MÉTODOS ITERATIVOS PARA RESOLUÇÃO DE SISTEMAS
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- Vítor Bento
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1 MÉTODO ITRATIVO PARA ROLUÇÃO D ITMA ) NORMA D UMA MATRIZ: ej A=[ ij ] um mtriz de ordem m: Norm lih: A má i m j ij Norm colu: A má jm i ij emplos: I) A 0 A A má má ; 0 má{4 ; } 4 0 ; má{; 5} 5 Os.: por coveção: A A II) B B B 5 má ; ; III) C 5 6 C C má 5 ; 6 ; IV) e,98,9,0 ;?
2 0,0 0,07 0,0 0, 07 ) MÉTODO ITRATIVO OBJTIVO: Ddo um sistem A = B, prtir de um solução iicil 0, clculr: G G 0 k k G O processo cotiurá té que: prd). k k (codição de OBRVAÇÕ:. k proimção pr solução do sistem iterção (ou repetição) de úmero k; m um sistem de ordem : k. G processo itertivo;. Mtriz d codição de prd: k k ( k ) T
3 Portto: k k má ; ; ; MÉTODO ITRATIVO D JACOBI Cosiste em reescrever o sistem A = B form: o relciometo itertivo fic: d F d F Deste modo, prtir de um () () d F d F d F (0) () 0, pode-se determir: Os.: ou d F G sej : O processo cotiurá té que: k k CRVNDO O ITMA A = B NA FORMA = d + F emplo ilustrtivo: cosiderdo-se o sistem de ordem ( = ): com, ii 0 ste sistem vi ficr form = d + F, qudo for escrito:
4 () Verificção: este último sistem pode ser escrito form de um equção mtricil: ou, id: Oserv-se qui que o sistem já está form = d + F. Deste modo: d e F O relciometo itertivo pode, etão, ser escrito em ():
5 MPLO: Resolver os sistems ddos usdo o método itertivo de Jcoi. ) Usr = 0 - e ROLUÇÃO: (0) 0,50 0,50 - quções de iterções: ( k ) ( k ) ( k) ( k ) - Pr k = : () () (0) 0,5 (0) 0,5 () (0) Norm? 0,50 0,75 () (0) 0,50 0,50 0 0,75 0,50 0,5 () (0) 0, 5 fz-se ecessário um ov iterção.
6 - Pr k = : () () () () () 0,75 () 0,5 () 0,58 0,75 0,58 0,50 0,08 0,75 0,75 0 () 0, 08 - Pr k = : () 0,58 0, 7 () - Pr k = 4: () 0, 04 (4) 0,57 0, 7 (4) () 0, 0 A solução do sistem pr = 0 - é: T T (4) 0,57 0,7 ) Resolver o sistem usdo o método itertivo de Jcoi. 4 7 Usr = 0 - ou 4 iterções o máimo. ROLUÇÃO: - quções de iterções:
7 7 4 - Resultdos: K K K K K - K- K - K- K - K- K - K ,500 0,49 0, 0,500 0,49 0, 0,500-0,54 0,57 0,0 0,04 0,07 0,0 0,07-0,5 0,7 0,78 0,0 0,04 0,0 0,0 4-0,5 0,8 0,86 0,0 0,0 0,008 0,0 A solução do sistem pr 4 iterções é: (4) 0,5 0,8 0,86
8 MÉTODO ITRATIVO D GAU IDL - Comprtivmete: MÉTODO D JACOBI MÉTODO D GAU - IDL (k (k ) ) () () () () - Pr um sistem de ordem : MÉTODO D JACOBI MÉTODO D GAU - IDL De um modo gerl o método de Guss eidel tor covergêci do processo itertivo mis rápid ( oteção d solução do sistem é feit com um úmero meor de iterções). Ms, pode hver situções que o processo covirj com um método e ão com o outro. Outrs situções, em que o processo coverge com mos os métodos são mostrds seguir, pós o eemplo.
9 MPLO: Resolver o sistem ddo usdo o método itertivo de Guss - eidel. Usr = 0 - ou 4 iterções o máimo. 4 7 ROLUÇÃO: - quções de iterções: Resultdos: K K K K K - K- K - K- K - K- K - K ,500 0,500 0, 0,500 0,500 0, 0,500-0,54 0,6 0,74 0,04 0,7 0,059 0,7-0,5 0,86 0,88 0,00 0,0 0,04 0,0 4-0,55 0,80 0,85 0,00 0,006 0,00 0,006 A solução do sistem pr 4 iterções é: (4) 0,55 0,80 0,85 Oserv-se que, pr o mesmo úmero de iterções, solução dd pelo método de Guss eidel foi otid com um meor erro (est comprção está sedo feit porque os sistems dos dois eemplos são iguis).
10 CONVRGÊNCIA DO MÉTODO ITRATIVO ej o sistem A = B escrito d form: o relciometo itertivo : d F () d F () Fzedo-se () (): F Defiido-se: (i) (i), (i) erro iterção i, tem-se: F Aplicdo-se orm: F () Oservção: se A e B são mtrizes: ou sej, AB A B AB A B (I) ou AB A B (II) e ocorrer (II) em (): F Assim: F
11 Um idicção de que o processo itertivo está covergido é: Isto sigific que: F st é, etão, um codição suficiete (ão ecessári) pr que o sistem A = B covirj pr = d + F (pr que série = d + F sej covergete). ste critério tmém pode ser verificdo usdo-se orm colu. Isto é: um codição suficiete pr que o método itertivo gere um seqüêci = d + F covergete é: F OUTRO CRITÉRIO: ão codições suficietes pr que o sistem A = B covirj pr = d + F: CRITÉRIO DA LINHA: i ii j ji ij ; pr: i,,, CRITÉRIO DA COLUNA: j jj i i j ij ; pr: j,,, CRITÉRIO D ANFLD ste critério é válido pr o método de Guss eidel: um codição suficiete pr que o método gere um seqüêci = d + F covergete é:
12 4 4 4 () Oservção: Pode-se firmr que um método itertivo ger um seqüêci covergete pr = d + F se pelo meos um dos critérios teriores for verificdo. Cso cotrário d poderá ser dito quto à covergêci. MPLO: Cd mtriz dd tel seguite represet mtriz dos coeficietes ds vriáveis de um sistem A = B. stude cd mtriz, com relção os critérios de covergêci estuddos. MATRIZ CRITÉRIO DA LINHA CRITÉRIO DA COLUNA CRITÉRIO CRITÉRIO DA NORMA DA MATRIZ F CRITÉRIO D ANFLD 4 () 7 IM NÃO IM IM () 4 7 NÃO IM IM IM () IM NÃO IM IM 5 6 4
13 MATRIZ CRITÉRIO DA LINHA CRITÉRIO DA COLUNA CRITÉRIO CRITÉRIO DA NORMA DA MATRIZ F CRITÉRIO D ANFLD 8 6 (4) NÃO NÃO IM NÃO (5) 6 NÃO IM NÃO NÃO (6) 0 NÃO NÃO NÃO IM (7) 4 IM NÃO NÃO IM 0 Os.: NÃO o critério ão é verificdo IM o critério é verificdo. O sistem coverge pr = d + F
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