SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

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1 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Um problem fudmetl que ormlmete é ecotrdo descrição mtemátic de feômeos físicos é o d solução simultâe de um cojuto de equções. Trduzido pr liuem mtemátic, tis feômeos pssm ser descritos por um cojuto de m equções em que se desej determir solução de vriáveis de iteresse, ormlmete chmds de icóits. Motivção Um trsportdor possui 5 tipos de cmihões, represetdos por (), (), (), () e (5), o quis são equipdos pr trsportr 5 tipos de diferetes máquis A, B, C, D e E seudo tbel: Máquis Cmihões A B C D E () () () () (5) Problem: Supodo que A, B, C, D e E é qutidde de máquis que cd cmihão pode trsportr levdo cr ple, qutos cmihões de cd tipo devemos evir pr trsportr etmete: 7 máquis do tipo A, máquis do tipo B, máquis do tipo C, máquis do tipo D, máquis do tipo E? Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist

2 Defiições. Um equção lier em vriáveis,,..., é um equção d form em que,,..., e b são costtes reis; = b. Um sistem de equções lieres ou simplesmete sistem lier é um cojuto de equções lieres, ou sej, é um cojuto de equções lieres do tipo:... b... b m m m... m b m em que ij e bk são costtes reis, pr i, k =,..., m e j =,...,. N form mtricil, este sistem é represetdo como: A = b. Neste cso, A = j j i i ij i m m mj m : mtriz dos coeficietes de ordem m = j : vetor de icóits de ordem b b b = bi b m : vetor idepedete de ordem m Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist

3 5 qudo m =, o sistem de equções lieres é dito qudrdo. * Resolver um sistem A = b cosiste em determir um vetor (,,... ) T stisfç simultemete tods s equções lieres que compõem o sistem. Clssificção do Sistem Lier quto à Solução Os tipos de soluções dos sistems lieres depedem d mtriz A: Sistem Possível ou Comptível que Admite solução. Sistem Possível e Determido Possui um úic solução; O determite de A deve ser diferete de zero (A é um mtriz ão-siulr); Se b for um vetor ulo (costtes uls), solução do sistem será solução trivil, ou sej, o vetor tmbém será ulo. Aálise Geométric o R : P: A = det A= - S = {*R * / = * }. Neste cso, s equções de rets + = e - = são cocorretes em R e, dest form, o sistem tem solução úic. Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist

4 6 Sistem Possível e Idetermido Possui ifiits soluções; O determite de A é ulo (A é um mtriz siulr); O vetor de costtes b deve ser ulo ou múltiplo de um colu de A. Aálise Geométric o R : P: A = det A = - = Em R, se s rets forem prlels coicidetes, etão o sistem possui ifiits soluções, portto, S = {*R / Sistem Impossível ou Icomptível * * R} Não possui solução; O determite de A deve ser ulo; O vetor B ão pode ser ulo ou múltiplo de lum colu de A Aálise Geométric o R : P: 6 A = det A = Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist

5 7 Em R, o sistem ão tem solução qudo s equções de rets que o defiem são prlels ão coicidetes. P: 6 ~ solução em R Aálise Geométric ds Soluções em R : Form do Sistem Lier: b b b Π : : vetor orml o plo Π. Π : : vetor orml o plo Π. Π : = ) Sistem comptível determido: : vetor orml o plo Π. Se, e forem Liermete Idepedetes (L.I.) em R, etão A é um mtriz ão siulr. Neste cso, o sistem P tem solução úic. Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist

6 8 P: y y y z z z Geometricmete: etre si. Os três plos Π : z y =, Π : z + y = e Π : z + y = são cocorretes b) Sistem comptível idetermido: Um sistem é comptível idetermido em R se mtriz A é siulr. Dest form, dois vetores ormis os plos devem ser Liermete Depedetes (L.D.). Três situções podem ocorrer: e : L.D. e L.I. com. () e : L.D. e L.I. com. () e : L.D. e L.I. com. () OBS: Se :, e são L.D. det A = () Geometricmete: Pr o cso () tem-se o seuite eemplo: P: y y y z z z Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist

7 9 Neste cso: Π : z y =, Π : z y = e Π : z + y =. Os plos Π e Π são prlelos coicidetes. (). Pr o cso () tem-se o seuite eemplo: P: y y y z z z coicidetes. Neste cso, Π : z y =, Π : z y = e Π : z y = são prlelos c) Sistem Icomptível: Pr sistems icomptíveis, mtriz A deve ser siulr, porém, os plos prlelos devem ser ão coicidetes. As codições de prlelismo são s mesms ecotrds em (), (), () e (). Cosiderdo-se os plos Π : z = e Π : z 5 =, Π : z y =, eometricmete tem-se: Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist

8 Os plos Π : z = e Π : z 5 = são prlelos ão coicidetes. Qudo det A = os plos Π : z + =, Π : z = e Π : z 5 = são prlelos ão coicidetes. Geometricmete tem-se: Os plos Π : z + =, Π : z = e Π : z 5 = são prlelos ão coicidetes. Defiições. Um sistem lier A = b é homoêeo se o vetor b = (b, b,..., bm) T =. Um sistem homoêeo é sempre cosistete, um vez que o vetor ulo é sempre solução deste sistem.. Mtriz Trspost: Sej A ij ), i =,...,, j =,...,. A mtriz trspost de A, deotd por A T é defiid prtir d mtriz A por: A T = (b ij ), i =,,, j =,, tl que b. ij ji Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist

9 A= A T =. Mtriz simétric: Um mtriz AR, A = ( ij ), i =,...,, j =,..., é simétric se,...,. (i j), i, j = ij ji A =. Mtriz triulr iferior: Um mtriz AR, A = ( ij ), i =,...,, j =,..., é triulr iferior se ij = pr i < j, i, j =,...,. A = 5. Mtriz triulr superior: Um mtriz AR, A = ( ij ), i =,...,, j =,..., é triulr superior se ij = pr i > j, i, j =,...,. A = OBS: Sistem triulr iferior: mtriz do sistem é um mtriz triulr iferior. Sistem triulr superior: mtriz do sistem é um mtriz triulr superior. Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist

10 6. Sistems equivletes: Sejm P e P dois sistems lieres (qudrdos ou retulres). Dizemos que o sistem P é equivlete P (otção: P ~ P ) se P é obtido de P prtir ds seuites operções elemetres: i. Troc d posição de lihs ou de colus de P; ii. Multiplicção de um lih de P por um esclr ; iii. Multiplicção um lih de P por um esclr e dição um outr lih de S. OBS: Se P e P são equivletes, etão solução de P é solução de P. Eemplo: P: multiplicdo o. lih de P por = e diciodo à o. lih de P, obtemos o sistem equivlete P ddo por: P : N form mtricil: A = ~ A = mtriz triulr superior. Clssificção dos sistems lieres Métodos diretos: são queles que forecem solução et do sistem lier, cso el eist, pós um úmero fiito de operções. Métodos itertivos: erm um sequêci de vetores { (k) } prtir de um proimção iicil (). Sob certs codições, est sequêci covere pr solução *, cso el eist. Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist

11 SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES E INVERSÃO DE MATRIZES Métodos etos pr solução de sistems lieres Pr sistems lieres possíveis e determidos de dimesão, o vetor solução, é ddo por A b. No etto, clculr eplicitmete ivers de um mtriz ão é coselhável, devido à qutidde de operções evolvids. Sure etão ecessidde de utilizr técics mis vçds eficietes como s que estudremos seuir. Sistem Triulr Superior Sej o sistem triulr superior... b... b... b em que ii ; i =,,...,. Por substituição Retrotiv podemos resolvê-lo pels fórmuls: b = i = (bi ij j ) / ii, i = ( ),..., ji Eemplo: Resolver o sistem triulr superior ( 9 ) ( ) = ( ) Por substituição retrotiv: = + = = + + = 9 = Portto, *= ( ). Sistem Triulr Iferior Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist

12 5 Sej o sistem triulr iferior: em que ii, i =,,...,. b b... b Por substituição proressiv podemos resolvê-lo pels fórmuls: b = i i = (bi j ij j ) / ii, i =,,...,. Eemplo: Resolver o sistem triulr iferior, / / y y y = 9 7 Por substituição proressiv tem-se: y = 9 y = y + y + y = 7 y = Portto, y * = 9 Método de Elimição de Guss Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist

13 6 Sej o sistem lier A = b, em que A possui tods s submtrizes pricipis ão siulres. O método de elimição de Guss cosiste em trsformr o sistem ddo um sistem triulr superior equivlete pel plicção repetid d operção: subtrir de um equção outr equção multiplicd por um costte diferete de zero. É clro que tl operção ão lter solução do sistem, isto é, obtém-se com el outro sistem equivlete o oriil. Descrição do loritmo: Cosidere o sistem: b b b cuj mtriz dos coeficietes chmremos A (). A mtriz umetd é dd por: A () = ( () () () em que ij () = ij, bi () = bi ; i, j =,,...,. () () () () () () Por hipótese temos que (), pois det (A). () b b () b () ) Psso : Elimir icóit d,,..., equções (isto é, zerr os elemetos d primeir colu bio d diol). Isso é feito d seuite form: () Subtrímos d equção equção multiplicd por m () Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist

14 7 () Subtrímos d equção equção multiplicd por m () () Subtrímos d equção equção multiplicd por m () Ao fil dest etp, teremos seuite mtriz: em que: () i () A () = ( () mi, i =,,..., () ij () ij m () i j () () () () () () () b () b, i =,,...,, j =,,..., b () ) b () i b () i m b () i, i =,,..., Temos por hipótese que ( ), pois det ( A). () i OBS: Os elemetos mi, i =,,..., são deomidos multiplicdores e o elemeto () () é deomido de pivô d primeir etp. Psso : Elimir icóit d,,..., equções (isto é, zerr os elemetos d seud colu bio d diol). Pr isso: () Subtrímos d equção equção multiplicd por m () Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist

15 8 () Subtrímos d equção equção multiplicd por m () () Subtrímos d equção equção multiplicd por m () Ao fil dest etp, teremos mtriz A () : A () = ( () () () () () () () () () () () () b () b b () b () ) em que: m () i i, i =,,..., () () ij () ij m i () j, i =,...,, j =,,..., b () i b () i m b () i, i =,,..., Seuido rciocíio áloo, procede-se té etp ( ). Psso ( ): ( ) Temos por hipótese que, pois, det(a( )), Elimir icóit - d equção (isto é, zerr o elemeto d ( )ª colu bio d diol). Isso é feito d seuite form: ( ) Subtrímos d,( ) equção, ( )ª equção multiplicd por m, ( ). ( ) E ssim, obtemos mtriz fil: A () = ( () () () () () () () () () () b () b () b () b () ) ( ),( ) Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist

16 9 em que: m b ( ),( ), ( ) ( ) ( ),( ) m ( ) ( ) ( ) ij ij,( ) ( ), j b m b ( ) ( ) ( ) i i,( ), i =, j = ( ),, i = O sistem triulr correspodete é ddo por: () () () () () () ( ) ( ), ( ) (),( ) (),( ) (),( ) () () () ( ) ( ), ( ) b b b () () () b b ( ) ( ) o qul é equivlete o Sistem Lier oriil. Eemplo: Utilizdo o método de Elimição de Guss, resolver o sistem: 6 + = 7 { + + = = Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist

17 5 Eercício: Utilizdo o método de Elimição de Guss, resolver os sistems Lieres: + + = ) { + + = + = * = 7 b) { = = = 9 * Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist

18 5 Método de Guss com Pivotemeto Prcil Cosidere o sistem de equções lieres: O Método de Guss com Pivotemeto Prcil cosiste em trsformr o sistem ddo, trvés de operções elemetres sobre s lihs, em sistem triulr superior, tomdo como pivô em cd psso, o elemeto de mior vlor bsoluto bio d diol de cd colu d mtriz A (elemeto (k ) kk ). ( k ) Se em lum psso k ecotrrmos isso siific que det (Ak) =. Nesse cso, kk o sistem id pode ter solução determid, bst que equções sejm permutds de modo que o coeficiete d k ª icóit sej, ou sej, det (A). OBS: Qudo usmos est estrtéi de pivotemeto pode-se provr que propção dos erros de rredodmeto é cotrold, um vez que o elemeto pivô será o mior em vlor bsoluto de cd colu. Eemplo: Utilizdo o Método de Elimição de Guss com Pivotemeto Prcil, resolver o sistem bio: b b b Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist

19 5 Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist Eercício: Utilizdo o Método de Guss com Pivotmeto Prcil, resolv o sistem: *

20 5 Método de Guss com Pivotemeto Totl Cosidere o sistem de equções lieres: b b b O Método de Guss com Pivotemeto Totl cosiste em trsformr o sistem ddo, trvés de operções elemetres sobre s lihs e colus, em sistem triulr superior equivlete. Neste cso, tommos como pivô, em cd psso, o elemeto de mior vlor bsoluto etre todos os elemetos d submtriz bio d k-ésim lih e prtir d k-ésim colu, (k) isto é, etre os elemetos ij, i k, j k. OBS:. As trocs de colus mtriz produzem trocs o vetor solução. Dest form, s trocs devem ser rmzeds em um vetor Q = (q, q,..., q), em que qj forece colu posição j.. Est estrtéi ão é usulmete empred, pois, evolve um comprção etre os elemetos evolvidos troc de lihs e colus, que crret um esforço computciol mior que estrtéi de pivotemeto prcil. Eemplo: Resolver o sistem de equções lieres usdo o Método de Elimição de Guss com Pivotemeto Totl. 6 Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist

21 5 Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist Eercícios ) Resolver pelo método de Elimição de Guss com pivotmeto totl, o sistem: 5 *

22 55 Método de Decomposição LU O processo de decomposição LU (Lest Upper) é um ds técics mis utilizds pr resolver um sistem lier A = B. Est técic cosiste decomposição d mtriz A em um produto de mtrizes L e U. Cosidermos que L é um mtriz triulr iferior com diol uitári e que U é mtriz triulr superior. Teorem: (Decomposição LU) Sej A = (ij) um mtriz qudrd de ordem, e Ak o meor pricipl, costituído ds k primeirs lihs e k primeirs colus de A. Assumimos que det(ak), k =,,...,. Etão, eiste um úic mtriz triulr iferior L = (lij), com l = l=...= l =, e um úic mtriz triulr superior U= (uij) tl que LU = A. Além disso, det(a) = u u...u. Demostrção: Neide Bertoldi Frco (Editor Perso, 6) Processo de decomposição d mtriz A em LU Pr obter os ftores lij e uij ds mtrizes L e U podemos plicr defiição de produto e iuldde de mtrizes, ou sej, LU = A: u u u u l u u u l l u u l l l u L U Pr obtermos os elemetos d mtriz L e d mtriz U, devemos clculr os elemetos d lih de U e os elemetos d colu de L seuite ordem: ª lih de U: u = u = u = u = u = u = A ª colu de L: l u = l l u = l u u Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist

23 56 l u = l u ª lih de U: l u + u = u = - l u l u + u = u = - l u l u + u = u = - l u ª colu de L: l u + l u = l u + l u = l u + l u = l l l l u u l u l u u u Se cotiurmos clculdo ª lih, ª colu, ª lih, ª colu etc, teremos s fórmuls eris: u l ij ij ij ( ij i ik k j l l ik k u u kj kj ) / u jj i j i j Aplicção d Decomposição LU resolução de Sistems Lieres Sej o sistem lier A = b de ordem, em que A stisfz às codições d decomposição LU (Teorem). Etão o sistem A = b pode ser escrito como: (LU) = b Se cosiderrmos y = U, solução do sistem lier pode ser obtid prtir d resolução dos sistems triulres: Ly = b U = y OBS: A decomposição LU forece um dos loritmos mis eficietes pr o cálculo do determite de um mtriz. Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist

24 57 Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist Eemplo Utilizdo o método de decomposição LU, resolver o sistem A = b e clculr o det(a): 5 7 5

25 58 Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist Eercício Cosidere o sistem: 5 ) Resolver o sistem usdo decomposição LU b) Clculr det(a) utilizdo decomposição LU.

26 59 Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist OBSERVAÇÃO : Se o det(ak) = pr lum k =,...,, ms det(a), etão podemos plicr o processo de decomposição LU desde que permutemos lih k por um lih bio del e det (Ak), k =,...,. Eemplo: Determir solução do sistem utilizdo decomposição LU: 5 5 7

27 6 Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist OBSERVAÇÃO : O método de Elimição de Guss tmbém pode ser utilizdo pr obteção dos coeficietes lij e uij ds mtrizes d decomposição LU. Pr mtriz L, bst ssocirmos os coeficietes lij os coeficietes mij do método de Elimição de Guss e cosiderrmos lii = e lij = se i < j. Deste modo, temos: L m m m m m m M A mtriz resultte do processo de Elimição de Guss (mtriz esclod) é mtriz U do método d decomposição LU. Eemplo: Determir solução do sistem: Método de Elimição de Guss: Sistem resultte: = 5 * = 5 Método de Decomposição LU:

28 6 Sistems resulttes: Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist

29 6 Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist Método de Guss Compcto Sej o sistem lier A = b, de ordem, em que A possui tods s submtrizes ão siulres. O Método de Guss Compcto é um meir prátic de se obter s mtrizes L e U d de decomposição LU, rmzedo- de form compct. Os termos idepedetes bi, i =,..., são obtidos d mesm meir que os elemetos uij e serão chmdos de ui,+, i =,...,. Costrução do método Sej o sistem lier b b b Primeirmete, motmos mtriz de ordem (+):,,, em que b b b,,,. Em seuid, costruímos mtriz (+), em que os termos idepedetes bi, i =,,...,, por serem obtidos d mesm meir que os elemetos uij, serão chmdos de ui,+, i =,,...,. Assim, sobre mtriz oriil rmzemos mtriz:,,, u u l l u u u l u u u u Pr determir os termos uij e lij, i, j =,,..., utilizmos s mesms epressões d decomposição LU, etretto, i =,,..., e j =,,...,, (+):

30 6 u l ij ij ij ( ij i ik k j l l ik k u u kj kj ) / u jj i j i j Determidos os elemetos uij e lij, i, j =,,..., resolvemos o sistem U = b, em que b i = ui,+, i =,,...,. OBS: No cso em que y é determido pelo Guss Compcto, ão é ecessário resolver o u, u, sistem Ly = b, bst resolver diretmete U = y, em que y u, Um ds vtes do método de Guss Compcto, é que podemos resolver de um só vez vários sistems ssocidos. Eemplo:. Utilizdo o método de Guss-Compcto, resolver o sistem mtricil:. y y y 7 Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist

31 6 Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist Eercício Resolver o sistem mtricil composto usdo o método de Guss-Compcto: z y z y z y

32 65 Método de Cholesky O Método de Cholesky é defiido pr resolução de sistems lieres de ordem qudrd cuj mtriz dos coeficietes sej simétric e defiid positiv. A decomposição feit seuir cosider ests hipóteses Assim, mtriz dos coeficietes A é decompost o produto G.G T, em que G é um mtriz triulr iferior com elemetos d diol estritmete positivos. A = G G T Aplicdo defiição de produto mtricil, obtém-se s seuites fórmuls pr os elemetos de G e su trspost: Elemetos diois Dest form, ii ii i k ik, i,,..., pr elemetos d diol pricipl Elemetos ão diois ª colu i i, i,,..., Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist

33 66 ª colu j ij ik. jk k ij, i,,..., jj j-ésim colu j, j j, j j j, j, j j j j, j j, j j j jj j, j j, j jj jj Assim, i i, i,,..., j pr elemetos que ão pertecem diol pricipl. ij ik jk k ij, j i jj Um vez clculd mtriz G, solução do sistem A. = b fic reduzid à solução dos seuites sistems triulres: Gy = b G T = y OBS: Utilizdo Decomposição de Cholesky, temos que A = G.G t. Portto, det (A) = (det G) = (...) Eemplo: Sej A. Verificr se A pode ser decompost em G.G t b. Decompor A em G.G t c. Clculr o determite de A. d. Resolver o sistem A = b com b = ( 5) T Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist

34 67 Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist Eercício. Sejm s mtrizes: 9 A ; B Escolh dequdmete e resolv um dos sistems A = b, B = b, pelo processo de Cholesky, em que b = ( 6 9) T.

35 68 Mtriz ivers Sej A um mtriz qudrd de ordem. Se det(a), etão eiste um mtriz B, tl que seuite relção sej stisfeit : A B B A I (I é mtriz idetidde) A mtriz B é chmd de mtriz ivers de A e represetd por B = A. Loo, tem-se: - A A A A I Dest form,... b b... b b b... b b b... b... A A Portto, pr determir s colus d mtriz A - resolvemos sistems lieres utilizdo qulquer método que resolv sistems lieres. I... b... b... b - Primeir colu de A... b... b... b -... b... b... b Seud colu de A - -ésim colu de A Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist

36 69 De form resumid, sej A - = b b b mtriz ivers de A, tl que bj, j =,,..., é j-ésim colu de A -. Além disso, cosidere ej j-ésim colu d mtriz idetidde I, ou sej, I = e e e, tl que Podemos escrever o sistem lier e j j j- ésim lih de e. Abj = ej j =,,..., Assim, resolvedo estes sistems por qulquer método de sistems lieres (desde que sus codições sejm stisfeits), ecotrmos cd colu de A -. Obtemos s colus d A - fzedo: ) Método de Elimição de Guss A bj = ej, j =,...,. ) Método de Decomposição LU (L U) bj = ej, j =,...,. Resolvem-se os sistems: L yj = ej, U bj = yj, j =,...,. ) Método de Cholesky (somete pr mtriz simétric e positiv defiid) G G T. bj = ej, j =,...,. Resolve-se os sistems: G yj = ej G T bj = yj, j =,...,. ) Guss Compcto Devemos utilizr o mesmo esquem d resolução de sistems mtriciis, isto é: Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist

37 7 Fzedo AX = I, s colus d mtriz X são s colus d mtriz ivers, desde que AA - = I. OBS: Se det(a) =, diz-se que mtriz A é ão-iversível ou siulr. Eemplo:. Determie ivers d mtriz A utilizdo lum método estuddo. A Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist

38 7 Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist Eercícios Resolv os sistems lieres triulres bio: ) 6 5 b) Resolv os sistems lieres bio pelo Método de Elimição de Guss. ) - 5 b) - 5 Resolv os sistems lieres bio pelo Método de Guss com Pivotmeto Prcil. ) b) - -

39 7 Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist Resolv os sistems lieres do eercício terior pelo Método de Decomposição LU. 5 Resolv o sistem lier seuir pelo Método de Guss com Pivotmeto Prcil Cosidere o seuite cojuto esprso de equções lieres: Mostre que, usdo o método de Elimição de Guss, o sistem triulr resultte permece esprso. Um sistem lier como esse é chmdo tridiol. Tis sistems lieres precem com frequêci solução de equções difereciis prciis. 7 Sej A ) Verifique se mtriz A stisfz s codições d decomposição LU. b) Decompoh A em LU. c) Clcule o determite de A. d) Resolv o sistem A.=b, ode 7 9 b. 8 Resolv o sistem A.=b pelo Método d Decomposição LU, em que b e A

40 7 Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist 9 Cosidere o sistem lier 5 ) Resolv o sistem usdo o método de decomposição LU. b) Clcule o determite de A pelo mesmo. Quis ds mtrizes bio podem ser decomposts form LU? Decompoh s que forem possíveis ,, C B A Sej 5 A ) Verifique se A pode ser decompost em G.G T (Cholesky). b) Decompoh A em G.G T. c) Clcule o determite de A. d) Resolv o sistem A.=b, em que b. Sej A ) Verifique se A pode ser decompost em G.G T. b) Decompoh A em G.G T. c) Clcule o determite de A. d) Resolv o sistem A.=b, em que 8 6 b.

41 7 Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist Sejm s mtrizes B e 9 A Escolh dequdmete e resolv um dos sistems A = b, B = b, pelo processo de Cholesky, em que b =. 9 6 T Usdo o Método de Elimição de Guss resolv os seuites sistems: ) b) c) Resolv o sistem mtricil usdo o Método de Decomposição LU: - y z y z y z 6 Cosidere os sistems lieres: Fç um escolh dequd pr resolver um deles pelo método de Decomposição LU e o outro pelo método de Cholesky. Justifique su respost.

42 7 7 Resolv o sistem lier mtricil pelo Método de Guss: y y - y Cosidere o sistem lier A. = b, em que: A 5, e b Pr que vlores de α: ) A mtriz A é pode ser decompost o produto LU? Justifique. b) O sistem pode ser resolvido por Cholesky? Justifique. c) Cosidere α = e resolv o sistem lier obtido pelo método de Elimição de Guss. 9 Sej o sistem lier A. = b ddo por: ) Determie ivers d mtriz A pelo método de Elimição de Guss. b) Resolv o sistem lier usdo mtriz ivers obtid o item terior. Cosidere mtriz A Clcule A - utilizdo o Método de Elimição de Guss. Usdo decomposição LU, ivert mtriz Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist

43 75 Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist Dd mtriz Clcule A - utilizdo o Método de Cholesky. Sej 6 A usdo o Método de Guss com Pivotmeto Prcil clcule A -. Cosidere mtriz bio e clcule su ivers usdo o Método de Decomposição LU e Método de Elimição de Guss. A 5. Utilizdo Cholesky, ecotre ivers d seuite mtriz: A = 9 6. Utilizdo Guss Compcto, ecotre ivers d seuite mtriz: A =

44 76 Métodos itertivos pr solução de sistems lieres Métodos itertivos são queles que se bseim costrução de sequêcis de proimções. A cd psso, os vlores clculdos teriormete são utilizdos pr reforçr proimção de modo que o resultdo obtido erlmete é proimdo. Pré requisitos pr os métodos itertivos Norms de vetores Chm-se orm de um vetor,, qulquer fução defiid um espço vetoril E, com vlores em R, stisfzedo s seuites codições: N) e = se e somete se =. N) = pr todo esclr. N) y y (desiuldde triulr). Como eemplos de orms o R temos: ) = E i i, b) = m i, c) i = i i Eemplo:. Obter, e. E E = = Defiição: Dd um sequêci de vetores (k) E, dizemos que sequêci { (k) } covere pr E ( ) k, qudo k. Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist

45 77 Norm de mtrizes O cojuto ds mtrizes ( ), com s operções de som de mtrizes e produto de um esclr por um mtriz form um espço vetoril E de dimesão. Podemos etão flr em orm de um mtriz A E. Alums orms de mtrizes: ) A m (orm lih) ij i j b) A m ij (orm colu) j i c) A E ij i, j Eemplo de cálculo de orms: Sej: A= 6 A (orm euclidi) A A = E Defiição: Norms cosistetes Dd um orm o R e um orm de mtrizes dizemos que els são cosistetes se, pr qulquer, A A Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist

46 78 Métodos itertivos Um método itertivo pr clculr solução de um sistem A = b (det(a) ) é deomido itertivo qudo forece um sequêci de soluções proimds, sedo que cd solução proimd é obtid pel terior. De modo erl, costrução do método itertivo cosider trsformção do sistem oriil A = b pr form equivlete = B + e posteriormete, prtir dess ov form e de um solução proimd iicil (), determimos um sequêci de soluções proimds cosiderdo o processo itertivo: (k+) = B (k) +, k =,,,... em que B é mtriz itertiv ( ) e é o vetor ( ). Método de Jcobi-Richrdso Cosidere o sistem de equções lieres b b b em que mtriz A (det(a) ) do sistem lier pode ser escrit como som de três mtrizes: A = L+D+R. Escolhemos L, D e R de modo que L só teh elemetos bio d diol D só teh elemetos diol R só teh elemetos cim d diol. lij = ij, i j, i j dij = ij, i, i j j rij = ij, i, i j j Eemplo () ( ) A = ( ) L + ( ) D + ( ) Supodo det(d) (ii, i=,...) e dividido cd lih pelo elemeto d diol, temos: R Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist

47 79 ( ) A = ( ) + ( ) + ( ) A costrução d mtriz A* foi eemplificd pr o cso, porém, ess costrução é válid pr qulquer dimesão. Obvimete, os elemetos bi do vetor b tmbém são divididos pelo elemeto ii. No cso erl temos: L I R l * ij ij ij ii, i j, i j r * ij ij ij, i j ii, i j b i bi ii e o sistem lier é reescrito como: (L * + I + R * ) = b * = b (L + R ) O método itertivo de Jcobi-Richrdso fic: (k+) = b (L + R ) (k) Dest form, ddo o sistem lier, o Método de Jcobi cosiste determição de ( k) ( k) ( k) um sequêci de proimtes de ídice k:,,...,, k,,,... prtir de vlores B () () () iiciis,,...,, k,,,... e trvés do processo defiido por: ( k ( k ( k ) ) ) ( b ( b ( b... ( k ) ( k ) ( k )...,-.. ( k ) ( k ). ( k ) ) / ) / ) / Critério de coverêci do método de Jcobi: ij m i j ji ij m j i i j ii jj (Critério ds Lihs) (Critério ds Colus) Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist

48 8 Critério de prd: O método itertivo de Jcobi-Richrdso pr qudo: (k+) (k) (k+) < ε sedo um vlor pré-estbelecido pr precisão. OBS: Se mtriz for estritmete diol domite (isto é, em cd lih, o elemeto d diol é estritmete mior que som de todos os outros elemetos d lih), etão o critério de coverêci é utomticmete tedido pr B = -(L*+R*). A coverêci idepede de (). No método de Jcobi-Richrdso todos os vlores de d iterção (k+) depedem dos vlores de d iterção (k), por isso o método é tmbém chmdo de Método dos deslocmetos simultâeos. Eemplo Resolv o sistem lier: Utilizdo o método de Jcobi- Richrdso com () = (.7, -.6,.6) T e precisão ε = Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist

49 8 k OBS: - Pr < - solução do sistem é: = (.99 ; -.99 ;.99) T ; - A solução et do sistem proposto é = (, -, ) T. Eercícios:. Resolver o sistem do eercício terior com b =(,, 8), () = (,, ) T e com precisão ε = -.. Resolver o sistem: utilizdo o método de Jcobi- Richrdso com () = (.9;.9) e precisão ε = -. Solução com 5 iterções: = (.9968;.) T. Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist

50 8 Método de Guss - Seidel O método de Guss Seidel é um vrite do método de Jcobi Richrdso que celer busc d solução pr o sistem. No método de Jcobi Richrdso, o sistem lier A = b foi reescrito como = B +, com B = (L* + R*) e = b*. O processo itertivo foi descrito como: (k+) = b (L + R ) (k). Se eplicitrmos s vriáveis deste processo, temos: ( k ( k ( k ) ) ) ( b ( b ( b... ( k ) ( k ) ( k )...,-.. ( k ) ( k ). ( k ) ) / ) / ) / Observe que qudo clculmos ( k) ( k), já sbemos o vlor de e, qudo ( k) ( k) clculmos, já sbemos e. Em erl, sbemos os vlores de que multiplicm L *. ( k) ( k ) Como é um melhor proimção de do que, podemos utilizá-lo o ( k) ( k) ( k) ( k) cálculo de, ssim como podemos utilizr e o cálculo de form, temos o método itertivo de Guss Seidel: (k+) = b L (k+) R (k) ( k). Dest Assim como o método de Jcobi, ddo o sistem lier, o Método de Guss Seidel cosiste determição de um sequêci de proimtes de ídice k: ( k) ( k) ( k) () () (),,...,, k,,,... prtir de vlores iiciis,,...,, k,,,... e trvés do processo defiido por: ( k ( k ( k ) ) ) ( b ( b ( b... ( k ) ( k) ( k)...,-... ( k ) ( k ) ( k) ) / ) / ) / Critério de coverêci: O método de Guss Seidel covere se: ij m (Critério ds Lihs) for stisfeito. i j ji ii Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist

51 8 Critério de Sssefeld for stisfeito ( m ), em que os vlores i são clculdos por recorrêci trvés de i i i j i ij ii. j ji ij ii Critério de prd: O método itertivo de Guss Seidel pár qudo: OBS: (k+) (k) (k+) < ε sedo um vlor pré-estbelecido pr precisão. Ddo um sistem lier A = b pode cotecer que o método de jcobi-richrdso sej coverete equto que o método de Guss-Seidel sej diverete e vicevers. Se B ão for muito meor que, coverêci pode ser bstte let. A coverêci pr os métodos: Jcobi-Richrdso e Guss-Seidel ão depede do vlor iicil (). Um permutção coveiete ds lihs ou colus de A tes de dividir cd equção pelo coeficiete d diol pricipl pode reduzir o vlor de B. Eemplo: Resolver o sistem: pelo método de Guss-Seidel com () = (,,) T e < -. Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist

52 8 k OBS: Pr < - temos que solução do sistem é = (.;.99; -.) t A solução et do sistem proposto é = (,, -) T. Eercício: Resolver o sistem: utilizdo o método de Guss-Seidel com () = (.9;.9) e precisão ε = -. Solução com iterções: = (.5;.996) T. Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist

53 85 Eercícios:. Resolver o sistem: pelo método de Jcobi-Richrdso com () = (,,) T e < -.. Ddo o sistem: 8 7 ) Verificr possibilidde de plicção do método itertivo de jcobi-richrdso. b) Se possível, resolvê-lo pelo método do item ).. Ddo o sistem: 6 5 Mostrr que reordedo s equções e icóits poderemos fzer com que o critério de Sssefeld sej stisfeito, ms ão o ds lihs.. Ddo o sistem 5 7 ) Verificr coverêci usdo o critério ds lihs e o critério de Sssefeld. b) Resolv o sistem utilizdo Jcobi e Guss-Seidel com () =(-., 5.5,.8) T e = -. Efetur, em mbos os csos, dus iterções prtido-se do vetor () = (-.; 5;.) t. Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist

54 86 5. Ddo o sistem: ) Verificr coverêci usdo o critério de Sssefeld. b) Resolver pelo Método de Guss-Seidel ( iterções prtir do vetor ulo). 6 Resolv o sistem lier bio pelo Método de Jcobi com () =(,,, ) T e = Ddo o sistem ) Verifique possibilidde de plicção do método itertivo de Jcobi. b) Se possível, resolvê-lo com () = (,, -) T e = -. 8 Ddo o sistem A.=b ode A - - e b ) Verifique coverêci usdo o critério de Sssefeld. b) Resolv pelo Método de Guss-Seidel prtido do vetor ulo com = -. 9 Resolv o sistem lier pelo Método de Guss-Seidel com () =(,,, -) T e = Métodos Numéricos Computciois Prof. Adri Cherri Prof. Adré Vi Prof. Atoio Blbo Prof Edmé Bptist