FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS - ITA. Equações Exponenciais

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1 FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS - ITA Equções Epoeciis... Fução Epoecil..4 Logritmos: Proprieddes 6 Fução Logrítmic. Equções Logrítmics...5 Iequções Epoeciis e Logrítmics.8 Equções Epoeciis 0. (ITA/74) Sobre riz d equção ) ão é rel. b) é meor que -. está o itervlo [0,6]. d) é um úmero primo. e) d 5, podemos firmr que el: 4 0. (ITA/78) A som de todos os vlores de que stisfzem à idetidde: 9, é: ) 0 b) d) e) d 0. (ITA/00) A som ds rízes reis positivs d equção ) b) vle: d) e) 04. (ITA/) A som de todos os úmeros reis que stisfzem equção 8 44( ) 64 9( 4 ) é igul ) 8 b) 6 d) 8 e) 0 05.Resolv equção 4( 5 ) Resolv equção 5( 6 ) e clcule o vlor de 5. ) 5 b) 5 5 d) 5 e) Resolvedo equção 60, o vlor de é: ) 0 b) d) e)

2 08. Resolv, em, equção ( ) ) b) d) e) 09.Pr que equção 5 m teh solução rel, devemos ter ) m b) m m d) m e) d 0. (ITA/0) Cosidere fução /( ) 5 / f : \{ 0}, f ( ) 9 A som de todos os vlores de pr os quis equção y y f ( ) 0 tem riz dupl é: ) 0 b) d) 4 e) 6. (ITA/0) Se é tl que y y 0 tem riz dupl, etão solução d equção 0 é: ) log 6 b) log 6 log 6 d) log 6 e) log 6. (UFPE) Sedo e y solução reis positivs pr o sistem de equções y y 7 5 y com, idique o vlor de 49 y. (Isper/) Cosiderdo um vriável rel positiv, equção 69 possui três rízes, que omeremos, b e c. Nesss codições, o vlor d epressão b c ) 0 b) 7 d) 4 e) 5 4. (AFA/96) O produto ds rízes d equção pertece o cojuto dos úmeros ) turis e é primo. b) iteiros e é múltiplo de qutro. compleos e é imgiário puro. d) rciois positivos e é um frção imprópri. 4

3 5. Resolv equção (UFPE) Sej 0 um rel ddo. Idique som dos qudrdos ds rízes d equção 7. (ITA/) Cosidere um úmero rel firmções: I. Se 0, etão eistem dus soluções reis distits; II. Se III. Se, etão ão eistem soluções reis; IV. Se 0, etão eistem dus soluções reis distits, é (são) sempre verddeir(s) pes ) I. b) I e III II e III. d) II e IV. e) I, III e IV, etão eiste pes um solução rel; 0 0 Ds positivo, fido, e equção em,, 8. (ITA/06) Cosidere equção ( ) ( ) m, vriável rel, com 0 <. O cojuto de todos os vlores de m pr os quis est equção dmite solução rel é ) (, 0) (0, ) b) (, ) (, +) (, ) d) (0, ) e) (, +)

4 Fução Epoecil 9. (ITA/7) A lei de decomposição do rdium o tempo t 0 é dd pel fórmul N() t C e kt, ode qutidde de rdium o tempo t, C e k são costtes positivs. Se metde d qutidde primitiv, desprece em600 os, qul qutidde perdid em 00 os? ) ( ) d qutidde iicil. 00 b) ( ) 6 d qutidde iicil. ( ) d qutidde iicil. 6 d) ( ) d qutidde iicil. e) Nehum ds teriores 6 Nt () M () 0 é, 0. (ITA/9) Um cidete de crro foi presecido por /65 d populção de Votuporg (SP). O úmero de B pessos que soube do cotecimeto t hors pós é ddo por: f() t ode B é populção d cidde. kt Ce Sbedo-se que /9 d populção soube do cidete hors pós, etão o tempo pssou té que /5 d populção soubesse d otíci foi de: ) 4 hors. b) 5 hors. 6 hors. d) 5 hors e 4 mi. e) 5 hors e 0 mi.. (ITA/0) Sejm f e g dus fuções defiids por se se. f ( ) ( ) eg( ), A som do vlor míimo de f com o vlor míimo de g é igul ) 0 b) 4 4 d). e) 8 4. Determie o vlor míimo d fução f( ), com ) 8 b) 8 6 d) 6 e) 4. (ITA/9) Cosidere s fuções f :, g :, e h: defiids por: ( ) f, g( ), 8 h ( ). O cojuto dos vlores de em tis que ( f g)( ) ( h f )( ), é subcojuto de: ) [0, ] b) [, 7] [-6, ] d) [-, ] e).d.. 4

5 4. (ITA/99) Sejm f, g: Cosidere s firmções: I) Os gráficos f e g ão se iterceptm. II) As fuções f e g são crescetes. III) f ( ) g( ) f ( ) g( ) fuções defiids por Etão: ) Apes firmção (I) é fls. b) Apes firmção (III) é fls. Apes s firmções (I) e (II) são flss. d) Apes s firmções (II) e (III) são flss. e) Tods s firmções são flss. f( ) e ( ) g. 5. (AFA/09) Cosidere s fuções reis f : tl que * h: tl que. Sbedo-se que 0 b c, mrque ltertiv icorret. ) h( ) g( ) f ( ), ] 0, [ h( ) c b) Se ],log [, etão f( ) 0 h ( ) * f ( ) A fução rel t : A B dd por t( ) ( f f )( ) é crescete. d) A fução rel s : M, g : D defiid por s( ) g( ) é positiv M * tl que g( ) b, 6. (ITA/98) Sej f : fução defiid por f ( ), ode é um úmero rel, 0. Sobre s firmções: (I) f ( y) f ( ) f ( y), pr todo, y, IR. (II) f é bijetor. (III) f é crescete e f ( ] 0, + [ ) = ],0 [. Podemos cocluir que: ) Tods s firmções são flss. b) Tods s firmções são verddeirs. Apes s firmções (I) e (III) são verddeirs. d) Apes firmção (II) é verddeir. e) Apes firmção (III) é verddeir. 7. (ITA/90) Dds s fuções ( ) ( f e ) ( e ), {} 0 g( ) se,, podemos firmr que: ) mbs são pres b) f é pr e g ímpr f é impr e g é pr d) f ão pr e em ímpr e g é pr e) mbs são ímpres 5

6 8. (AFA) Cosidere fução rel defiid por g( ), ode 0. Alise s ltertivs bio e, seguir, mrque icorret: ) A fução g é sobrejetor se, e somete se, b) A fução g dmite um vlor míimo Se, etão ( ) g( ) 0 d) tl que g ( ) g: B B ] 0, ] 9. Cosidere fução f( ). Clcule o vlor de r f r. 0. Quts soluções reis possui equção 6? Logritmos: Proprieddes. (ITA/87) Acrescetdo 6 uiddes um úmero, seu logritmo bse umet de uiddes. Esse úmero é: ) 5 b) 8 d) 4 e). (ITA/87) Cosidere u l, v l e u v e e 6. Nests codições: ) 4 b) d) 9 e) m p. (ITA/88) Sej um úmero rel, 5 tl que ( ), ode m é um iteiro positivo mior que e p m[log ] [log m( 5)]. O vlor de é: ) b) 5 d) e) ão eiste pes um vlor de esss codições (ITA/87) Se e y são reis tis que l[( y 0) e ] l( y ), etão: ) y e b) y 0 e y e d) y e e) y e 6

7 5. (ITA/99) Sej é: ) b b) d) e) 65 8 b b b b 6b6 8 b 9b7 9 com >. Se b log, etão o vlor de log 4 log 4 log (log 8 ) log 6. (ITA/07) Sejm, y e z úmeros reis positivos tis que seus logritmos um dd bse k são úmeros primos stisfzedo log k ( y) 49 log k ( z) 44 Etão, log ( ) é igul ) 5 b) 6 67 d) 80 e) 97 k yz 7. (ITA/0) Dd fução qudrátic f ( ) l l 6 l temos que 4 ) equção f( ) 0 ão possui rízes reis b) equção f( ) 0 possui dus rízes reis distits e o gráfico de f possui cocvidde pr cim. equção f( ) 0 possui dus rízes reis iguis e o gráfico de f possui cocvidde pr bio. l l d) o vlor máimo de f é l l l l e) o vlor máimo de f é l l 8. (Olimpíd Ameri Pr todo iteiro positivo, sej f ( ) log 00. Sej N f ( ) f ( ) f ( 4) Qul ds seguites relções é verddeir? ) N b) N N d) N e) N 9. Pr todo iteiro mior que, defimos (log 00). Sej b 4 5 e c 0 4. Qul o vlor de b c? ) b) d) e) 7

8 40. (Olimpíd Ameri Supoh que,, 4,..., 7 8. Qul o vlor de 4? ) b) 5/ d) 7/ e) O vlor de é log ( 00!) log ( 00!) log ( 00!) log ( 00!) ) 00 b) 00! d) 00 e) (ITA/74) Sedo,,..., úmeros reis, o mior vlor de tl que s igulddes bio são verddeirs é: log 478 log... log ) = b) = 4 = 5 d) = 6 e) d 4. ) Determie o vlor eto de log 6 log 6 b) Se log 5 5, determie o vlor de log 5 9 em fução de. 44. (ITA/89) Sobre epressão ) M b) < M < 4 4 M 5 d) 5 < M < 7 e) 7 M 0 M log log, ode, qul ds firmções seguir está corret? (EN/06) Sej b meor ds bscisss dos potos de iterseção ds curvs defiids pels fuções reis de 5 5 vriável rel f ( ) l e g( ) l. O produto ds rízes d equção ) b) 5 5 d) 5 5 log 5 log5 5 b é e) 8

9 46. (ITA/0) Sedo ddo etão, é igul : ) b 4 l( ) e l( 4 4 ) b b) b l l l 4 l 5 l b d) b e) b 47. Sej 0 Determie o vlor de sec ) 4 b) 0 d) 8 e) tl que log 5(tg ) log 5( 6 tg ) log 5 9. / 48. (ITA/05) Cosidere equção em : b, ode e b são úmeros reis positivos, tis que l b l 0. A som ds soluções d equção é: ) 0 b) d) l e) 49. (ITA/69) Cosidere equção ) b) b b e d) b l e) d 0 bl 0. Etão é válido firmr que su solução é: 50. (ITA/75) A respeito d equção epoecil 4 6 9, podemos firmr: ) 9 log é um riz. 5 b) log log é um riz. log log é um riz. 6 d) log log é um riz. e) d 9

10 5. (ITA/08) Pr, o cojuto solução é: ) 0, 5, b) 0,,log 5 5 0, log, log,log d) 0,log 5 5,log 5,log 5 e) A úic solução é = (ITA/69) Cosidere equção 6 0, com equção propost, está corret. Assile-. ) e b) d) e) d log log e e log. Um ds firmções bio, reltivmete à 5. (ITA/7) Sej equção. Sbe-se que e d equção r 4r 5 0. O vlor de pr que equção sej verificd é: ) b) rcse rcse e d) rcse e e) d log log log log 4 se l 657 log é igul à mior riz 54. (ITA/85) Dd equção podemos firmr que ) Não eiste rel que stisfç. b) log 5 é solução dest equção. log 5 é solução dest equção. d) log 5 é solução dest equção. e) = log 5 5 é solução dest equção. 0

11 Fução Logrítmic 55. (EN/07) No sistem crtesio bio está esboçd um porção do gráfico de um fução y( ) log ( ), restrit o itervlo [,8], *. Se y( ) ) 6 log 4 b) log 8 log d) 6 8log e) log, etão o vlor d áre hchurd é: 56. (ITA/88) Sejm f e g fuções reis de vriável rel defiids por f ( ) l( ) e g ( ). Etão o domíio de é: ) (0, e) b) (0, ) ( ee, ) d) (, ) e) (, ) f g 57. (ITA/) Cosidere s fuções f e g, d vriável rel, defiids, respectivmete, por b f ( ) e e g ( ) l b em que e b são úmeros reis. Se f( ) f( ), etão pode-se firmr sobre fução compost g f que ) g f( ) l. b) g f () 0. g f uc se ul. d) g f está defiid pes em { 0}. e) g f dmite dois zeros reis distitos. 58. Sej f ( ) l( 6 ) e g( ) 9. Qul o domíio de ( f g)( )? ) { ou 6} b) { ou 5} { } d){ 5} e) { }

12 59. (ITA/97) O domíio D d fução ( ) f( ) l é o cojuto ) D { : 0 } b) D { : ou } D { : 0 ou } d) D { : 0} e) D { : 0 ou } 60. (ITA/88) Sej f ( ) log ( ),, ) y, y b) y, y y, y y d), y, y 0 y e), y, y 0. A lei que defie ivers de f é: 6. (AFA) O domíio d fução rel defiid por ), se 0 < < b) 0 ou, se 0, se d) ou, se log f ( ) é 6. (ITA/9) Sejm, ) log ( ) ), pr e :. b) log ( ), pr. log ( ), pr. d) log ( ), pr. e) d f defiid por f() =. A fução ivers de f é dd por: e e g 5 6. (ITA/75) Sej f() = defiid em. Se g é fução ivers de f, etão quto vle e? e e ) 4/ b) 7e/5 log e(5/7) d) e (7/5) e).d.. 7

13 64. (ITA/78) Com respeito à fução g( ) log e[se se ], podemos firmr que: ) está defiid pes pr b) é um fução que ão é pr em ímpr. é um fução pr. d) é um fução ímpr. e).d (ITA/9) Sej f : defiid por: e, se 0 f ( ), se 0 l, se Se D é um subcojuto ão vzio de tl que f : D é ijetor, etão: ) D e f( D) [, [ b) D], ] ] e, [ e f( D) [, [ D [ 0, [ e f( D) [, [ d) e f( D) [, ] e).d. Notção: f ( D) { y y f ( ), D} e deot o logritmo eperio de. Observção Est questão pode ser resolvid grficmete. D[ 0, e] l 66. (ITA/86) Sej f : um fução que stisfz seguite propriedde: f ( y) f ( ) f ( y), y,. Se g( ) f (log 0( ) ), etão podemos firmr que: ) O domíio de g é e g( 0) f( ). b) g ão está defiid em \{ 0 } e g( ) f (log ( ) ), pr 0. g() 0 0 e g( ) f (log 0( ) ), R. d) g( 0) f( 0) e g é ijetor. e) g() 0 e g( ) f (log ( ) ) Cosidere um fução f tl que f ( ) f ( ) f ) log b) log rctg d) rctg pr, [, ], etão f( ) ão pode ser 68. (ITA/08) Sej f ( ) l( ),. Determie s fuções h, g: tis que f ( ) g( ) h( ),, sedo h um fução pr e g um fução impr.

14 69. (ITA/0) Alise se fução ivers f. f :, f( ) é bijetor e, em cso firmtivo, determie fução 70. (Chi High School/0) O itervlo o qul fução f ( ) log ( ) é moóto crescete é: ) ], [ b) ], [ ], [ d) ], [ 7. (ITA/08) Um subcojuto D de tl que fução f : D, defiid por f ( ) l( ) é ijetor, é ddo por ) b) (-, ] [0, /] d) (0,) e) [/, ) 4

15 Equções Logrítmics 4 7. Resolv equção log 4 log ( 6) 7 ) 6 b) 7 64 d) 8 e) 4 7. (ITA/) Se os úmeros reis e b stisfzem, simultemete, s equções um possível vlor de b é b e l( b) l 8 l 5 ) b) d) e) 74. (ITA/7) A solução d equção (com turl): ) [( )! ] b) [ ( )! ] [( )! ( )] d) [( )! ] ( ) e) d k log u k ( k )!, com u, é: ( )! 75. (ITA/99) Sej S o cojuto de tods s soluções reis d equção log ( ) log ( ). Etão: ) S é um cojuto uitário e S ], +[. b) S é um cojuto uitário e S ], [. S possui dois elemetos distitos e S ], [. d) S possui dois elemetos distitos e S ], + [. e) S é o cojuto vzio Determie som ds soluções d equção log log 7. ) 4 7 b) d) 0 8 e) (ITA/8) As rízes reis d equção log ( 0) log( ) ) 0 e 0 b) 0 e 0 /0 e 0 d) /0 e 0 e) d são: 5

16 78. (ITA/98) O vlor de y que stisfz iguldde log 49 log 7 log 7 y y y é ) / b) / d) /8 e) (ITA/00) Sedo um úmero rel positivo, cosidere s mtrizes 0 log log log A e B 0 0 log log 4 A som de todos os vlores de pr os quis ( AB) ( AB) T é igul ) 5 b) 8 d) 7 e) (ITA/07) Sedo, y, z e w úmeros reis, ecotre o cojuto solução do sistem log ( y)( w z ) 0 z yzw 8 0 y 6z w 0 8. (ITA/95) Se é um úmero rel positivo, com etão pertece o itervlo I, ode: ) I = (0, /9) b) I = (0, /) I = (/, ) d) I = (, /) e) I = (/, ) e, stisfzedo: log log log log log 8. (ITA/84) Os vlores de e k que torm verddeir epressão logk log log (log ) (log ) são: log k 6 ) e qulquer vlor de k, k 0. b) = e qulquer vlor de k, k 0, k. e qulquer vlor de k, k 0, k. d) quisquer vlores de e k com k 6. e) qulquer vlor de positivo com e 6, e qulquer vlor positivo de k. 6

17 log4 8. (ITA/74) Em relção à equção log4, 0, temos: ) dmite pes um riz, que é um úmero iteiro positivo. b) ão dmite um riz iteir stisfzedo relção 0 < < 5. tods s sus rízes são úmeros irrciois. d) dmite um riz iteir e um riz frcioári stisfzedo relção: e) d (ITA/94) Sejm e y úmeros reis, positivos e mbos diferetes de, stisfzedo o sistem: y e log log y log( ) y Etão o cojuto {, y} está cotido o itervlo ) [, 5] b) ]0, 4[ [, ] d) [4, 8[ e) [5, [ 85. (ITA/96) Se (, ) é um solução rel do sistem y 0 0 log ( y) log ( y) 4y 4 etão é igul : ) 7/4 b) 9/4 /4 d) /4 e) 7/4 y Resolv o sistem: log ( y) log y ( y) 87. (ITA/90) O cojuto ds soluções reis d equção: l(se ) l(se ) é ddo por: ) { k, k } b) { k, k } { k, k } d) { } e) { 0} 88. Resolv em equção log log log (ITA/04 - Olimpid Americ/8) Se b, 0 e ) 6 b) 6 logb logb ( ) ( ) 0, etão é: d) 6 e) d 90. Se, com bpositivos,, b,, b, epresse em fução de e b log log b ( ) ( b) 7

18 Iequções Epoeciis e Logrítmics 9. (AFA/00) No itervlo [, 00], o úmero de soluções iteirs d iequção ) 97 b) d) 00 8 é 9. (ITA/99) Sej com >. O cojuto de tods s soluções reis d iequção ) ], [ b) ], + [ ] é: ( ),[ d) ], [ e) vzio 9. (ITA/00) Sej S = [, ] e cosidere s firmções: I. 4 < 6, pr todo S. II., pr todo S. III. 0, pr todo S. Etão, podemos dizer que ) pes I é verddeir. b) pes II é verddeir. somete I e II são verddeirs. d) pes II é fls. e) tods s firmções são flss. 94. (ITA/04) Sej um úmero rel, com 0. Assile ltertiv que represet o cojuto de todos os vlores de tis que ) ]-, 0] U [, + [ b) ]-, 0[ U ], + [ ]0, [ d) ]-, 0[ e) ],+ [ <. 95. (ITA/88) Sej um úmero rel com 0 < <. Etão, os vlores reis de pr os quis ( ) 0 são: ) b) ou d) e) 0 4 8

19 O cojuto solução d iequção ( ) ( ) é: ), ( 4, ) b), 4 (, ) 4 d), e),, 97. Resolv iequção (ITA/) Resolv iequção em : 6 4 log ( 9) (ITA/69) O cojuto dos pres de úmeros reis e y, que stisfzem à desiguldde log ( y ) 0 está etre s opções bio: ) 0 e y b) e y e y ou 0 e y d) > - e y e) 0 e y (ITA/7) Os vlores de que verificm desiguldde são: l log e ) > b) > e 0 < < d) < < e e) d 0. Resolv equção log ( ) 9

20 0. Resolv iequção 7, 5 4 log 0 0. O cojuto solução d iequção é ddo por ) (, ) b) ( 0, ) ( 4, ) ( 0, ) (, ) d) (, ) (, ) e) ( 0, ) (, ) 0 log log 04. (ITA/0) Sej fução f dd por f ( ) (log 5) log 5 8 log ( 4 ) log Determie todos os vlores de que torm f ão-egtiv ( ) 05. (ITA/88) Cosidere Etão temos: ) A() >, pr lgum, >. b) A() =, pr lgum. A() <, pes pr tl que 0 < <. d) A() >, pr cd tl que 0 < <. e) A() <, pr cd. A( ) log ( 4 ),. 06. (ITA/80) No itervlo, quis são os vlores de k que stisfzem iequção ) pr todo k > e b) pr todo k > pr todo k > d) pr todo < k < e e) pr todo 0 < k < e se (l ) k? 07. (ITA/9) O cojuto dos úmeros reis que verificm iequção log log( ) log, é ddo por: ) { 0} b) { } { 0 } d) { } e).d. 0

21 08. (ITA/9) O cojuto solução d iequção log log é ddo por: ) < < / b) 0 < < 0 < < d) 0 < < e) 0 < < 09. (ITA/09) Sej S Determie o cojuto o cojuto solução d iequção log 4 C S (ITA/98) A iequção dite é stisfeit pr todo S. Etão: ) S = ], ] [, + [ b) S = ], [ [, + [ S = ], ] d) S = ], + ] e) S = ], [ ], + [ 4 log ( ) ( )log ( ) 5 5. (ITA/97) Ddo um úmero rel com >, sej S o cojuto solução d iequção: log log log ( ) Etão S é o itervlo ) [4, + [ b) [4, 7[ ], 5] d) ], 4] e) [, 4[ 7. Qul o domíio de log (log (log )) ) { 0} b) { } { 0 } d) { 0 } e) cojuto vzio

22 . (ITA/74) O cojuto de todos os vlores de pr os quis eiste um y rel de modo que 7 y log0 log0 é ddo por: 4 ) (, ) b) (, ) d) e) d (0, ) (, ) 4. (AFA - ITA/77) No cojuto dos úmeros reis, desiguldde log (log 4( 5)) 0 é verddeir pr: ) 5 b) d) e) d 5. (ITA) O cojuto-solução d desiguldde log (log 4( )) 0 é: ) 0,, b) (, 0),, d),, e) o cojuto vzio 6. (ITA/96) Sej, >. Pr que * ] 4, 5[ { log log ( 5) 0} o vlor de é: ) b) 5 d) 9 e) 0 /

23 GABARITO 0. C 0. B 0. C 04. D A 07. C 08. D 09. B 0. C. D. 5. B 4. B S {, } 5. S {} 0 6. S {, } 7. C 8. C 9. D 0. A. D. C. C 4. E 5. Sem respost 6. E 7. C 8. B Um solução pes. C. E. A 4. C 5. D 6. A 7. D 8. D 9. B 40. D 4. B 4. A 4. ) / b) 44. B 45. E 46. C 47. B 48. B 49. E 50. B 5. D 5. B 5. C 54. A 55. E 56. B 57. E 58. B 59. E 60. B 6. C 6. C 6. A 64. D 65. B 66. C 67. D

24 4 68. f ( ) l( ) l 69. É bijetor. f ( ) log ( ) 70. A 7. C 7. C 7. A 74. C 75. B 76. D 77. C 78. D 79. B S,,, ;, 5 8. B 8. C 8. D 84. B 85. D 86. S {( 55, )} 98. S { ou } 99. C 00. D 0. { } 0. S {, 5 ou 4, com } 0. E 04. S { } E 06. D 07. C 08. E C 09. S ], 4] { } [ 0, 6] [ 9, [ 0. A. D. D. E 4. C 5. A 6. E 87. A 88. Pr, temos S {}. * 4 Pr 0,, temos S {, } 89. B 90. ( b) 9. B 9. C 9. A 94. C 95. C 96. A S { ou } 4 4