓLOS E ZEROS σ jω jω pólo j zero 3 σ -3 o pólo j - - jω Um pólo é mrcdo com zero pólo 3 o 3 σ Um zero é mrcdo com o

8 ESTABILIDADE E PÓLOS A etbilidde de um item pode er determid coiderdo vrição d íd com o tempo qudo é ujeito um etrd impulo. Etável A íd dimiui com o tempo Itável A íd umet com o tempo

9 Coidere um item em zero e com um pólo em () () θ () i Etrd impulo θ i ( ) () Trformd iver de Lplce θ o ( ) t t e O vlor de e t dimiui com o tempo O item é ESTÁVEL t

10 Coidere um item em zero e com um pólo em () () θ () i Etrd impulo θ i ( ) () Trformd iver de Lplce θ o ( ) t t e O vlor de e t umet com o tempo O item é INSTÁVEL t

11 Coidere um item em zero e com pólo em ( ± j) () [ ( j) ] [ ( j) ] θ () Etrd impulo θ ( ) θ () θ Trformd iver de Lplce o ( )( b) ( ) t t e e t i t bt ( e e ) b [ ( j) ] [ ( j) ] o O vlor de dimiui com o tempo i () [ ( j) ] [ ( j) ] () t θ t e j o e t e O item é ESTÁVEL t e jt e jt t

12 O item erá INSTÁVEL Se qulquer pólo tiver prte rel poitiv O item erá ESTÁVEL Se todo o pólo tiverem prte rel egtiv O item erá CRITICAMENTE ESTÁVEL Se qulquer pólo tiver prte rel ul jω σ jω σ - - σ A íd erá OSCILATÓRIA e eitirem pólo evolvedo ± jω jω

CRITICAMENTE ESTÁVEL Se qulquer pólo tiver prte rel ul jω σ jω - -

13 jω Etável jω Itável σ t σ t jω Etável jω Itável σ t σ t jω Criticmete Etável σ t

14 Critério de etbilidde de Routh-Hurwitz A determição d etbilidde de um item evolve: A determição d ríze do deomidor d fução de trferêci A coiderção de que prte rel de qulquer um del ej egtiv A ríze ão ão muito fcilmete obtid e o deomidor tem form: e é mior que 3 ou 4 K O critério de Routh-Hurwitz preet um método que pode er udo em ti ituçõe

qulquer um del ej egtiv A ríze ão ão muito fcilmete obtid e o deomidor tem form: e é

15 Critério de etbilidde de Routh-Hurwitz K O primeiro tete coite em ipecior o coeficiete d equção cim: Se o coeficiete ão todo poitivo e ehum é zero, o item pode er etável. Se qulquer coeficiete é egtivo, o item é itável. Se qulquer coeficiete é zero, o item pode er o máimo criticmete etável. ( 3 3 ) ( 3 3 ) ( 3 3) Pode er etável É itável Pode er o máimo criticmete etável

Se qulquer coeficiete é egtivo, o item é itável.

16 Pr item que têm deomidore que podem er etávei, um egudo tete deve er relizdo. K Arrjo de Routh: L L A lih eguite o rrjo ão determid por cálculo feito prtir do elemeto du lih imeditmete cim. Lih uceiv ão clculd té que pe zero preçm. O rrjo deve coter () lih Um lih correpodete cd um do elemeto.

K Arrjo de Routh: 3 4 5 L L A lih eguite o rrjo ão determid por cálculo

17 K 4 L 3 5 L b b b3 L 3 c c c3 L L 3 y y z Elemeto d 3 lih b b Elemeto d 4 lih c c 3 b b 5 b3 b

18 Regr prátic pr determir o elemeto d mtriz: o o A D o o o o o o o o o o B C A B C E F A B E o o D D E F o o Qudo o rrjo etiver completo: Se todo o elemeto primeir colu ão poitivo Tod ríze tem prte rel egtiv O item é ESTÁVEL Se eitem elemeto egtivo primeir colu O úmero de troc de il primeir colu é igul o úmero de ríze com prte rel poitiv O item é INSTÁVEL C A D F

ríze tem prte rel egtiv O item é ESTÁVEL Se eitem elemeto egtivo primeir colu O úmero de

19 EXEMPLO: Ur o critério Routh-Hurwitz pr determir e o item que tem eguite fução de trferêci é etável: () A D B E A D A primeir colu tem todo o elemeto poitivo. O item é ESTÁVEL C F.5 gt () t 5

3 3 4 3 3 4 A D B E A D A primeir colu tem todo o

20 EXEMPLO: Ur o critério Routh-Hurwitz pr determir e o item que tem eguite fução de trferêci é etável: () A D B E A D A primeir colu tem um elemeto egtivo. O item é INSTÁVEL C F 5 ft () t

21 EXEMPLO: Pr o item motrdo, qul fi de K que reult em etbilidde? () θ i () H () 3 5 H K () ( ) ( 4) 4 K ( ) ( 4) ( ) ( 4) K

22 () K K 4 K K Pr que primeir colu teh omete vlore poitivo: 4 K > K > K < K > K deve etr etre e < K <

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