Integrais Duplos. Definição de integral duplo

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1 Itegris uplos Recorde-se defiição de itegrl de Riem em : Um fução f :,, limitd em,, é itegrável à Riem em, se eiste e é fiito lim m j 0 j1 ft j j j1. ode P 0,, um qulquer prtição de, e t 1,,t um sequêci de reis tis que t j j1, j, pr 1 j. Este vlor represet-se por fd. Sej um região limitd de 2. efiição de itegrl duplo Cosidere-se um rectâgulo, de ldos prlelos os eios crtesios, que coteh região e sudivid-se esse rectâgulo por meio de rects prlels os eios. O cojuto de tods s su-regiões (rectgulres) de, ssim otids, costituem um prtição iterior de. j A Mtos Mtemátic Aplicd 12/11/2017 Itegris uplos 1

2 Cosiderdo cd vez mis rects, é possível oter prtições iters de modo que o máimo ds áres ds su-regiões rectgulres ted pr zero. Assim, desde que região sej suficietemete regulr, uião dests su-regiões vi-se proimdo cd vez mis de. efiição: Sej um região limitd de 2 fução. e f : um iz-se que f é itegrável à Riem em se eiste e é fiito lim m A i 0 fu i,v i.a i. i1 ode, pr i 1,...,, A i é áre d região R i e u i, v i R i, sedo R 1,..., R su-regiões que costituem um prtição iterior de. Este vlor diz-se o itegrl duplo de f em e represet-se por f, dd. Proposição: Se 2 é um cojuto compcto (isto é, um cojuto fechdo e limitdo) e f : é um fução cotíu em, etão f é itegrável à Riem em. Oservção: No etto, há fuções que ão estão ests codições e são itegráveis à Riem. A Mtos Mtemátic Aplicd 12/11/2017 Itegris uplos 2

3 Iterpretção geométric do itegrl duplo Sej 2 um cojuto compcto e f : um fução ão egtiv e cotíu em. Ns codições d defiição do itegrl duplo, cosidere-se figur: fu k, v k. i1 ltur A k áre d se fu i, v i.a i o volume do prlelepípedo idicdo f,dd é igul o volume do sólido que é: som dos volumes de todos os prlelepípedos ssim costruídos lim m A i 0 i1 fu i, v i. A i - limitdo iferiormete pel região do plo O e superiormete pelo gráfico de f, - limitdo lterlmete pel superfície gerd por um rect verticl que percorre froteir de (superfície cilídric de gertriz prlel o eio dos zz e cuj directriz é froteir de ). A Mtos Mtemátic Aplicd 12/11/2017 Itegris uplos 3

4 A Mtos Mtemátic Aplicd 12/11/2017 Itegris uplos 4

5 Motivção geométric do método de cálculo Sej f um fução cotíu e ão egtiv em, sucojuto compcto de 2. Cosidere-se o sólido io (limitdo superiormete pelo gráfico de f e iferiormete pel região ): Z z=f(,) O Y X ivid-se o sólido em ftis por plos prlelos o plo Oz. Sej S áre d secção verticl geéric do sólido. V i S i i e, sedo o sólido dividido em regiões, V S i i i1 A Mtos Mtemátic Aplicd 12/11/2017 Itegris uplos 5

6 Assim, V lim m i 0 i1 S i i Sd e rest clculr S. Supohmos que é tl que e 1 2. Y =ϕ 2 () =ϕ 1 () X Z z = f (, ) i O Y = i X = ϕ 1 ( ) = ϕ 2 ( ) S 1 2 f, d Portto V 2 f, d d. 1 A Mtos Mtemátic Aplicd 12/11/2017 Itegris uplos 6

7 Cálculo do itegrl duplo por itegris iterdos Região do tipo 1: Região de itegrção d form, 2 : 1 2, com, e 1, 2 fuções cotíus em,. Y =ϕ 2 () =ϕ 1 () X Etão, f,dd 2 f, d d. 1 Região do tipo 2: Região de itegrção d form, 2 : c d 1 2 com c, d e 1, 2 fuções cotíus emc, d. Y d c = Ψ 1 ( ) = Ψ 2 ( ) X A Mtos Mtemátic Aplicd 12/11/2017 Itegris uplos 7

8 Etão, f, dd c d 2 f,d d. 1 iz-se que 2 é um região elemetr se for do tipo 1 ou do tipo 2. Teorem (Teorem de Fuii): Sej um região simultemete do tipo 1 e do tipo 2, com, 2 : 1 2 e, 2 : c d 1 2, ode 1, 2, 1 e 2 são fuções cotíus os respectivos itervlos. Se f : é um fução itegrável em, etão f, dd 2 d f,d d 1 c 2 f, d d. 1 Cso prticulr (Teorem de Fuii um rectâgulo): Sej, c,d e f : um fução itegrável em. Etão f,dd c d f, d c d f, d d. A Mtos Mtemátic Aplicd 12/11/2017 Itegris uplos 8

9 Proprieddes do itegrl duplo Proposição (Lieridde): Sejm f : 2, g : 2 fuções itegráveis em e k. Etão: 1. f, g,dd f,dd g, dd; 2. kf,dd k f, dd. Proposição (Aditividde): Sejm f : 2 um fução itegrável em e 1, 2 sucojutos de, sem potos iteriores comus e tis que 1 2. Etão, se f for itegrável em 1 e em 2, f,dd 1 f, dd 2 f, dd. Proposição (Positividde): Sejm f : 2, g : 2 fuções itegráveis em. 1. Se f, 0, pr qulquer,, etão f, dd Se f, g,, pr qulquer,, etão f, dd g, dd. A Mtos Mtemátic Aplicd 12/11/2017 Itegris uplos 9

10 Aplicções do itegrl duplo Cálculo de áres de regiões do plo Sej região do plo, do tipo 1, defiid por com 1 e 2 cotíus. e 1 2, Áre de 1dd dd Not: e fcto, 2 1dd 1dd d Áre de. O mesmo rciocíio é válido pr regiões do tipo 2. Eemplo: A áre d região, 2 : é dd por 1dd. A Mtos Mtemátic Aplicd 12/11/2017 Itegris uplos 10

11 Cálculo de volumes de sólidos Sej f : 2 um fução ão egtiv e cotíu um cojuto compcto e cosideremos o sólido com form d região do espço: limitd iferiormete pel região do plo O e superiormete pel superfície z f, (isto é, pelo gráfico de f), limitd lterlmete pel superfície cilídric de gertriz prlel o eio dos zz e cuj directriz é froteir de (isto é, pel superfície gerd por um rect verticl que percorre froteir de ). Etão, o volume do sólido f,dd Cso gerl: Sejm 1 : e 2 : fuções cotíus um cojuto compcto e cosideremos o sólido com form d região do espço: limitd superiormete pel superfície z 2,, limitd iferiormete pel superfície z 1,, limitd lterlmete pel superfície cilídric de gertriz prlel o eio dos zz e cuj directriz é froteir de. Etão, o volume do sólido 2, 1,dd A Mtos Mtemátic Aplicd 12/11/2017 Itegris uplos 11

12 z z=ϕ 2 (,) z=ϕ 1 (,) z z=ϕ 2 (,) z z=ϕ 1 (,) (A projecção ds superfícies delimitdores superior e iferior sore o plo O é mesm,.) A Mtos Mtemátic Aplicd 12/11/2017 Itegris uplos 12

13 Mss, cetro de mss e mometos de iérci Cosideremos um lâmi com form de um região do plo e sej : fução mss específic (fução que ssoci cd poto de respectiv mss por uidde de áre). A mss totl d lâmi é dd por M, dd e o cetro de mss d lâmi,,, tem s coordeds 1 M 1 M, dd, dd Cso prticulr (lâmi homogée): Se lâmi tem mss específic costte,, e A é áre d região M dd A e o seu cetro de mss coicide com o seu cetro geométrico (ou cetróide), sedo ddo por dd dd dd dd dd Áre de dd Áre de A Mtos Mtemátic Aplicd 12/11/2017 Itegris uplos 13

14 Mometo de iérci em relção um rect L: Sej L um lih rect, d : fução que cd poto de ssoci su distâci à rect L e : fução mss específic. O mometo de iérci de reltivo à rect L, que se represet por I L, é ddo por I L d 2,, dd. Csos prticulres (mometos de iérci em relção os eios coordedos): I X 2,dd em relção o eio dos e I Y 2, dd em relção o eio dos. Mudç de vriáveis Recorde-se o Teorem d mudç de vriáveis pr fuções em: Sedo I e J dois itervlos de, f um fução cotíu em I,um fução de clsse C 1 em J, tl que J I, e tis que e, tem-se fd ft tdt. Not: Eistem versões d itegrção por sustituição com hipóteses diferetes e mis próims ds que se seguem pr o itegrl duplo. A Mtos Mtemátic Aplicd 12/11/2017 Itegris uplos 14

15 efiição:iz-se que um fução : 2 2 é um mudç de vriáveis se verificr s seguites codições: é ijectiv; é de clsse C 1 ; detj, 0, pr qulquer, (ou sej, o Jcoio de ão se ul em ). Teorem (Mudç de vriáveis): Sejm f : 2 um fução itegrável em e : T 2 um mudç de vriáveis, com T. Etão, f, dd T fu, v,u,v detj u, v dudv. Oservção: Nests codições, sedo, u, v, V Y T (u,v) (,) O U O X tem-se detj u u v v. A Mtos Mtemátic Aplicd 12/11/2017 Itegris uplos 15

16 Coordeds polres Sejm:, - s coordeds crtesis dum poto P do plo O; - distâci do poto P à origem do referecil; - o âgulo que o vector de posição do poto fz com prte positiv do eio dos. Y ρ θ P O X Etão cos se, sedo 0 e 0, 2., desigm-se por coordeds polres do poto P. Tem-se que: 2 2, pelo que ; cos e se, pelo que tg, se 0. A Mtos Mtemátic Aplicd 12/11/2017 Itegris uplos 16

17 A fução : 0, 2 2, cos,se é ijectiv e de clsse C 1, com detj cos se se cos 0. Assim,éum mudç de vriável e f,dd T fcos,sedd, ode T é região escrit em coordeds polres. A Mtos Mtemátic Aplicd 12/11/2017 Itegris uplos 17