Objetivo: Conceituar espaço vetorial; Realizar mudança de base; Conhecer e calcular transformações Lineares

Transcrição

1 Alger Lier oldrii/cost/figeiredo/wetzler Ojetio: Coceitr espço etoril; Relizr mdç de se; Cohecer e clclr trsformções Lieres Itrodção Defiição de Espço Vetoril Sespço Comição Lier Represetção dos etores o espço Depedêci Lier se de m Espço Vetoril Mdç de se

2 Itrodção Ates de defiir espço etoril mos reescreer os etores o espço em otção mtricil Ddo m poto P(,,z) o espço ssocido m etor OP (,, z) pode ser escrito d segite form z V é m cojto o espço V {( i R R R R z,, ) / R} z O P(,,z)

3 Dest form: Vetor lo o espço R Vetor oposto em R Operções com etores o espço V=R Ddos: e Som: z z z z z z z

4 Prodto de m etor com m esclr: Eemplo: z z k k k k Eemplo: k 6 k z

5 Proprieddes: i ii iii i i ii iii ) ( ) ( w w V / ) ( / V ) ( ) ( ) ( ) (

6 Defiição de Espço Vetoril É m cojto V com ds operções VV V e RV V, tis qe pr qisqer,,w Є V e, Є R e s proprieddes i iii sejm stisfeits Hedo úmeros compleos, V será m espço etoril compleo O etor é m elemeto do espço etoril Dest form m etor poderá ser: Vetor -dimesiol Mtriz de qlqer ordem Poliômio de qlqer gr Vejmos lgs eemplos: Eemplo: Cojto de Vetores o espço V R,, ); R ( i É espço etoril 6

7 R R V i );,, ( Eemplo: cosiderdo -plos de os reis R = R R V i );,,,, ( Neste cso o etor lo é:

8 Eemplo: V=M(m,), o cojto de mtrizes m com som e prodto por esclr: R d c d c M V,,, ; (,) A A 6 9 Neste cso o etor lo é: Eemplo: V=P o cojto dos poliômios com coeficietes reis de gr meor o igl iclido o zero = R P i ); ( ) ( f ) ( f f f 6 ) ( ) ( f

9 Sespços Vetoriis São espços etoriis cotidos o espço etoril mior: W Eemplo: Sej V=R, plo ode W é m ret deste plo A som de qisqer dois etores de W reslt em otro etor de W O mesmo ocorre se mltiplicrmos m úmero por m etor de W Nests codições, W é fechdo em relção à som de etores e o prodto de m esclr pelos etores de W

10 Defiição: Ddo m espço etoril V, m spcojto W, ão zio, será sespço etoril de V se: ) Qisqer, Є W tiermos + Є W ) Pr qlqer Є R, Є W tiermos Є W Os: ) Não é ecessário erificr s proprieddes i iii pois V V W; ) Qlqer sespço W de V precis coter o etor lo pr grtir codição () qdo =; c) Todo o espço etoril dmite pelo meos dois sespços (sespços triiis), o cojto formdo somete pelo etor lo e o próprio espço etoril

11 Eemplo: V=R e WTV, é m plo pssdo pel origem do sistem Se W ão pssr pel origem ele ão é m sespço etoril Eemplo: V=R e W,,,, ); ( i R W é m cojto de etores do R cj primeir coorded sej l: i) (,,,, ) (,,,, ) W (,,,, ) ii) k, k, k, k, k ) W (

12 Eemplo: V=M(m,) é scojto ds mtrizes triglres speriores W W é sespço do V pois mtriz resltte d som e do prodto por m esclr é triglr sperior

13 Comição Lier Defiição: Sej V m espço etoril rel (o compleo),,, V e,,, X R (o C) É m elemeto de V chmdo de comição lier de,,, Fido-se,,, em V, o cojto W formdo d comição lier de todos os etores de V, é sespço etoril Notção: W,,, Sespço gerdo pel comição lier de,,, Formlmete: W V, R, i ; i

14 Eemplo: Ddos dois etores: =(,), =(-,) escre o etor =(-,8) como m comição lier de e : W=[, ] r Solção: 6 9 r Eemplo: Ddos dois etores: e determie os etores: Solção: 8

15 ) ( 8

16 Depedêci Lier Sej V m espço etori e,,, V Dizemos qe {,,, } é LI (Liermete idepedete se + ++ = = == = Se i {,,, } é LD (liermete depedete)

17 se de m Espço Vetoril Defiição: Um cojto {,,, } de etores de V é m se de V se: i) {,,, } é LI ii) [,,, ] = V Eemplo:, V R (,) ˆ (,) ˆ e e e ˆ, ˆ e e ˆ ˆ e e é se de V, cohecid como se côic de V=R

18 Eemplo: Vmos emir os etores: ) (,,) ( e, é m se o espço V

19 Eemplo: Verificr se é se em R, (,),) ( Portto e ão são ecessrimete zero é LD e portto ão pode form m se,

20 Mdç de se Dds ds ses: e A,,,,,, Ordeds de m espço etoril V Ddo o etor XV, podemos escreê-lo: se A se

21 A se A se Dest form podemos escreer os etores d se ( i ) como comição lier dos etores d se A ( i ):

22 Sstitido-se () em () ) ( ) ( ) (

23 ) ( ) ( ) ( se se A Mtriz de trsformção d se pr se A

24 Portto pode-se escreer simplificdmete V A I A V I A Ode é mtriz de trsformção d se pr se A A prtir dest mtriz é possíel oter-se mtriz de trsformção de A pr tilizdo-se álger mtricil dest form: I V I A A A I A V V I A I Qe é mtriz idetidde V A E Portto: A I I A

25 Eemplo : Sejm s ses: }, { {(,),(,)} }, { ),(,)} {(, e e i i ses de R Determido-se mtriz de trsformção de pr : Escree-se os etores de momo comição lier dos etores de : i i e i i e I

26 De (): / / 8 De (): / 8 / I

27 Eemplo : Determir =[,-8] se V I V V 8 Pr pssr d se pr se, st fzer iersão d mtriz I deti ; ; ; ; I I

28 Otr meir de se oter é cosiderr trsformção lgéric iers: e e i e e i ; ; ; I

29 Eemplo : Só pr erificr o eemplo terior Determir =[,-] se 8 V Oserdo s ses grficmete o espço R :

30 Eemplo : Cosideremos em R se ={e,e } e se ={f,f }, otid d se côic pel rotção do âglo q Ddo o etor XR de coordeds: f Pode-se escreer f e f em fção de e e e : f f e cos ese e se e cos e f I cos se se cos e Como I é ortogol etão: I cos se se cos

31 Cosiderdo: E =6 Determir: I

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