SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES

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1 SISTEM DE EQUÇÕES LINERES Defiição Ddos os úmeros reis b com equção b ode são vriáveis ou icógits é deomid equção lier s vriáveis Os úmeros reis são deomidos coeficietes ds vriáveis respectivmete e b é deomido de termo idepedete Um Sistem Lier sobre R com m equções e icógits é um cojuto de m equções lieres com vriáveis e é represetdo por: b b m m m b m om R i m e j ij b i Mtries ssocids um Sistem Lier Sistems podem ser represetdos form mtricil: m m b b m bm { { B Deomids mtri de oeficietes mtri de Vriáveis e mtri B de Termos Idepedetes ssim um sistem lier com m equções e icógits fic represetdo pel equção mtricil B Outr mtri que se pode ssocir um sistem lier é Mtri mplid ou omplet do sistem m m m b b b m

2 lssificção de Sistems lssific-se um sistem lier de cordo com o tipo de solução Um solução pr um sistem de equções lieres é um -upl de úmeros reis s s s ) que ( stisf tods s equções simultemete isto é substituido-se vriável pelo vlor s por s e por s em cd um ds equções tods s igulddes são verddeirs O cojuto solução S do sistem é o cojuto de tods s soluções Eemplo: Ddo o sistem cojuto solução S {()} o pr ordedo ( ) é solução deste sistem ssim o De form gerl temos que um ddo sistem de equções lieres sobre R pode ser clssificdo como: Sistem ossível (ou omptível ou osistete) Determido (SD): há um úic solução Idetermido (SI): há ifiits soluções Sistem Impossível (ou Icomptível ou Icosistete) (SI): ão há solução Resolução de Sistems utilido o Método de Elimição Gussi Ddo um sistem de equções lieres esper-se ecotrr su solução isto é resolvê-lo O método de resolução utilido será o Método de Elimição Gussi idéi do método é obter um sistem mis simples equivlete o sistem ddo Dois sistems de equções lieres são deomidos sistems equivletes qudo possuem mesm solução Eemplo: Os sistems cojuto solução S {( )} e 8 são equivletes pois mbos possuem o mesmo O Método de Elimição Gussi Ddo um sistem lier com m equções e vriáveis: Obter mtri mplid Esclor mtri mplid utilido operções elemetres Fer álise de cordo com o teorem bio: Teorem: Um sistem lier de m equções e vriáveis dmite solução se e somete se o posto d mtri mplid esclod ( ) for igul o posto d mtri de coeficietes ( ) ssim: ) Se o sistem é ossível Determido (SD) b) Se < o sistem é ossível Idetermido (SI) c) Se o sistem é Impossível (SI) Reescrever o sistem ssocido mtri esclod equivlete o sistem ddo e: ) Se o sistem for SD ecotrr o vlor de um vriável e por substituição determir s demis vriáveis Idicr o cojuto solução S que este cso coterá pes um -upl

3 b) Se o sistem for SI escolher vriáveis livres ou idepedetes O úmero tmbém é deomido o gru de liberdde ou gru de idetermição do sistem s vriáveis que depedem ds vriáveis livres são deomids vriáveis mrrds ou ligds Idicr o cojuto solução S presetdo tods s ordeds d -upl em fução ds vriáveis livres c) Se o sistem for SI idicr S Eemplo: Sej o sistem com equções e icógits mtri mplid é pós o esclometo mtri esclod é E mtri de coeficietes é: álise: Logo o sistem é possível determido (SD) O sistem equivlete é pós s substituições e S solução do sistem é {( )} Resolvedo e Iterpretdo Geometricmete Sistems Lieres o R O cojuto de pres ordedos de úmeros reis é desigdo por R {( ) R e R} Geometricmete tem-se o plo R descrito por dois eios - eio e eio Y - perpediculres etre si iterceptdo-se o poto ( ) deomido origem Eemplos: ) Sej o sistem com equções e vriáveis: 7 plicdo o Método de Elimição Gussi: Mtri mplid 7 Mtri esclod:

4 Mtri de coeficietes álise : Sistem ossível Determido (SD) Sistem equivlete Substituido o vlor de primeir equção tem-se Logo solução do sistem é descrit por S {()} Iterpretdo geometricmete: cd equção do sistem represet um ret ests rets se iterceptm em um úico poto ( ) Y ) Ddo o sistem: Mtri mplid: Mtri esclod: Mtri de coeficietes: álise < : Sistem ossível Idetermido (SI) Sistem equivlete vriável está livre podedo ssumir qulquer vlor rel e vriável mrrd em fução de isto é solução do sistem é S {( ) R } {( ) R} Geometricmete tem-se dus rets coicidetes equção é múltipl d equção ssim s rets se iterceptm em ifiitos potos Y 7

5 ) Ddo o sistem Mtri mplid Mtri esclod: Mtri de coeficietes álise : Sistem Impossível Sistem equivlete isto é solução é S ssim se um sistem possui equções que represetm rets prlels como o eemplo um solução é impossível pois ão há poto de iterseção etre rets prlels Y Resumido pr sistems de equções de dus icógits com dus ou mis equções tem-se o seguite qudro: Rets ocorretes oicidetes rlels lssificção do Sistem ossível e Determido ossível e Idetermido Impossível Resolvedo e Iterpretdo Geometricmete Sistems Lieres o R O cojuto de todos s tripls de úmeros reis é desigdo por R {( ) R R e R} Geometricmete tem-se o espço R descrito por três eios eio eio Y e eio Z que são perpediculres etre si iterceptdo-se o poto ( ) deomido origem 8

6 Eemplos: ) osidere o sistem Mtri mplid mtri esclod e mtri de coeficietes álise : Sistem ossível Determido (SD) Sistem equivlete Sedo fedo-se s substituições: e solução do sistem é ( ) { } S Geometricmete o sistem represet três plos distitos que se iterceptm o poto ( )

7 ) Ddo o sistem Mtri mplid mtri esclod e mtri de coeficietes álise < : Sistem ossível Idetermido (SI) Sistem equivlete el terceir equção vriável está livre ssim vriável fic em fução de isto é vriável tmbém fic mrrd vriável pós s substituições tem-se que Est sistem possui gru de liberdde solução do sistem é S {( ) R} Geometricmete o sistem represet três plos distitos que se iterceptm em um ret

8 ) Sej o sistem Mtri mplid mtri esclod e mtri de coeficietes álise < : Sistem ossível Idetermido (SI) Sistem equivlete s vriáveis e estão livres o gru de liberdde do sistem é igul e vriável está mrrd pel relção solução do sistem é } ) {( R S Geometricmete os três plos são coicidetes e cosequetemete qulquer poto deste plo é solução pr o sistem

9 ) Sej o sistem Mtri mplid mtri esclod e mtri de coeficietes álise < : Sistem ossível Idetermido (SI) Sistem equivlete vriável está livre o gru de liberdde é s vriáveis e estão ligds à vriável e irão ssumir vlores de cordo s relções e solução é ( ) { } R S Geometricmete o sistem represet dois plos coicidetes que iterceptm um terceiro iterseção é um ret

10 ) Sej o sistem Mtri mplid mtri esclod e mtri de coeficietes álise : Sistem Impossível (SI) Sistem equivlete terceir equção é equivlete o que é impossível solução é S Geometricmete o sistem represet três plos distitos que se iterceptm dois dois isto é sem solução comum

11 ) Ddo o sistem Mtri mplid mtri esclod e mtri de coeficietes álise : Sistem Impossível (SI) Sistem equivlete s dus últims equções são impossíveis solução é S Geometricmete o sistem represet três plos prlelos

12 7) Ddo o sistem: 7 Mtri mplid 7 coeficietes 8 mtri esclod 8 e mtri de álise : Sistem Impossível (SI) Sistem equivlete 8 últim equção ão possui solução ssim solução do sistem é S Geometricmete o sistem represet dois plos prlelos iterceptdos por um terceiro

13 8) Sej o sistem 8 Mtri mplid 8 mtri esclod e mtri de coeficietes álise : Sistem Impossível (SI) Sistem equivlete segud equção ão possui solução solução é S Geometricmete o sistem represet dois plos coicidetes prlelos um terceiro

14 7 Sistem Homogêeo É um sistem de equções lieres ode todos os termos idepedetes são iguis ero m m m mtri de Termos Idepedetes B é mtri ul ssim um sistem homogêeo é sempre possível já que dmite solução trivil isto é )} {( S No etto um sistem possível pode id ser clssificdo como determido ou idetermido Se o sistem é possível e determido úic solução é trivil Se o sistem é possível e idetermido outrs soluções lém d trivil eistem Eemplos: ) Sej o sistem Mtri mplid mtri esclod e mtri de coeficietes álise : Sistem ossível Determido (SD) Sistem equivlete Este sistem só dmite solução trivil ssim )} {( S ) Sej o sistem Mtri mplid mtri esclod e mtri de coeficietes

15 8 álise < : Sistem ossível Idetermido (SI) Sistem equivlete vriável está livre e s vriáveis e estão mrrds solução do sistem é ( ) { } R S Resolução de Sistems utilido Iversão de Mtries O sistem de equções lieres com m equções e icógits com m pode ser represetdo pel equção mtricil B sedo um mtri qudrd de ordem Se mtri for ivertível isto é eistir mtri ivers sigific que o sistem é possível e determido B B ) ( B ) ( B I B omo é um mtri de ordem B Eemplo: Sej o sistem equção mtricil B é: mtri ivers d mtri é 7 ssim 7 solução do sistem é )} {( S

16 Eercícios Utilido o Método de Elimição Gussi: ) Resolv o sistem 7 ) Idique solução do sistem o posto d mtri mplid e o posto d mtri de coeficietes ) Um fbricte de objetos de cerâmic produ jrrs e prtos decortivos d jrr eige miutos de modelgem 8 miutos de polimeto e miutos de pitur d prto decortivo ecessit de miutos de modelgem de polimeto e de pitur Sbedo-se que são reservds por sem 8 hors pr modelgem hors pr polimeto e hors pr pitur ecotre qutidde de cd tipo de objeto que deverá ser fbricd por sem cosiderdo-se melhor utilição do tempo dispoível pr cd etp Jrrs rtos Decortivos Miutos or Sem Modelgem 8 olimeto 8 itur osiderdo-se como sedo qutidde de jrrs serem produids por sem e qutidde de prtos decortivos escrev o sistem de equções lieres que represet o problem e resolv-o ) Determie os vlores de de modo que o sistem sej: ) SD b) SI c) SI ) lcule os vlores pr e b de modo que o sistem b sej SI e resolv-o pr estes vlores ) Estbeleç codição que deve ser stisfeit pelos termos idepedetes pr que o sistem c b sej possível

17 7) Escrev codição pr que o sistem c b 7 8 teh solução 8) Idique o cojuto solução do sistem homogêeo ) Determie o cojuto solução S do sistem t t t t ) Escrev um sistem homogêeo com qutro icógits e t qutro equções e gru de liberdde igul dois Resolv-o ) osidere o sistem 7 Escrev form mtricil e clcule mtri utilido iversão de mtries Resposts ) Sistem Impossível ) qulquer e c b ) )} {( 7 7 S 7) c b ) 8 8) )} {( S ) ) e b) c) ) } ) {( R S ou ( ) { } R t t t S t t ) e 7 b ) e