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1 CONCURSO IME 9 8/OUT/8 O ELITE CURITIBA prov mis porque tem qulidde, seriedde e profissiolismo como lems. Cofir ossos resultdos e comprove porque temos mis oferecer. ESCEX 8: 9 provdos GUILHERME AATOLO CONCEIÇÃO º do rá e 9º do Brsil BRUNO TRENTINI LOES RIBEIRO º do rá e º do Brsil 7: 9 luos covocdos o rá : 9 luos covocdos o rá (turm de luos) 5: % de provção! AFA 9: 5 provdos etre os do rá (icluido os primeiros lugres) Leordo Augusto Seki: º lugr ciol e º do rá 8: provdos ºs lugres do rá em tods s opções de crreir 7: dos covocdos do rá : dos 8 covocdos do R, icluido: º Lugr do rá ( do Brsil) em Avição º Lugr do rá (9º do Brsil) em Itedêci IME 8: provdos ( primeiros d Ativ, 5º d Ativ e etre os ºs d Reserv) 7: dos provdos do rá, icluido os melhores d tiv e os melhores d reserv : Os úicos provdos do rá 5: 7 provdos e os úicos covocdos do rá UFTR Ivero 8: º, º e º lugres em Eg. Id. Mecâic º e º lugres em Eg. Eletrôic / Eletrotécic º lugr em Eg. de Computção Verão 8: provdos 7: provdos em vários cursos : Lugr em Eg. Mecâic Lugr em Eg. Eletrôic 5: 85% de provção em Egehri, com 5 dos 8 ºs colocdos de Eg. Mecâic. UFR 8: 9 provdos 7: 7% de provção ª fse : Lugr em Eg. Mecâic Lugr em Eg. Eletrôic 5: ºLugr Direito (mtutio) ºLugr Relções úlics Só o ELITE você ecotr: Simuldos semis/quizeis; A mior crg horári. Iício ds iscrições pr o eme de olss: / / 9 Relizção do eme de olss: 5 / / 9 ECAr 7: dos covocdos do rá : covocdos 5: º lugr do rá IITA or os cosecutivos mior provção do rá 8: dos provdos do rá 7: Os úicos provdos do R : Os úicos provdos de Curiti 5: dos provdos do rá EEAR 8: provções (ºs lugres dos grupos e ) : covocdos Escol Nvl 8: 9 provdos 7: 7% de provção ª fse 5: % de provção! Foe : -5 CURSO RÉ VESTIBULAR ELITE CURITIBA - - () 5

2 CONCURSO IME 9 8/OUT/8. Se-se que: [ ] + { } IR MATEMÁTICA =,, ode + + { z} =, + z + { } =,, e z z + + { } = é prte iteir de, com IR Determie o vlor de + z. SOLUÇÃO DA QUESTÃO Somdo s três equções, memro memro, temos: z+ z + z = + + = [ ] { } [ ] { } [ ] { },, 9,8 Como = + { } : ( + + z) = 9,8 + + z=,9 Sutrido sucessivmete est equção d primeir, d segud e d terceir e lemrdo de que = + { } que:, vem z = + z { z} =,7 { } + z =,7 { } = { },7 z = z z + { } =, { z} + =, { } = { } z, z = + { } =,9 { } + =,9 { } = { },9 Assim, ermimos, e z: = + { } = +,9 =,9 = + { } = +,7 =,7 z = z + { z} = +, =, Coseqüetemete: + z =,9,7 +, =,5 z +. Um triâgulo isósceles possui seus vértices d se sore o eio ds scisss e o terceiro vértice, B, sore o eio positivo ds ordeds. Se-se que se mede e seu âgulo oposto ˆB =. Cosidere o lugr geométrico dos potos cujo qudrdo d distâci à ret suporte d se do triâgulo é igul o produto ds distâcis s outrs dus rets que suportm os dois outros ldos. Determie (s) equção(ões) do lugr geométrico e iifique (s) curv(s) descrit(s). SOLUÇÃO DA QUESTÃO Sejm r e s s rets suporte dos ldos cogruetes do triâgulo e = (, ) um poto geérico do lugr geométrico procurdo, como figur cim. Temos, pois: Equção de r : = + = Equção de s : = + = Distâci de r : + dr = + Distâci de s : d s = = = + + Distâci de à ret suporte d se do triâgulo: Etão, do eucido: ( ) = d r d s = (i) Cosideremos Região quel porção do plo em que e Região quel em que. É fácil otr que trt-se de regiões delimitds por r e s, formdo um prtição do plo (eceto por sus iterseções, que são s própris rets r e s). N figur io temos ests regiões idicds. A região somred é Região, equto região ão somred (em rco) é Região. r Região o lugr geométrico ecotrdo em (i) se tor: = = =, ou sej, um circuferêci de cetro, e rio. r Região otemos mis um epressão do LG procurdo: = = + 7 ( ) 7 =, o que represet um hipérole de cetro,, eio rel horizotl com medid e eio imgiário com medid CURSO RÉ VESTIBULAR ELITE CURITIBA - - () 5

3 CONCURSO IME 9 8/OUT/8 z. Se-se que z z = ez + z z z =, sedo z z, z, z e z úmeros compleos diferetes de zero. rove que z e z são ortogois. Os.: úmeros compleos ortogois são queles cujs represetções gráfics são perpediculres etre si e z é o úmero compleo cojugdo de z. SOLUÇÃO DA QUESTÃO A equção z ( z) = z z idic que: º) z equidist de z ede z; º) z pertece à meditriz do segmeto de etremos z e z; º) z é ortogol z ; z º) = rcis ± z. ortto z z z z z r zz = = z = rcis ± = cis ± z z z z z é ortogol z.. Dd fução F:IN² IN, com s seguites crcterístics: F(,) = ; F(,m+) = q.f(,m), ode q é um úmero rel diferete de zero; F(+, ) = r + F(,), ode r é um úmero rel diferete de zero. Determie o vlor de 9 i= Fii (,), i IN. SOLUÇÃO DA QUESTÃO De cordo com o eucido, temos: F(,) = r+ F(,) = r+ F(,) = r+ F(,) = r+ F(,) = r+ F(,) = r+ or idução, coclui-se que: F (,) = r. + () or outro ldo, temos: F(,) = qf. (,) = q. r+ ( ) F qf q F q r ( ) (,) =. (,) =. (,) =. + F qf q F q F q r ( ) (,) =. (,) =. (,) =. (,) =. + Novmete, por idução, coclui-se que: F (, ) = q.( r. + ) () Deotemos por S, som desejd. Dest form, temos: 9 9 S = Fii (,) = + qr ( + ) + q (r+ ) q (9r+ ) () i= Multiplicdo mos os memros de () por q, temos: qs q q r q r q r = + ( + ) + ( + ) (9 + ) () Sutrido equção () d equção (), temos: 9 S( q) = + qr+ qr+ qr q r q (9. r+ ) (5) Oservdo equção (5), temos que: 9 ( q 9 ) qr+ qr+ qr q r = qr. () q Sustituido () em (5), cheg-se : ( 9 q ) ( ) = (9. + ) +. S q q r qr ortto: q. 9 ( q ) q (9. r+ ) S = qr. q ( q ) 5. Sej G o poto de iterseção ds medis de um triâgulo ABC com áre S. Cosideres os potos A, B e C otidos por um rotção de 8 dos potos A, B e C, respectivmete em toro de G. Determie, em fução de S, áre formd pel uião ds regiões delimitds pelos triâgulos ABC e A B C. SOLUÇÃO DA QUESTÃO 5 G é ricetro do ABC, logo CG = MG. Aritrdo MG =, temos CG = Com rotção G tmém é ricetro do A B C e C G=, seguido que C M = Deste modo temos que os s ABG e A B G sãs cogruetes (LLL). Como GÂB = GÂ B temos que A B e AB são prlelos. Assim ABC RSC e rzão de semelhç é MC/TC=/=. Etão áre do RSC é (/) d áre do ABC. S RSC = S/9 or logi, s áres dos pequeos triâgulos d figur tmém vlem S/9. ortto, ré totl dos triâgulos é.s/9 = S/ D semelhç tmém perceemos que se M é médio de AB etão T é médio de RS. Assim S RTC = S TSC = (S/9)/= S/8. CURSO RÉ VESTIBULAR ELITE CURITIBA () 5

4 CONCURSO IME 9 8/OUT/8 Voltdo o ABC, semos que S CNG = S/ Deste modo S GTRN = S CNG - S RTC = S/ S/8 = S/8 = S/9 ortto, se se > se cos se se Alisdo o sil de f ( ) = se cos se se Cocluímos etão, por logi, que tods s áres dos pequeos qudriláteros d figur tmém vlem S/9. Logo, ré totl dos qudriláteros vle.s/9 = S/ se cos Etão áre pedid vle S/ + S/ = S/.. Resolv seguite iequção, pr < : se + cos + se (+ ) secos + cos (+ ) > se secos + cos SOLUÇÃO DA QUESTÃO Rerrjdo os termos do umerdor, temos: (se + cos secos ) +.(se. secos + cos ) > se secos + cos Logo temos: se + cos secos + > se secos + cos se + cos secos > se secos + cos se se + cos ( ) ( ) se cos cos ( cos ) se se ( se )( cos ) > se se cos > se cos se se > se cos > Assim cojuto de vlores de o qul f() é positiv é: 5 7, U, U, 7. Sej um cuo de se ABCD com rest. No iterior do cuo, sore digol pricipl, mrc-se o poto V, formdo-se pirâmide VABCD. Determie os possíveis vlores d ltur d pirâmide VABCD, em fução de, sedo que som dos qudrdos ds rests lteris d pirâmide é igul k sedo k um úmero primo. Os.: s rests lteris d pirâmide são VA, VB, VC e VD. SOLUÇÃO DA QUESTÃO 7 Sejm A, B, C, D e V os potos descritos o eucido, e id A, V e V potos uilires, coforme figur. V é, por costrução, quele que tor V V e DC perpediculres. Temos tmém que VV = h. Achemos os demis segmetos: VC: VV VC h VC V V C ~ A AC = = A A A C VC = h CURSO RÉ VESTIBULAR ELITE CURITIBA - - () 5

5 CONCURSO IME 9 8/OUT/8 V C: ( V V ) + ( V C) = ( VC ) ( ) ( ) VA: VA V A + V V ( ) ( ) ( ) h + V C = h V C = h = ( ) ( ) ( ) VA = h + h VA = h + h V C e V V : Ctetos de um retâgulo e isósceles de hipoteus V C = h V C = V V = h VV : Hipoteus de um retâgulo de ctetos V V = V V = h V V = h VD: ( VD ) ( V D) + ( V V ) = ( ) ( ) ( ) ( ) VD = h + h VD = h + VB: el simetri do prolem é fácil ver que ele é igul VD. Agor chmos os vlores possíveis de k, de cordo com o eucido: ( VA ) + ( VB) + ( VC) + ( VD) = k ( h + h ) ( ) ( ) ( + h + h + h + h h + 8h + ± k 8 = ( k) = h ( i) Sedo que k é primo, que otemos todos os vlores possíveis pr h: k = h = ou h = k = 5 h = ( + 7) k = 7 h = ( + ) < h < e que k 8 8. Dd um mtriz qudrd A de ordem, defiid d seguite form: os elemetos d lih i d colu são d form i = i + os elemetos imeditmete io d digol pricipl são uitários, isto é, ij = pr i- j= ; todos os demis elemetos são ulos. Sedo I mtriz iidde de ordem e (M) o ermite de um mtriz M, ecotre s rízes d equção (I - A) =. h SOLUÇÃO DA QUESTÃO 8 Do eucido: L ( I A) = M O M + Etão, plicdo Lplce últim colu, temos: + i ( I A) = ( ) + ( ) ( ) + M L M L O O L i + M O + i+ i ( I A) = ( ) ( ) + ( ) ( ) i = + i + ( ) + + i + ( I A) j ( I A) = = ( + ) j = j A equção pedid é ( I A) =, etão: ( A) = ( + ) = = I 9.. A figur io é compost de qudrdos meores. De quts forms é possível preecher estes qudrdos com os úmeros,, e, de modo que um úmero ão pode precer vezes em: um mesm lih. um mesm colu. cd um dos qutro qudrdos demrcdos pels lihs cotíus. i + + SOLUÇÃO DA QUESTÃO 9 Há! = meirs de preecher o qudrdo A com os úmeros,,,. Feito isso, vmos gor preecher o qudrdo D. Colocmos o úmero em qulquer posição do qudrdo D ( meirs). Depois disso, teremos um situção como seguite: CURSO RÉ VESTIBULAR ELITE CURITIBA () 5

6 CONCURSO IME 9 8/OUT/8 c Agor, o úmero ão pode ser, pois ficrímos sem opção pr, e o úmero ão pode ser, pois ficrímos sem opção pr. Assim, osso próimo psso é escolher o vlor de c etre os úmeros, e, o que ermi imeditmete e devido às restrições que cmos de oservr. É fácil ver que, pr s demis posições do úmero em D, otemos um situção álog. Logo há = meirs de completr o qudrdo D depois de preechido o A. Feito isso, todos os espços que sorrm têm um úic meir de serem preechidos. Assim, o úmero totl de meirs de preecher os qudrdos é = 88.. Sej um costte rel positiv. Resolv equção =, pr IR e. SOLUÇÃO DA QUESTÃO Desevolvedo equção dd, temos: + + = + + = + + = θ θ cos + se = seθ θ θ cos + se = seθ θ θ cos se seθ + = θ θ se cos cos se seθ + = θ se + = seθ θ θ Como θ θ 5 + θ Logo + pertece o primeiro qudrte. θ Assim, sedo θ e + dois âgulos do primeiro θ qudrte, tis que se + = seθ, úic possiilidde é que eles sejm iguis. Logo: θ θ = + θ = Temos etão: = se = = + + = + + = + + = Agor, como, dividido tod ess desiguldde por > temos. Assim, pr cd, eiste um úico θ IR, com θ, pr o qul = seθ. Como θ, vle que cosθ. ortto: = se = cos = cos = cos θ θ θ θ A equção fic reduzid : + cosθ + cosθ = seθ Utilizdo s relções de rco duplo, temos: θ + cosθ = cos θ θ cosθ = cos = se θ cosθ = se θ se θ Como θ, temos: θ cos CURSO RÉ VESTIBULAR ELITE CURITIBA () 5