3 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

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1 . Itrodução SISTEAS DE EQUAÇÕES INEARES A solução de sistems lieres é um ferrmet mtemátic muito importte egehri. Normlmete os prolems ão-lieres são soluciodos por ferrmets lieres. As fotes mis comus de prolems de equções lieres lgérics plicdos à egehri icluem: ) Solução de modelos mtemáticos de circuitos lieres; ) proimção de equções difereciis ou itegris cotíus trvés de sistems discrets e fiitos; c) lierizção locl de sistems de equções ão lieres; d) juste de curvs em ddos. Eemplo de um Circuito: I I I. Represetção do Sistem ier Um sistem lier é um cojuto de equções lieres do tipo: 8

2 Este sistem pode ser represetdo trvés de um represetção mtricil d form: Α O ode: A mtriz de coeficietes de ordem vetor de icógits de ordem vetor idepedete de ordem Os tipos de solução do sistem depedem d mtriz A: A ão-sigulr comptível { úic solução A sigulr solução eiste ão sistem icomptível soluções iits comptível if Sistem Comptível Posto(A)Posto(A) A O Se Posto(A)Posto(A) solução úic Se Posto(A)Posto(A) k< ifiits soluções Sistem Icomptível Posto(A)<Posto(A)

3 Eemplo : Det(A) Posto(A)Posto(A) solução úic - - o A solução é dd pelo poto de itersecção ds rets o gráfico. Neste cso como solução é um poto o R. Este é um sistem homogêeo com solução trivil [ ] T Eemplo : Det(A) Posto(A) Posto(A) < comptível com ifiits soluções - - o

4 Oserve que s rets são coicidetes e temos ifiitos potos de itersecção. Eemplo : Det(A) Posto(A) Posto(A) sistem icomptível. Não eiste solução. Pose-se oservr o gráfico que este cso ão há itersecção etre s rets represetds o R Não há ehum poto de itersecção etre s rets.. étodos de Solução étodos Diretos Forece solução et pós um úmero fiito de operções. Solução ssegurd pr mtriz de coeficietes ão-sigulr. étodos Diretos Re gr de Crmer Iversão d triz A E lim ição de Guss Ftorção U 6

5 étodos Itertivos Processo de proimção itertiv d solução. A covergêci é ssegurd so certs codições. étodos Itertivos Guss Jcoi Estcioários Guss Seidel Sorerelção Grdiete Cojugdo Grdiete Bicojugdo Não Estcioários GrdieteBicojugdoEstilizdo etc.... Regr Crmer A solução de cd compoete do vetor de icógits é ddo pel relção de dois determites: i i ode: determite d mtriz A i determite d mtriz A com i ésim colu sustituíd pelo vetor idepedete. Eemplo d ordem de grdez do tempo de solução pr um sistem de ordem. i i Operções ecessáris: ) Cálculo de determites, cd um de ordem. O determite de um mtriz Α é defiido como um som de termos... ode o símolo represet suscritos de permutções de. No eemplo som tem! termos cd qul requeredo 9 multiplicções. Assim, soluções do sistem requer! 9 multiplicções, lém de um úmero! de soms que será descosiderdo. Sej um computdor com cpcidde de flops. 6

6 ... operções por segudo. Tempo de Solução:! , os Strg 99 - If world e crzy to solve equtio this wy. O método de Crmer tmém possui pouc estilidde uméric. [High]. (erros de rredodmeto ecessivos). (forwrd estility).. Iversão d triz A A solução do sistem lier pode ser dd por: A Etretto, grde miori de prolems práticos é desecessário e mesmo descoselháveis o cálculo d mtriz ivers A. Vej o que cotece este eemplo simples com um equção: 7 A melhor meir de oter solução é por divisão, 7 O uso d mtriz ivers levri (precisão 6 dígitos) : ( 7 )( ),87, ( )( ) A ivers requer mis ritmétic (um divisão e um multiplicção em vez de um só divisão), lém de produzir um respost meos et... Elimição de Guss Sistems ieres Equivletes Dois sistems lieres A e A ~ ~ são equivletes se qulquer solução de um tmém é solução do outro. Teorem 6

7 Sej A um sistem lier. Aplicdo sore s equções desse sistem lier um sequêci de operções, escolhids etre: ) trocr posição de dus equções etre si; ) multiplicr um equção por um costte; c) somr um equção outr multiplicd por um costte. Otém-se um ovo sistem ~ ~ A ~ ~ e os sistems A e A são equivletes. O método de solução trvés d elimição plic s operções elemetres pr elimir vriáveis do sistem e trsformá-lo um sistem trigulr. A elimição de Guss é compost de dus etps ásics:. Elimição diret de vriáveis. Sustituição ivers A A Elimição de Vriáveis (trigulrizção) U U Solução do Sistem Trigulrizdo Números de operções ecessáris pr oter soluções, cosiderdo mtriz A chei. ) Solução por Iversão A. Oteção d mtriz ivers utilizdo um lgoritmo eficiete de mtriz chei operções (produto) 6

8 . Oteção de pelo produto de Α com operção (produto) ) Solução por elimição de Gruss. Redução triâgulr U U ~ operções de produção. Sustituição Ivers. η operções de produto Eemplo Numérico ( ) Α Estágio pivô ultiplicdores Μ Μ 6

9 66. () Α Estágio Pivô ultiplicdor Μ 8 Sustituição Ivers Estrtégi de Pivotemeto () Evitr pivôs ulos () Evitr pivôs próimos de zero (multiplicdores elevdo, mplição de erros de rredodmeto) Eemplo: Usdo ritmétic de dígitos 6,

10 .,....6 pivô. multiplicdores (. )(. ) Não stisfz o sistem Com pivotemeto pivô.. mult ,, Solução de sistem Resumido: Pivotemeto prcil cosiste em dotr como pivô o psso (K) d elimição de Guss o mior elemeto (em vlor soluto) prte ão reduzido d colu. As lihs cotedo esses elemetos devem ser itercmids. OBS: Sej * é solução clculd de A e solução et (teóric). Como os elemetos de * são represetdos em um ritmétic de precisão fiit eiste um difereç em relção. Normlmete utiliz-se s seguites medids pr uferir est difereç. 67

11 Erro: e * Resíduo: r A * (depedete de escl, multiplicdo-se A e por um costte α, o resíduo tmém vi ser multipliddo por α ) Resíduo reltivo: A A * * D teori de mtrizes semos que, sedo A ão sigulr e se um medid cim é ul, outr tmém o será, ms mos ão são ecessrimete igulmete peques. 68