Geometria Analítica e Álgebra Linear

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1 NOS DE U Geometri líti e Álger ier Mtrizes e Determites Professor: uiz Ferdo Nues, Dr 8/Sem_

2 Geometri líti e Álger ier ii Ídie Mtrizes e Determites Mtrizes Determites e Mtriz Ivers 8 Referêis iliográfis 6 Geometri líti e Álger ier

3 Prof Nues Mtrizes e Determites Mtrizes Noção de mtriz: Um mtriz é um tel retgulr de elemetos dispostos em lihs e olus Represetção Um mtriz om m lihs e olus será idid por: m, m m m os elemetos são ididos por i j, ode i m, j Se ão existirem dúvids quto à qutidde de lihs e olus de um mtriz, podemos idiá-l pes por letrs ltis miúsuls,, C, D,, omitido os ídies m e O símolo M idirá o ojuto de tods s mtrizes de ordem m de elemetos reis m ) Se, etão temos que:,,,,,,,, ) Se, etão temos que:,,,,,,, / / ) Se C, etão temos que: 8,, 8,,,, Iguldde de mtrizes Dus mtrizes m e r s, om elemetos do tipo e, respetivmete, são m r iguis, se e somete se: s i, j Neste so esrevemos Geometri líti e Álger ier

4 Prof Nues Geometri líti e Álger ier ipos Espeiis de Mtrizes Mtriz Qudrd É quel ode o úmero de lihs é igul o úmero de olus, isto é, m = ), 8 e C Mtriz Nul É quel em que todos os elemetos são iguis zero, isto é, pr todo i e j ) e e C Mtriz ih É quel ode m = ) e Mtriz Colu É quel ode = ) e Mtriz Digol É um mtriz qudrd (m = ) ode, pr j i e

5 Prof Nues Geometri líti e Álger ier Mtriz Idetidde É um mtriz digol ode j i pr e j i pr Muits vezes mtriz idetidde de ordem é idid por I ou pes I, e C Mtriz rigulr Superior É um mtriz qudrd ode pr i > j ),, 6 C Mtriz rigulr Iferior É um mtriz qudrd ode pr i < j ), e 6 C Operções om mtrizes dição Dds dus mtrizes m e m, om elemetos do tipo e, respetivmete, etão: é mtriz om os elemetos, isto é, som-se os elemetos s posições orrespodetes Oservção: e devem ser de mesm ordem Exemplo: ) Se e 6 8, etão 6

6 Prof Nues Proprieddes d dição de Mtrizes i) ssoitividde: C C,,, C M m ii) Comuttividde: iii) Elemeto Neutro:,, M m, ode deot mtriz ul m, M m iv) Oposto: Dd, existe mtriz M m M, tl que m Multiplição de mtriz por eslr Dd um mtriz m, de elemetos e um eslr, etão: é mtriz ujos elemetos são do tipo (isto é, multiplimos todos os elemetos de por ) ) Se 6 e, etão ) Se e, etão 6 6 Proprieddes d Multiplição de Mtriz por eslr i),,, M m ii),,, M m iii),,, M m iv), M m v), os: M m Multiplição de mtrizes jk Dds dus mtrizes m e p e ( j, k p), respetivmete, etão: ik M m, om elemetos do tipo ( i m, j ) e é mtriz de elemetos do tipo ik ( i m, k p), defiidos por: i k i k i k Oservções: i k ) O úmero de olus d primeir mtriz deve ser igul o úmero de lihs d segud mtriz; j Geometri líti e Álger ier jk

7 Prof Nues ) mtriz resultte do produto terá mesm qutidde de lihs d primeir mtriz e mesm qutidde de olus d segud mtriz ) Se e, etão C, ode:, isto é: ik i k i k ) Se e j ogo C 8 jk, etão C, ode: 6 Proprieddes d Multiplição de Mtrizes (Desde que sejm possíveis s operções) i) I I, sedo I mtriz idetidde ii) C C e C C C iii) C C iv) e Oservção: Em gerl defiido e o outro ão, podedo ilusive um dos memros d iguldde estr Geometri líti e Álger ier

8 Prof Nues 6 Geometri líti e Álger ier rsposição de mtrizes Dd um mtriz m, om elemetos do tipo ), ( j m i, deomi-se trspost de, mtriz, om elemetos do tipo ji ), ( m i j, ujs lihs são s olus de, isto é: ji Isto é, é mtriz otid om tro orded ds lihs pels olus ds mtriz origil ) Se 6, etão 6 ) Se, etão Proprieddes d rsposição de Mtrizes i) ii), ode iii) iv) Defiições: Sej um mtriz qudrd, etão: ) é dit simétri, se e somete se, Exemplo: ) ) é dit ti-simétri, se e somete se, Exemplo: )

9 Prof Nues 6 lgus exeríios resolvidos sore mtrizes os se ) Pr d, osidere mtriz se os ) Mostre que os se os se se os se os os os se se se os se os = se os se os se se os os os se se os ) he os se se os os se se os ) Mostre que som de dus mtrizes simétris é um mtriz simétri Sejm dus mtrizes simétris e ogo e ) Mostre que som de dus mtrizes ti-simétris é um mtriz ti-simétri Sejm dus mtrizes ti-simétris e ogo ) Mostre que se é um mtriz qudrd, etão e é um mtriz simétri ) Verifique que o produto de dus mtrizes simétris em sempre é um mtriz simétri Sejm dus mtrizes simétris e ogo e 6) Se, etão podemos firmr que ou? Não! Eotre lgus otr-exemplos Geometri líti e Álger ier

10 ) Supoh que e C, etão podemos firmr que =C? Geometri líti e Álger ier Prof Nues 8 Não! C C C Semos que, e que podemos ter C sem que C, ogo ão é eessrimete igul C 8) Cosiderdo o exeríio terior, se existir um mtriz Y tl que Y I, podemos firmr que =C? Sim! C Y Y C Y Y C I I C ) Podemos dizer que seguite iguldde Não! ) Podemos dizer que seguite iguldde Não! Determites e Mtriz Ivers Determites Defiições: Se =C é verddeir? é verddeir? det Se det Se det Defiição: Dd um permutção dos iteiros,,,, existe um iversão qudo um iteiro preede outro meor que ele Permutção Número de iversões ( ) ( ) ( ) ( )

11 Prof Nues Defiição: Sej um mtriz qudrd ( ) ( ) J Etão det j j j j Ode J J j, j, j,,, j ) é o úmero de iversões d ( permutção ( j, j, j,,, j ) e idi que som e estedid pr tods s! permutções Oservções: i) o oefiiete J dá o sil de d prel d somtóri ii) em d termo existe um e só um elemeto de d lih e um e só um elemeto de d olu iii) trvés de reordeções, mostr-se tmém que: det j j j j Proprieddes dos determites J i) det det ii) Se multiplirmos um lih de um mtriz por por k k, o determite fi multiplido iii) Um vez permutds dus lihs de um mtriz, o determite d mesm tro de sil iv) O determite de um mtriz que tem dus lihs (ou olus) iguis é igul zero v) O determite ão se lter se somrmos os elemetos de um lih, os elemetos orrespodetes de outr lih multiplidos por um ostte vi) det det det Defiição de sumtriz Sej um mtriz qudrd Um sumtriz de é um mtriz otid de elimido i-ésim lih e j-ésim olu de Exemplo: ) Se etão,, et Geometri líti e Álger ier

12 Defiição de oftor Sej um mtriz qudrd elemeto Exemplo: ) Se de é o úmero: det etão: Prof Nues O oftor ou omplemeto lgério de um i j, det det, et det det Desevolvimeto de ple (Pr lulr o determite de qulquer mtriz qudrd) Sej um mtriz om lihs e olus Etão, j det, pr qulquer lih i (É som dos produtos dos elemetos de um lih (ou olu), pelos seus respetivos oftores) Oservção: O desevolvimeto pode tmém ser feito vriável j: qulquer olu j ) Se etão lule det Esolhedo, por exemplo, segud lih ( i ) det j j j 6 det + det det ) Sej um mtriz trigulr superior Clule o determite de i det pr Geometri líti e Álger ier

13 Prof Nues Geometri líti e Álger ier plido ple suessivmete det = det = det = det = Mtriz Ivers Sej é um mtriz qudrd Chmmos de mtriz ivers de à um mtriz, tmém, que stisfz seguite propriedde: I, em que I I é mtriz idetidde Se est mtriz existir, será hmd de mtriz ivertível Normlmete mtriz ivers de é idid por, logo: I Exemplo: ) he ivers d mtriz d d d e e d d e d ogo Oservção: O mesmo resultdo seri otido fzedo: d eorem: Se é um mtriz ivertível, etão su ivers é úi Demostrção: Vmos supor que mtriz possui dus iverss e ogo temos que I e I

14 Prof Nues ssim Portto Oservções: I I e ivers é úi i) Se e são mtrizes qudrds ivertíveis, etão é tmém ivertível e ii) Um mtriz qudrd dmite ivers se e somete se det iii) Se é um mtriz qudrd e det, etão det det Demostrção de (iii): det Semos que det det det det det det I iv) v) Defiição: Se I, etão temos que det det Chmmos de operções elemetres s lihs de um mtriz, às seguites operções: i) tro d ordem de dus lihs d mtriz; ii) multiplição de um lih d mtriz por um ostte diferete de zero; iii) sustituição um lih d mtriz por su som om outr lih multiplid por um ostte diferete de zero eorem: Sej um mtriz qudrd Se um seqüêi de operções elemetres s sus lihs reduz I, etão mesm seqüêi de operções elemetres trsform I em ogo, prtir deste teorem, podemos usr o seguite lgoritmo pr eotrr mtriz ivers de : op elem [ I] [ I ] Exemplo: ) he ivers d mtriz Geometri líti e Álger ier

15 Prof Nues Geometri líti e Álger ier ssim, Defiição: Sej um mtriz qudrd Etão mtriz dos oftores de, é mtriz idid pelo símolo, ujos elemetos são os oftores ) ( dos elemetos d mtriz Exemplo: ) Se etão Pois,,,, Defiição: Sej um mtriz qudrd Chm-se mtriz djut de, mtriz dj, isto é, trspost d mtriz dos oftores Exemplo: ) Se etão dj eorem: Sej um mtriz qudrd, tl que det Etão: I dj det

16 Deste teorem podemos oluir que: dj dj det I I det Defiição: dj det Um mtriz qudrd se diz ortogol se é ivertível e Prof Nues ) Determir, se possível, todos os vlores x e y reis, fim de que mtriz sej ortogol / x = y / / y Respost: x / / x x x y / e ou e y y x x y x y y x x e ou e y ) Verifique (geerimete) que o produto de dus mtrizes ortogois é um mtriz ortogol Se e são mtrizes ortogois, etão e ( ) Se-se que Exeríios propostos ) Sedo um mtriz qudrd ) Sedo = ; = - d situção seguir: ) X C Respost: Não existe e, verifique que det det y ; C =, eotre, se existir, mtriz X pr R Geometri líti e Álger ier

17 Prof Nues Geometri líti e Álger ier ) X C Respost: X ) C X Respost: 6 X ) Sedo um mtriz rel qudrd de ordem, ujo determite é igul, qul o vlor de x equção x ) ( det? Respost: x ) Sej mtriz qudrd,, tl que j i j i j i se j + i se = se os = Clule o determite de Se det, he Resposts: det e ) Dd mtriz =, he ( ) e ) ( Colu que ( ) = ) ( 6) Eotre s mtrizes z t x y que omutm om mtriz, isto é, he s mtrizes z t x y, tis que z t x y = z t x y Respost: x y x ) Eotre mtriz ivers d mtriz, utilizdo operções elemetres om lihs, sedo = 8 Respost:

18 Prof Nues 6 x y x 8) Resolv equção mtriil: 8 z 8 x y Respost: x, y e z ) Dd mtriz, resolv equção: X e he X pr = Resposts: X 8 e X = 8 8 ) he os vlores dos determites ds seguites mtrizes: ) Respost: 8 ) Respost: Referêis iliográfis ODRINI, José uiz et l Álger ier Edição São Pulo: Hrper & Row do rsil, 8 CIOI, Crlos et l Álger ier e plições 6 Edição São Pulo: tul, IM, Elo, et l Mtemáti do Esio Médio Edição Rio de Jeiro: Coleção do Professor de Mtemáti Soiedde rsileir de Mtemáti, POOE, Dvid Álger ier São Pulo: homso erig, 6 SEINRUCH, lfredo e WINERE, Pulo Álger ier Edição São Pulo: Perso Edutio do rsil, 6 SEINRUCH, lfredo e WINERE, Pulo Geometri líti Edição São Pulo: Perso Edutio do rsil, Geometri líti e Álger ier