TP062-Métodos Numéricos para Engenharia de Produção Integração Numérica Regra dos Trapézio
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- Cecília Almeida Meneses
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1 TP6-Métodos Numéricos pr Egehri de Produção Itegrção Numéric Regr dos Trpézio Prof. Volmir Wilhelm Curiti, 5
2 Itegrção Defiid Itegrção Numéric Prof. Volmir - UFPR - TP6
3 Itegrção Numéric Itegrção Defiid Há dus situções em que é impossível ecotrr o vlor eto de um itegrl defiid. A primeir situção decorre do fto de que, fim de vlir f()d usdo o Teorem Fudmetl do Cálculo, precismos cohecer um tiderivd de f. No etto, às vezes, é difícil, ou mesmo impossível, ecotrr um tiderivd. A segud situção ocorre qudo fução é determid prtir de um eperimeto cietífico e/ou trvés de leiturs de istrumetos ou ddos coletdos. Em mos os csos, iremos ecotrr vlores proimdos de itegris defiids. Prof. Volmir - UFPR - TP6
4 Itegrção Numéric Eemplos de como itegrção uméric é usdo em plicções cietífics e de egehri. () () (c) Itegrção Numéric Aplicções Um topógrfo quer cohecer áre de um cmpo delimitdo por um córrego siuoso e dus estrds. Um hidrólogo desej clculr áre d seção trsversl de um rio. Um egeheiro estruturl ecessit determir forç resultte devido um veto ão uiforme soprdo cotr lterl de um rrh-céu. Prof. Volmir - UFPR - TP6
5 Itegrção Numéric Itegrl Numéric Teorem de Riem A itegrção é um processo de som. Assim, prátic tods s proimções umérics podem ser represetds pel som I f()d i w f( ) E i i t ode w i são os pesos, i são os potos d mostr, e E t é o erro de trucmeto A fórmul é válid pr qulquer fução cotíu e limitd o itervlo fechdo de itegrção. Eistem diverss regrs (forms lítics) pr determir itegris de fuções e que podem ser utilizds prátic. Prof. Volmir - UFPR - TP6 5
6 Itegrção Numéric Itegrção Numéric Termiologi Um prtição (de tmho ) de um itervlo [,] é um cojuto de potos: = < < < < < = Um prtição regulr possui todos potos igulmete espçdos. Cd pr de potos cosecutivos form um suitervlo [ i, i+ ]. Prof. Volmir - UFPR - TP6 6
7 Itegrção Numéric Itegrção Numéric A fórmul de itegrção uméric mis comum é sedo em potos igulmete espçdos. I f()d Dividido [,] = [, ] em itervlos ( ) I f()d f()d f()d... - f()d Prof. Volmir - UFPR - TP6 7
8 Itegrção Numéric Itegrção Numéric Técics Clássics Qudo técics de itegrção lític ão podem ser usds pr resolver lgum itegrl, etão detro de cd itervlo de itergrção proimmos f() por um poliômio de ordem m. m p ()... m O gru/ordem m do poliômios pode ser mesm ou diferete pr diferetes itervlos de itegrção d mesm fução. Supoh prtição do itervlo em {= < < < < < = }. Etão itergrl I, d p d p I f()d p... I f()d f()d f()d... f()d, será sustituíd por m - m m - m d Prof. Volmir - UFPR - TP6 8
9 Itegrção Numéric Itegrção Numéric Técics Clássics As técics mis comus de itegrção uméric são: m Poliômio Fórmul lier qudrático cui co Trpezoidl Simpso/ Simpso/8 Erro O(h O(h O(h ) ) ) Prof. Volmir - UFPR - TP6 9
10 Itegrção Numéric Regr dos Trpézios Prof. Volmir - UFPR - TP6
11 Itegrção Numéric Regr dos Trpézios Eemplo de proimção do gráfico d fução f() por 6 segmetos de ret. 6 segmetos de ret f() Prof. Volmir - UFPR - TP6
12 Itegrção Numéric Regr dos Trpézios Defiições Numericmete regr dos trpézios é otid proimdo-se f por um poliômio iterpoldor de gru. Em seguid clcul-se áre do trpézio cuj se está sore o eio dos. f() Aproimção lier f() f() Trpézio Prof. Volmir - UFPR - TP6
13 Itegrção Numéric Regr dos Trpézios Dedução d Fórmul Ger-se vários trpézios e som-se s áres dos mesmos. Quto mis trpézios, mis próim áre totl está d áre rel. Em gerl, qulquer cojuto de potos que prticio o itervlo [, ] pode ser utilizdo como um proimção trpezoidl. Sugere-se usr prtição regulr (potos igulmete espçdos) pois permitirá um processo de cálculo mis fácil. f() f() Áre proimd usdo trpezoides. Áre proimd usdo trpezoides. Prof. Volmir - UFPR - TP6
14 Itegrção Numéric Regr dos Trpézios Pr Suitervlos = itervlo I f() f() y f() ( ) I f() f() áre f()d f() f() f() f() f() f() f() f() ( ) d f() f() Prof. Volmir - UFPR - TP6
15 Itegrção Numéric Regr dos Trpézios Pr Suitervlos > itervlos prticiodo etão ds áresdos O itervlo, em f()d é é... segmetos igul som trpézios. f() Áre f() f() itervlos f() Prof. Volmir - UFPR - TP6 5
16 6 Prof. Volmir - UFPR - TP6 Itegrção Numéric Regr dos Trpézios Pr Suitervlos itervlos itervlos igulmete espçdos h i, f() f f() h f()d f() f f() f()d f() f f f f f()d i i i i i
17 Itegrção Numéric Regr dos Trpézios Teorem Se defiirmos = ( - )/, e cosiderdo que = e =, pode-se tomr o limite qudo pr oter lim f f... f f f lim f lim Isso pode ser resumido o seguite Teorem. Sej f cotíu em [, ]. A regr do Trpézio pr proimr Além disso, como, o ldo direito se proim de f()d f Δ i f f()d f i lim f()d f() f()... f(- ) Δ i f i Δ f()d é dd por f() Prof. Volmir - UFPR - TP6 7
18 Itegre f Itegrção Numéric Regr dos Trpézios Eemplo 5, 7 8,8, de =, té =,8 5, 7 8 d,87 (vlor eto) ,,,6,8, i) Pr = suitervlo f f I,8,,,8,6 Erro = (,87,6) =,567 (,9%) Prof. Volmir - UFPR - TP6 cotiu... 8
19 ... cotiução Itegrção Numéric Regr dos Trpézios Eemplo ii) Pr os suitervlos (,,,), (,,,6), (,6,,8) ( =, h =,),6 6 I f,8, ()() i f ih f f, f, f,6 f,8,,9,6,,57 Erro = (,87,57) =,55 (,98%) Prof. Volmir - UFPR - TP6 cotiu... 9
20 ... cotiução iii) Pr = 6, h =, Itegrção Numéric Regr dos Trpézios Eemplo I,8, ()(6),6 f, f, f, f,5 f,6 f,7 f,8, 7,,9,8,6 5,,,76 Erro = (,87,76) =,67 (,967%) Prof. Volmir - UFPR - TP6
21 Itegrção Numéric Regr dos Trpézios Eemplo Estimr itegrl sid com e prtições. suitervlos suitervlos Prof. Volmir - UFPR - TP6 cotiu...
22 Itegrção Numéric Regr dos Trpézios Eemplo... cotiução = = Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ f() sid f() si si f() f f 8 8 -,8 9 9 si sid 9 Prof. Volmir - UFPR - TP6 6 9 si 8 f() f si si 9 ( ) sid 9 f(( f f f 8 si (vlor eto)
23 Itegrção Numéric Regr dos Trpézios Eemplo Clcule itegrl defiid. 99 d ( ) ( 8),66 Utilize regr do trpézio e clcule itegrl proimdmete. (Vlor eto) Trpézios Itegrl 6 5 6,5 5,7,675,666,66666 Prof. Volmir - UFPR - TP6
24 Itegrção Numéric Regr dos Trpézios Estimtiv do Erro Hipótese: f''() é coti uem,, os itervlossão iguis(comprimeto igul h) Teorem: Se o método dos Trpézios é Erro h '' f (ξ), ode ξ usdopr proimr, f()detã o Erro h m [,] f''() ou Erro m [,] f''() Prof. Volmir - UFPR - TP6
25 Itegrção Numéric Regr dos Trpézios Erro Eemplo Qutos itervlos igulmete espçdos são ecessários pr clculr, com um precisão de 5 css decimis, itegrl si()d? si()d, chrh tlque Erro 5 Erro ; ; h m [,] f''() f'() cos(); f''() si() f''() Erro h 6 h ( ) h 5,7 5 h,7 79 itervlos cotiu... Prof. Volmir - UFPR - TP6 5
26 Itegrção Numéric Regr dos Trpézios Erro Eemplo... cotiução si d cos cos cos (Vlor eto) Número dos Trpézios Itegrl 7, , , , h Erro m f''() (h =, ) [,] Erro 5 Prof. Volmir - UFPR - TP6 6
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Diogo Pinheiro Fernandes Pedrosa
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Capítulo 5.1: Revisão de Série de Potência
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Cálculo Numérico Resolução Numérica de Sistemas Lineares Parte II
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ALGUMAS CONSIDERAÇÕES TEORICAS 1. Sistema de equações Lineares
LGUMS CONSIDERÇÕES TEORICS. Siste de equções Lieres De fo gerl, podeos dier que u siste de equções lieres ou siste lier é u cojuto coposto por dus ou is equções lieres. U siste lier pode ser represetdo
(fg) (x + T ) = f (x + T ) g (x + T ) = f (x) g (x) = (fg) (x). = lim. f (t) dt independe de a. f(s)ds. f(s)ds =
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