A ( ) 9 5 B ( ) D(A,r) = 06. Considere o sistema de equações x y z x x = 8 Caso 1: x. π, é 2 + III.

Transcrição

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2 Sejm X e Y dois cojutos fiitos com X Y e X Y Cosidere s seguites firmções: I Eiste um ijeção f :X Y II Eiste um fução ijetor g : Y X III O úmero de fuções ijetors f : X Y é igul o úmero de fuções sorejetors g : Y X É (são) verddeir(s) ( ) ehum dels B ( ) pes I C ( ) pes III D ( ) pes I e II E ( ) tods : LTERNTIV (I) Não ecessrimete Cosidere o cso prticulr X {} e Y {,} já que X Y Note que ão há ijeção f : X Y (II) O mesmo cso prticulr presetdo o item I ão oedece eistêci de um fução ijetor g : Y X, um vez que Y e X (III) Vmos cosiderr o cso prticulr presetdo em (I), isto é: X {} e Y {,} Perce que há fuções ijetors f : X Y e pes fução sorejetor g : Y X O úmero de soluções d equção + secθ + cossecθ,com θ π, π, é ( )( ) [ ] ( ) B ( ) C ( ) D ( ) E ( ) : LTERNTIV I) + secθ cosθ ão eiste cossecθ II) + cossecθ seθ ão eiste sec θ Logo, ão há solução Sejm,, c, d R Supoh que,, c, d formem, est ordem, um progressão geométric e que, /, c/, d formem, est ordem, um progressão ritmétic Etão, o vlor de d é ( ) B ( ) C ( ) D ( ) E ( ) : LTERNTIV D Codições de P: + c/ e c/ / + d Codições de PG: c e c d ssim: ( + c/) c + c/ + c / c c/ + c / ( c/) c/ Como os º e º termos d P são iguis, P é costte: / c/ d Logo: c d [(d )] (d )d Perce que d implic em c, que cotrri o fto que,, c, d é um PG ssim: d d d d O mior vlor de tg, com rc se( ) e, π ( ) B ( ) C ( ) D ( ) E ( ) : LTERNTIV B rc se se cos ± Porém, como é rco do º qudrte: cos / tg cos + cos + 9 IT / Mtemátic, é Cosidere ret r: y Sej (, ) o vértice de um qudrdo BCD, cuj digol BD está cotid em r áre deste qudrdo é ( ) 9 B ( ) C ( ) D ( ) : LTERNTIV C D(,r) ( ) + l E ( ) l l Cosidere o sistem de equções + + y z S + + y z + + y z Se (, y, z) é um solução rel de S, etão + y + z é igul ( ) B ( ) C ( ) D ( ) 9 E ( ) : LTERNTIV C Efetudo Eq Eq, otemos z z De form reduzir o sistem : + Eq y + Eq y Efetudo Eq Eq, otemos: Cosequetemete: y ± y ssim, + y + z + + O úmero de soluções iteirs d iequção + é ( ) B ( ) C ( ) D ( ) E ( ) : LTERNTIV C +, ou + +, < < Cso : ou I + S [,] II + + S (, ] S [, ] III S Cso : < < IV + S (, ) (, + ) V + S +, S S, VI ( ] Dí, S [, ] ],] [ ] Logo, s soluções iteirs são S {,,}

3 Sejm {,,,, } e B { -, -, -, -, - } Se C {y : e y B}, etão o úmero de elemetos de C é ( ) B ( ) C ( ) D ( ) E ( ) : LTERNTIV E Eumerdo os elemetos do cojuto C: C {,,,,,,, 9,,,,,, } ssim, (C) 9 Sejm S { (, y) R : y \ - } e S { (, y) R : + (y + ) } áre de região S S é ( ) π B ( ) π C ( ) π D ( ) π E ( ) π : LTERNTIV S : + (y + ) Circuferêci de cetro (, -) e o rio, ou sej, todos os potos o seu iterior stisfzem desiguldde S : y Se y - - y - ( ) Se y - - y - ( ) Se - y -- ( + ) + y + ( ) Se - y ( + ) y - ( + ) ( ) Portto, S S π ( ) π - Sejm,, c, d úmeros reis positivos e diferetes de Ds firmções: ( logc ) ( logd ) I logd c logd logd c II c III log (c) logc é (são) verddeir(s) ( ) pes I B ( ) pes II C ( ) pes I e II D ( ) pes II e III E ( ) tods : LTERNTIV C I) VERDDEIR logc logc logc logc logc logc II) VERDDEIR logdc logd log c d log c d log d d c c IT / Mtemátic c logd c log d logd logd+ logd logd+ logd logdc c log log log c log log + log + log log d d d d d d d d log c log + log log c log log c d d d d d d log d III) FLS Sejm, por eemplo, c e, temos log( c) log log( c) logc logc log Sejm D e P Cosidere P - DP O vlor de det ( + ) é ( ) B ( ) C ( ) D ( ) E ( ) : LTERNTIV + P - DPP - DP + P - DP P - D P + P - DP + P - (D + D)P Ode D + D + e 9 det (D + D) ssim det ( + ) detp - det (D + D) detp º solução: Ess questão tmém pode ser resolvid usdo qutro teorems de álger lier: ) Dus mtrizes semelhtes possuem o mesmo determite; ) O determite de um mtriz é igul o produto de seus uto-vlores; ) Dus mtrizes semelhtes possuem os mesmos utovlores; ) Se λ é um uto-vlor d mtriz, etão λ + k é uto-vlor d mtriz + ki Como e D são semelhtes, os uto-vlores de são iguis os uto-vlores de D, que são λ, λ e λ ssim, os uto-vlores de + I são λ, λ e λ Logo: det( + ) det[( + I)] det det ( + I) det( + ) (det D)λ λ λ Cosidere dois círculos o primeiro qudrte: C com cetro (, y ), rio r e áre π C com cetro (, y ), rio r e áre π Sedo que (, y, r ) e (, y, r ) são dus progressões geométrics com soms dos termos iguis e, respectivmete, etão distci etre os cetros de C e C é igul ( ) B ( ) 9 C ( ) D ( ) E ( ) : LTERNTIV E Temos que r / e r Dí, sedo q e p s rzões ds progressões geométrics formds por (,y,r ) e (,y,r ), respectivmete, temos: r I (,y,r ) r r r,,r r q q q + q + r q q q q q + q + q q q q / ou q /, ms como C (,y ) está o º qudrte, q / r II (,y,r ) r r r,,r r p p p + p + r p p p p

4 9p p p ou p, ms como C (,y ) está o primeiro qudrte, p III Portto, (,y,r ),, e (,y,r ) (,,) dc,c + IV Logo, ( ) Ds firmções: I Todo úmero iteiro positivo pode ser escrito, de meir úic, form k- (m ), em que k em m são iteiros positivos II Eiste um úmero iteiro [,π/] de tl modo que os úmeros se, se ( + π/), se ( + π/) e se ( + π/) estejm, est ordem, em progressão geométric III Eiste um úmero iteiro primo p tl que p é um úmero rciol é (são) verddeir(s) ( ) pes I B ( ) pes II C ( ) pes III D ( ) pes I e II E ( ) tods : LTERNTIV I VERDDEIR Se-se que todo iteiro positivo possui pes um α α decomposição form p p p α, ode p, p,, p são os úmeros primos que dividem e α, α,, α são iteiros positivos Nd grte que divid, porém um meir de resolver isso é fzedo p e α podedo vler (cso k α α em que ão divide ): p p, com k iteiro positivo Como p,, p são todos ímpres, pode-se escrever d form k (m ), com m iteiro positivo II FLS Supodo que os termos estão em PG: se se ( + π/) se ( + π/) se ( + π/) se cos ( + π/) se ( + π/) cos tg tg ( + π/) tg ( + tg )/( tg ) tg, que ão possui solução III FLS Supodo que p r, ode r é rciol, segue que p r, que é um surdo, pois ão eiste primo que sej qudrdo perfeito Com os elemetos,, são formds tods s sequecis (,, ) Escolhedo-se letorimete um desss sequecis, proilidde de sequêci escolhid ão coter elemetos repetidos é! ( )! B ( )!! C ( )!! D ( )!! E ( )! : LTERNTIV B seleção ão cotém úmero repetidos Ω escolher, com possível repetição, detre os elemetos! ()! p! ( Ω)! Cosidere equção ( i) (+ i) ( + ) + O úmero de pres ordedos (, ) R que stisfzem equção é ( ) B ( ) C ( ) D ( ) E ( ) IT / Mtemátic : LTERNTIV D plicdo módulo os dois memros d equção: z z z + z z z + z ( z + z ) i) z z um pr ordedo ii) z : z + z Fzedo t z : t + t (t )(t + ) Como z é rel ão egtivo, úic possiilidde é t, ou sej, z z + Multiplicdo os dois memros d equção origil por ( + i) segue que: ( i) ( + i) (+ i) ( + ) ( + i) ( + i), pel ª Lei de Moivre eistem úmeros compleos distitos que stisfzem ess últim equção Como z tmém é solução, o totl são soluções Sej BC um triâgulo cujos ldos B, C e BC medem cm, cm e cm, respectivmete Cosidere os potos M e N sore o ldo BC tis que M é ltur reltiv BC e N é o poto médio de BC áre do triâgulo MN, em cm, é ( ), B ( ), C ( ), D ( ), E ( ), : LTERNTIV Pels proprieddes do triâgulo retâgulo: i) BM BC B, h y, II) M BC B C h h, B M y N C Logo: S yh/, Seis circuferêcis de rio cm são tgetes etre si dus dus e seus cetros são vértices de um heágoo regulr, coforme figur io O comprimeto de um correi tesiod que evolve etermete s seis circuferêcis mede, em cm, ( ) + π B ( ) + π C ( ) + π D ( ) + π E ( ) + π : LTERNTIV D Oservdo figur, clculremos o comprimeto d curv D e depois multiplicremos por I Temos que B CD r, como EFB e CFGD são retâgulos e devido o heágoo regulr iterior, o âgulo BFC mede α π/ π II curv BC mede C BC α r π III Portto curv D mede C D B+ BC+ CD + IV Logo, o comprimeto d correi será C correi + π º solução: Prticiodo correi os potos de isterseção dos rcos com os segmetos retilíeos, podemos formr um heágoo de ldo e um circuferêci de rio

5 I Ccorrei Pheágoo + π rcircuferêci C correi + π O lugr geométrico dos potos (, ) equção, em z C, IT / Mtemátic R tis que z + z+ ( + i) Possu um riz purmete imgiári é ( ) um circuferêci B ( ) um práol C ( ) um hipérole D ( ) um ret E ( ) dus rets prlels : LTERNTIV B Fzedo z ki, k IR: k + ki + + i + i ( k ) + ki k e k práol 9 Um tirdor dispõe de três lvos pr certr O primeiro deste ecotr-se m de distâci; o segudo, m; o terceiro lvo, m sedo que proilidde de o tirdor certr o lvo é iversmete proporciol o qudrdo d distâci e que proilidde de ele certr o primeiro lvo é de /, etão proilidde de certr o meos um dos lvos é 9 9 ( ) B ( ) C ( ) D ( ) E ( ) r : y + e s : y + c Em que,,c são reis Sedo que r e s são perpediculres etre si, com r pssdo por (,) E S, POR (,), determie áre do triâgulo formdo pels rets r,s e o eio Como (,) pertece r, logmete, (,) s implic + c (I) Já que r s, (II) prtir do sistem formdo pels equções (I) e (II), coclui-se que e c Logo, r : y + e s : y + iterseção de r com o eio é ( /,), de s com o mesmo eio é (,) lém disso, s rets r e s itersectmse em ( /, / ) Dess form, áre procurd é igul : + S Determie todos os vlores reis de que stisfzem iequção > : LTERNTIV E p p p 9p p p Como p / segue que p / e p / 9 ssim: p p p p Cosidere o triâgulo BC, em que os segmetos C, C B e B medem, respectivmete, cm, cm e cm Sej D um poto do segmeto B de tl modo que issetriz do âgulo C D é C B e sej E um poto do prologmeto de C D, direção de D, tl que DBE DCB medid, em cm, de C E é ( ) B ( ) C ( ) : LTERNTIV E Â D ( ) E ( ) Pelo teorem d issetriz iter: D BD D+ BD D e BD + CD CBC DBD CD ~ ECB: CE BC C CD C θ θ D E Â ˆB θ B CE CE > > > > > Como / < segue que < log < log 9 Cosidere o poliômio P() - ( + ) + ( + ) ( + ) +, ) Determie os úmeros reis e tis que p() ( + + )( + + ) ) Determie s rízes de p() ) ( ++)( ++) + (+) + (+) + (+)+ Supodo que iguldde é um idetidde, isto é, válid pr todo úmero, etão é ecessário impor que: + e, que stisfzem + iguldde impost ) p() ou + + ou ou rízes pedids i i ou +, que são s Sejm e B dois cojutos com e elemetos, respectivmete Quts fuções sorejetivs f : B eistem? Cosidere s rets de equções

6 B º cso: um elemeto de é imgem de três elemetos de B e os outros dois elemetos de são imges de distitos elemetos de B C, IT / Mtemátic,, I) fçmos o gráfico gor de, pr Pr isso, st trsldr o gráfico de o logo de y em / B Totl º cso: elemetos distitos de são imges de etmete dois elemetos de B, cd, com o terceiro elemeto de sedo imgem de um úico elemeto de B 9! Sejm {,,, 9, } o cojuto dos úmeros iteiros de e (,, ) um progressão geométric crescete com elemetos de e rzão q > ) Determie tods s progressões geométrics (,, ) de rzão q m ) Escrev q com m, Z e mdc(m,) Determie o mior vlor possível pr ) Como (,, ) estão em PG com rzão q /, etão:, dest form: < 9 Como IN, etão k, k Z Como :,, Ou sej (,, ) {(,,9),(,,),(,,)} m m m ) Pr q, teremos: e Como, etão, N * Pr máimo, tommos, ssim: m m < m m Como q > > m >, etão < e portto má esoce o gráfico d fução f : R R dd por f ( ) Primeiro, relemre o gráfico de e, pr IR II) Gráfico - -, pr IR Note que f() - - é pr, portto st refletirmos o gráfico de - -, pr, em relção y III) Gráfico de - - or, st refletimos pote egtiv de - -, IR, em relção Determie todos os vlores reis de pr os quis o seguite sistem lier é impossível: + y + z y+ z + z y z Det + + ou Cso : y + z y y + z z z y Sistem Idetermido Cso :

7 y + z y y + z y 9z z 9z Sistem Impossível pr Um triâgulo retâgulo com hipoteus ( + ) c está circuscrito um círculo de rio uitário Determie áre totl d superfície do coe otido o girr o triâgulo em toro do seu mior cteto S T πrg + πr ( ) + ( ) ( + ) I) II) h + r g h + r [(+ )] g (+ ) π (+ ) +π ( ) S T π (9+ ) 9 Determie o cojuto ds soluções reis d equção cossec tg IT / Mtemátic Iicilmete, o triâgulo retâgulo MNG: MN MG + NG MN Notdo que o triâgulo MCL é retâgulo em C, ML MC + LC Ms, o triâgulo LBC, tmém retâgulo, tem-se que LC BL + BC + LC Logo, ML MC + LC + ML demis, coectdo N o poto médio P de CD, vê-se que NL NP + PL + NL Notdo que NL MN + ML, isto é, que o triâgulo LMN é retâgulo, coclui-se que su áre vle, em uiddes de áre LMMN cossec tg tg se tg cos + cos cos cos + cos i) cos ± rc cos + kπ k iteiro ii) cos ± π + kπ Cosidere o cuo BCDEFGH de rest tl que: BCD é o qudrdo d se iferior; EFGH, o qudrdo d se superior e E, B F, C G e D H são s rests verticis Sejm L, M e N os potos médios ds rests B, C G e G H, respectivmete Determie áre do triâgulo LMN º Cocurso de Bolss Iscrições: // // Provs: // Resultdo: // Locl: Coordeção do Idel Militr Iício ds uls: // Solução Idel IT / Mtemátic Este grito foi totlmete elordo pel equipe de professores de Mtemátic do Grupo Idel Equipe de Mtemátic Coordeção Digitção Prof Mrcelo Rufio Prof Márcio Piheiro Mrcelo Rufio Rmo Prof Luiz Eresto Prof Ledro Rêgo Igrid Prof Ledro Fris Prof deilso Prof Herique Mis iformções em wwwgrupoidelcomr Tel: (9)